2017-2019北京高三数学上学期期中汇编：函数（教师版）

18/182017-2019北京高三数学上学期期中汇编：函数一．填空题1．（2017秋•朝阳区期中）已知函数f（x）同时满足以下条件：①定义域为R；②值域为[0，2]；③f（x）﹣f（﹣x）＝0．试写出一个函数解析式f（x）＝．2．（2017秋•朝阳区期中）已知函数若f（x）的图象与直线y＝kx有两个不同的交点，则实数k的取值范围为．3．（2017秋•朝阳区期中）某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S．若罐头盒的底面半径为r，则罐头盒的体积V与r的函数关系式为；当r＝时，罐头盒的体积最大．4．（2017秋•海淀区期中）设在海拔x（单位：m）处的大气压强y（单位：kPa），y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为kPa．5．（2017秋•海淀区期中）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则＝．6．（2017秋•海淀区期中）已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω＝，φ＝．7．（2017秋•东城区校级期中）若函数是奇函数，则f（x）＝．8．（2017秋•丰台区校级期中）设集合M＝{x|y＝}，集合N＝{y|y＝x2，x∈M}，则M∩N＝．9．（2019秋•东城区校级期中）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝3f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣2，则m的取值范围是．10．（2019秋•西城区校级期中）若函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x+1为偶函数，则＝．11．（2018秋•东城区校级期中）满足f（﹣x）＝f（x）且f（2﹣x）＝﹣f（x）的函数f（x）可以是（写出一个即可）12．（2018秋•西城区校级期中）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数．（1）若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则f（1）（填是或否）可能为1．（2）若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则f（1）可能取值只能是．①②③④013．（2018秋•朝阳区期中）已知函数y＝f（x）满足下列条件：①定义域为R；②函数y＝f（x）在（0，1）上单调递增；③函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）有且只有一个零点，写出函数f（x）的一个表达式．14．（2018秋•通州区期中）设函数，若f（x）在（1，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是．15．（2018秋•通州区期中）设函数，若f（x）在（1，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是．16．（2018秋•通州区期中）能说明“若f（x）是奇函数，则f（0）＝0”为假命题的一个函数是．17．（2017秋•西城区校级期中）若f（x）＝ax2﹣ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是．18．（2017秋•东城区校级期中）设函数，则使得f（x2﹣2x）＞（3x﹣6）成立的x的取值范围是．19．（2017秋•东城区校级期中）已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a、b为实数，a≠0，x∈R），若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的值域为（0，+∞），则f（x）的表达式f（x）＝．当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，则实数k的取值范围是．20．（2017秋•东城区校级期中）函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2），有＝f（）恒成立，则称f（x）为恒均变函数，给出下列函数：①f（x）＝2x+3；②f（x）＝x2﹣2x+3；③f（x）＝；④f（x）＝ex．其中为恒均变函数的序号是．（写出所有满足条件的函数的序号）21．（2017秋•西城区校级期中）设Ω为平面直角坐标系中的点集，从Ω中的任意一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，记点M的横坐标的最大值与最小值之差为x（Ω），点N的纵坐标的最大值与最小值之差y（Ω）．若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论：①x（Ω）的最大值为；②x（Ω）+y（Ω）的取值范围是；③x（Ω）﹣y（Ω）恒等于0．其中所有正确结论的序号是．22．（2017秋•西城区校级期中）若函数则f（f（2））等于．二．解答题23．（2017秋•丰台区校级期中）已知定义在（0，+∞）上的两个函数f（x）＝x2+2ax（a＞0），g（x）＝3a2lnx+b图象有公共点，且在公共点处的切线相同．（Ⅰ）用a表示b．（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）（x＞1）．24．（2019秋•西城区校级期中）将所有平面向量组成的集合记作R2，f是从R2到R2的映射，记作＝f（）或（y1，y2）＝f（x1，x2），其中x1，x2，y1，y2都是实数．定义映射f的模为：在|x|＝1的条件下||的最大值记做∥f∥．若存在非零向量∈R，及实数λ使得f（）＝λ，则称λ为f的一个特征值．（Ⅰ）若f（x1，x2）＝（x1，x2）求∥f∥；（Ⅱ）如果f（x1，x2）＝（x1+x2，x1﹣x2），计算f的特征值，并求相应的；（Ⅲ）试找出一个映射f，满足以下两个条件：①有唯一特征值λ，②||f∥＝|λ|．（不需证明）

2017-2019北京高三数学上学期期中汇编：函数参考答案一．填空题1．（2017秋•朝阳区期中）已知函数f（x）同时满足以下条件：①定义域为R；②值域为[0，2]；③f（x）﹣f（﹣x）＝0．试写出一个函数解析式f（x）＝2|cosx|．【解答】解：由题意得：f（x）的定义域是R，值域是[0，2]，函数f（x）是偶函数，故y＝2|cosx|或y＝cosx+1或y＝等，故答案为：2|cosx|．2．（2017秋•朝阳区期中）已知函数若f（x）的图象与直线y＝kx有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣eln2）∪（﹣，0）∪[，2）．．【解答】解：作出f（x）的函数图象，如图所示：由图象可知当≤k＜2时，直线y＝kx与f（x）的图象在第一象限有2个交点；设直线y＝k1x与y＝x相切，切点为（a，b），则，解得a＝e，k1＝﹣．∴当﹣＜k＜0时，直线y＝kx与f（x）的图象在第四象限有2个交点；设直线y＝k2x与y＝（）x相切，切点为（m，n），则，解得m＝﹣log2e，k2＝﹣eln2，∴k＜﹣eln2时，直线y＝kx与f（x）的图象在第二象限有2个交点．综上，k的取值范围是（﹣∞，﹣eln2）∪（﹣，0）∪[，2）．故答案为：（﹣∞，﹣eln2）∪（﹣，0）∪[，2）．3．（2017秋•朝阳区期中）某罐头生产厂计划制造一种圆柱形的密封铁皮罐头盒，其表面积为定值S．若罐头盒的底面半径为r，则罐头盒的体积V与r的函数关系式为v＝sr﹣πr3，（0＜r＜）；当r＝时，罐头盒的体积最大．【解答】解：由题意得：圆柱的高是h＝，故v＝πr2•＝sr﹣πr3，（0＜r＜）；v′（r）＝s﹣3πr2，令v′（r）＞0，解得：0＜r＜，令v′（r）＜0，解得：r＞，故v（r）在（0，）递增，在（，）递减，故当r＝时V最大，故答案为：v＝sr﹣πr3，（0＜r＜）；．4．（2017秋•海淀区期中）设在海拔x（单位：m）处的大气压强y（单位：kPa），y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1000m处的大气压强为90kPa，则根据函数关系式，在海拔2000m处的大气压强为81kPa．【解答】解：∵在海拔1000m处的大气压强为90kPa，∴90＝100e1000a，即a＝，当x＝2000时，y＝100eax＝100＝81，故答案为：815．（2017秋•海淀区期中）已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，，则＝﹣2．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，可得f（0）＝0，且f（x+2）＝f（x），则＝﹣f（）+0＝﹣f（+2）＝﹣f（），由当0＜x＜1时，，可得f（）＝2，即＝﹣2．故答案为：﹣2．6．（2017秋•海淀区期中）已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω＝2，φ＝﹣．【解答】解：由图象可知f（x）的周期为T＝＝π，∴＝π，解得ω＝2．由图象可知f（）＝1，即＝1，∴+φ＝+kπ，k∈Z．∴φ＝﹣+kπ，又，∴φ＝﹣．故答案为：2，．7．（2017秋•东城区校级期中）若函数是奇函数，则f（x）＝x+1．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，结合奇函数的性质可得：f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x﹣1）＝x+1．故答案为：x+1．8．（2017秋•丰台区校级期中）设集合M＝{x|y＝}，集合N＝{y|y＝x2，x∈M}，则M∩N＝[4，+∞）．【解答】解：∵集合M＝{x|y＝}＝[2，+∞）∴集合N＝{y|y＝x2，x∈M}＝[4，+∞）∴M∩N＝[4，+∞）故答案为：[4，+∞）9．（2019秋•东城区校级期中）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝3f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣2，则m的取值范围是m≤．【解答】解：∵f（x+1）＝3f（x），∴f（x）＝3f（x﹣1），∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[﹣，0]，∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝3f（x﹣1）＝3（x﹣1）（x﹣2）∈[﹣，0]；∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝3f（x﹣1）＝9（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣，0]；当x∈（2，3]时，由9（x﹣2）（x﹣3）＝﹣2，解得x＝或x＝；若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣2，则m≤．故答案为：m≤．10．（2019秋•西城区校级期中）若函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x+1为偶函数，则＝﹣2．【解答】解：∵f（x）为偶函数，∴a﹣2＝0，∴a＝2，∴＝＝1﹣log27﹣（﹣log27+3）＝1﹣3＝﹣2．故答案为：﹣2．11．（2018秋•东城区校级期中）满足f（﹣x）＝f（x）且f（2﹣x）＝﹣f（x）的函数f（x）可以是f（x）＝cos（x）（答案不唯一）（写出一个即可）【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，又由f（2﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，则f（x）的解析式可以为f（x）＝cos（x），故答案为：f（x）＝cos（x）（答案不唯一）12．（2018秋•西城区校级期中）设D是含数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数．（1）若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则f（1）是（填是或否）可能为1．（2）若f（x）的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则f（1）可能取值只能是②．①②③④0【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由4个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）＝1通过代入，当f（1）＝，，0时此时得到的圆心角为，，0，然而此时x＝0或者x＝1时，都有2个y与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y，因此只有当x＝，此时旋转，此时满足一个x只会对应一个y，因此答案就选：②．故选；②．13．（2018秋•朝阳区期中）已知函数y＝f（x）满足下列条件：①定义域为R；②函数y＝f（x）在（0，1）上单调递增；③函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）有且只有一个零点，写出函数f（x）的一个表达式y＝x2．【解答】解：结合题意，y＝x2满足条件，故答案为：y＝x2．14．（2018秋•通州区期中）设函数，若f（x）在（1，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（0，1]．【解答】解：；∵a＞0；∴f（x）在（a，+∞）上单调递减；又f（x）在（1，+∞）上单调递减；∴a的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．15．（2018秋•通州区期中）设函数，若f（x）在（1，+∞）单调递减，则实数a的取值范围是（0，1]．【解答】解：；∵a＞0；∴f（x）在（a，+∞）上单调递减；又f（x）在（1，+∞）上单调递减；∴a的取值范围是（0，1]．故答案为：（0，1]．16．（2018秋•通州区期中）能说明“若f（x）是奇函数，则f（0）＝0”为假命题的一个函数是（答案不唯一）．【解答】解：根据题意，若f（x）是奇函数，且0在函数定义域中，则必有f（0）＝0，“若f（x）是奇函数，则f（0）＝0”为假命题，则0不在函数的定义域，则能说明“若f（x）是奇函数，则f（0）＝0”为假命题，只需函数的定义域不包含0即可，故这个函数可以是f（x）＝，故答案为：f（x）＝，（答案不唯一）17．（2017秋•西城区校级期中）若f（x）＝ax2﹣ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是（﹣16，0]．【解答】解：当a＝0时，f（x）＝﹣4＜0恒成立，符合题意；当a≠0时，f（x）＝ax2﹣ax﹣4＜0恒成立，则，解得：﹣16＜a＜0．综上所述，﹣16＜a≤0，即实数a的取值范围是（﹣16，0]．故答案为：（﹣16，0]．18．（2017秋•东城区校级期中）设函数，则使得f（x2﹣2x）＞（3x﹣6）成立的x的取值范围是（﹣∞，2）∪（3，+∞）．【解答】解：∵函数为奇函数，当x＞0时，，可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴由奇函数的性质，可得f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，且函数f（x）在x＝0处连续，所以，函数f（x）在R上单调递增．∴由f（x2﹣2x）＞（3x﹣6），可得x2﹣2x＞3x﹣6，即x2﹣5x+6＞0，解得x＜2或x＞3，因此，x的取值范围是（﹣∞，2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，2）∪（3，+∞）．19．（2017秋•东城区校级期中）已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a、b为实数，a≠0，x∈R），若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的值域为（0，+∞），则f（x）的表达式f（x）＝x2+2x+1．当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．【解答】解：∵f（x）＝ax2+bx+1（a≠0），f（﹣1）＝a﹣b+1＝0，∴a＝b﹣1①，又∵＝，②，联立①②解出a＝1，b＝2，∴f（x）＝x2+2x+1．（2）因为g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+2x+1﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1＝（x+）2+1﹣，所以当≥2或≤﹣2时，函数g（x）在∈[﹣2，2]上单调，即k的范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）时，g（x）是单调函数，故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．20．（2017秋•东城区校级期中）函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2），有＝f（）恒成立，则称f（x）为恒均变函数，给出下列函数：①f（x）＝2x+3；②f（x）＝x2﹣2x+3；③f（x）＝；④f（x）＝ex．其中为恒均变函数的序号是①②．（写出所有满足条件的函数的序号）【解答】解：①f（x）＝2x+3，，．符合要求．②f（x）＝x2﹣2x+3，＝，．符合要求．③，，．不符合要求．④f（x）＝ex，．不符合要求．综上所述，符合要求有①②，故答案为：①②．21．（2017秋•西城区校级期中）设Ω为平面直角坐标系中的点集，从Ω中的任意一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N，记点M的横坐标的最大值与最小值之差为x（Ω），点N的纵坐标的最大值与最小值之差y（Ω）．若Ω是边长为1的正方形，给出下列三个结论：①x（Ω）的最大值为；②x（Ω）+y（Ω）的取值范围是；③x（Ω）﹣y（Ω）恒等于0．其中所有正确结论的序号是①②③．【解答】解：由题意，可得Ω为平面直角坐标系中的点集的图形；∵正方形的边长为1，∴正方形的对角线为，则x（Ω）的最大值为；①正确；如图：当正方形的对角线在x轴上时，x（Ω）＝，y（Ω）＝，那么x（Ω）+y（Ω）＝2，当正方形的边长有一边位于坐标轴上时，如图，此时x（Ω）＝1，y（Ω）＝1，此时x（Ω）+y（Ω）＝2为最小值．∴②x（Ω）+y（Ω）的取值范围是；②正确．由于x（Ω）＝y（Ω）恒成立，故x（Ω）﹣y（Ω）恒等于0，故③正确；故所有正确结论的序号是①②③，故答案为：①②③．22．（2017秋•西城区校级期中）若函数则f（f（2））等于3．【解答】解：∵函数∴f（2）＝8，f（f（2））＝f（8）＝3，故答案为：3二．解答题23．（2017秋•丰台区校级期中）已知定义在（0，+∞）上的两个函数f（x）＝x2+2ax（a＞0），g（x）＝3a2lnx+b图象有公共点，且在公共点处的切线相同．（Ⅰ）用a表示b．（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）（x＞1）．【解答】解：（Ⅰ）设y＝f（x）与y＝g（x）（x＞0）公共点（x0，y0）处的切线相同．f′（x）＝x+2a，g′（x）＝．由题意知f（x0）＝g