2021北京高三数学上学期期末汇编：导数及其应用（教师版）

16/162021北京高三数学上学期期末汇编：导数及其应用一．解答题（共11小题）1．（2020秋•房山区期末）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）若，讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围．2．（2020秋•东城区期末）已知函数，．（Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线平行于直线，求该切线方程；（Ⅱ）若，求证：当时，；（Ⅲ）若恰有两个零点，求的值．3．（2020秋•通州区期末）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）设函数，当时，求零点的个数．4．（2020秋•顺义区期末）已知函数．（Ⅰ）若，求曲线的斜率等于3的切线方程；（Ⅱ）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围．5．（2020秋•西城区期末）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间和极值；（Ⅲ）设函数，，试判断的零点个数，并证明你的结论．6．（2020秋•朝阳区期末）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若恰有两个零点，求实数的取值范围．7．（2020秋•石景山区期末）设函数，．（Ⅰ）设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；（Ⅱ）若函数在定义域上单调递减，求的取值范围．8．（2020秋•昌平区期末）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（2）处的切线方程；（Ⅱ）若函数在处取得极小值，求实数的取值范围．9．（2020秋•海淀区期末）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）设，求证：；（Ⅲ）设．若存在使得，求的最大值．10．（2020秋•丰台区期末）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）如果函数在区间上有极值，且对于，恒成立，求的取值范围．11．已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意的，，都有成立，求的取值范围．

2021北京高三数学上学期期末汇编：导数及其应用

参考答案一．解答题（共11小题）1．【分析】（Ⅰ）当时，根据题意可得，计算，对求导得，再由导数的几何意义可得，进而写出切线方程．（Ⅱ）求导得，令的解为，，分两种情况当，当，讨论正负，进而可得的单调区间．（Ⅲ）对求导得分三种情况：当时，当时，当时，讨论导数的正负，的单调性，的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，，，所以切线方程为：即：．（Ⅱ）由题，可得，由于，的解为，，（1）当，即时，，则在上单调递增，（2）当，即时，在区间，上，；在区间上，，所以的单调增区间为，；单调减区间为．（3）当，即时，在区间，上，；在区间上，，则在，上单调递增，上单调递减．（Ⅲ）（1）当时，因为，所以，，所以，则在，上单调递增，（2）成立，（2）当时，，所以在，上单调递增，所以（2）成立，（3）当时，在区间上，；在区间，，所以在上单调递减，上单调递增，所以（2），不符合题意，综上所述，的取值范围是，．【点评】本题考查导数的综合应用，导数的几何意义，函数单调性，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．2．【分析】（Ⅰ）对求导得，由导数的几何意义可得（1），进而由点斜式写出切线的方程．（Ⅱ）当时，，对求导得，分析的正负，单调性，进而可得的最小值（2），即可证明．（Ⅲ）对于函数，，分两种情况①当时，②当时，分析的单调性，最值，进而得函数的零点．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以（1），故，所以（1），所以切线方程为，即．（Ⅱ）当时，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为（2），故时，．（Ⅲ）对于函数，，①当时，，没有零点，②当时，，当时，，所以在区间上单调递增，当时，，所以在区间上单调递减，当时，，所以在区间上单调递增，所以是函数的极大值，（2）是的极小值，因为，所以在上有且只有一个零点，由（2），①若（2），即，在区间上没有零点．②若（2），即，在区间上只有一个零点．③若（2），即，由于，所以在区间上有一个零点．由（Ⅱ）知，当时，，所以，故在区间上有一个零点，因此时，在区间上有两个零点，综上，当有两个零点时，．【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．3．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算（1），（1），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而求出的零点个数即可．【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，所以（1），（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程是，即．（3分）（Ⅱ）因为，所以，所以；（4分）①当时，，所以在上单调递减，因为（1），所以有且仅有一个零点，（6分）②当时，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，（7分）因为（1），所以在上有且仅有一个零点，（8分）因为，，且，所以，使得，所以在上有且仅有一个零点，所以当时，有两个零点，（12分）③当时，，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，且（1），所以有且仅有一个零点；（14分）综上所述，当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点．（15分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查切线方程以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．4．【分析】（Ⅰ）求出导函数，设切点为，利用导数的几何意义求出切线斜率，由题意可求得，从而可得切点坐标，利用点斜式即可求得切线方程；（Ⅱ）令，得．对分类讨论，求出函数的单调性，再由零在区间上恰有两个零点，即可求解的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，，设切点为，则，解得或（舍，所以（2）．切点为，所以所求切线方程为，即．（Ⅱ）因为，由及定义域为，令，得．①当，即时，在上，所以在上单调递增．此时在上不可能存在两个零点；②当，即时，在上，所以在上单调递减．此时在上不可能存在两个零点；③当，即时，要使在区间上恰有两个零点，则，即，此时．综上，实数的取值范围是，．【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，考查方程思想与分类讨论思想的应用，属于中档题．5．【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求切线方程；（Ⅱ）根据和，求函数的单调递增和递减区间，根据极值的定义求极值；（Ⅲ）首先方程等价于，设函数，，求函数的导数，分和两个区间讨论函数的单调性，并结合零点存在性定理说明函数的零点个数．【解答】解：（Ⅰ）由，得．（1），（1），曲线在点，（1）处的切线方程为．（Ⅱ）令，得，解得或．当变化时，和变化情况如下表：00的单调递减区间是，单调递增区间是，；在处取得极大值，在处取得极小值．（Ⅲ）当时，令，可得，．设，，则．①当时，，在区间上单调递增．又，，在区间上有一个零点．②当时，设．，在区间上单调递增．又，，存在，使得．当时，，单调递减；当时，，单调递增．又，，在区间上无零点．综上，函数在定义域内只有一个零点．【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，单调性和极值，零点存在性定理，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．6．【分析】（Ⅰ）由函数在某点处的切线方程求法，可以直接解出；（Ⅱ）利用导函数的性质，对参数进行分类讨论，进而确定函数的单调区间；（Ⅲ）在第（Ⅱ）的基础上对参数进行分类讨论，利用零点存在定理，考查出参数的范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，，所以（1），（1）．所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．（Ⅱ）因为，定义域为，所以．①当时，与在上的变化情况如下：0最大值所以在内单调递增，在内单调递减．②当时，与在上的变化情况如下：00极大值极小值所以在，内单调递增，在内单调递减．③当时，，所以在上单调递增．④当时，与在上的变化情况如下：00极大值极小值所以在，内单调递增，在内单调递减．由可知：①当时，在内单调递增，在内单调递减，当时，取得最大值．当时，，所以在上至多有一个零点，不符合题意．当时，．因为，（1），在内单调递减，所以在内有唯一零点．因为，所以且．因为，，且在内单调递增，所以在内有唯一零点．所以当时，恰有两个零点．②当时，在，内单调递增，在内单调递减，因为当时，取得极大值，所以在上至多有一个零点，不符合题意．③当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意．④当时，在，内单调递增，在内单调递减．因为当时，取得极大值，所以在上至多有一个零点，不符合题意．综上所述，实数的取值范围是．【点评】本题考查了导数的应用，含参分类讨论，零点存在定理，属于中档题．7．【分析】（Ⅰ）求得时，的导数，设出切点，可得切线的斜率和方程，分别令，，求得与坐标轴的交点，由三角形的面积公式计算可得证明；（Ⅱ）求得的导数，可得在上恒成立，再由参数分离和基本不等式求得最值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：当时，，，设图象上任意一点，切线斜率为．过点的切线方程为．令，解得；令，解得．切线与坐标轴围成的三角形面积为．所以与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；（Ⅱ）由题意，函数的定义域为．因为在上单调递减，所以在上恒成立，即当，恒成立，所以，因为当，，当且仅当时取等号．所以当时，，所以．所以的取值范围为，．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．8．【分析】（Ⅰ）代入的值，求出函数的导数，计算（2），（2），求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极小值，确定的范围即可．【解答】解：当时，，（1分）所以，（3分）所以（2），（4分）因为．（5分）所以切线方程为．（6分）（Ⅱ）函数的定义域为．因为（7分）所以．（9分）令，即，解得或．（10分）（1）当时，当变化时，，的变化状态如下表：10极小值所以当时，取得极小值．所以成立．（11分）（2）当时，当变化时，，的变化状态如下表：100极大值极小值所以当时，取得极小值．所以成立．（12分）（3）当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有极小值，不成立．（13分）（4）当时，当变化时，，的变化状态如下表：100极大值极小值所以当时，取得极大值．所以不成立．（14分）综上所述，．（15分）【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查切线方程以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．9．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出的解析式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值，从而证明结论成立；（Ⅲ）求出的解析式，通过讨论的范围，结合不等式的性质求出的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ），，令，解得：，，，的变化如下：0递增极大值递减故在递增，在递减；（Ⅱ）证明：，，，①当时，，，故，②当时，，，故，故在递增，在递减，故（1）；（Ⅲ），，①当时，（1），即存在1，使得（1）；②当时，由（Ⅱ）可知：，即，故，综上，对任意，，即不存在使得，综上，的最大值是．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．10．【分析】（Ⅰ）求出导函数，切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．（Ⅱ）求出，通过函数在区间上有极值，得到．利用导函数的符号判断函数的单调性，结合对于，恒成立，得到不等式，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）当时，因为，所以．因为（1），（1），所以曲线在点，（1）处的切线方程为，即．（Ⅱ）因为，函数在区间上有极值，所以．所以．当变化时，，的变化情况如下表：010因为对于，恒成立，所以，且（1）．所以，即．因为，所以．【点评】本题考查切线方程的求法，函数的对数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．11．【分析】（Ⅰ）当时，写出的表达式，对进行求导，求出处的斜率，再根据点斜式求出切线的方程；（Ⅱ）求出函数的定义域，令大于0求出的范围即为函数的增区间；令小于0求出的范围即为函数的减区间；（Ⅲ）由题意可知，对任意的，，使成立，只需任意的，，．下面对进行分类讨论，从而求出的取值范围；【解