2023年中考数学精学巧练备考秘籍第5章图形的性质第26课时锐角三角函数与解直角三角形

第5章图形的性质【精学】考点一、锐角三角函数1、如图，在△ABC中，∠C=90°①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即2、锐角三角函数的概念锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数3、一些特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°sinα01cosα10tanα01不存在cotα不存在104、各锐角三角函数之间的关系〔1〕互余关系sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)〔2〕平方关系〔3〕倒数关系tanAtan(90°—A)=1〔4〕弦切关系tanA=5、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，〔1〕正弦值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕〔2〕余弦值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕〔3〕正切值随着角度的增大〔或减小〕而增大〔或减小〕〔4〕余切值随着角度的增大〔或减小〕而减小〔或增大〕考点二、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理论依据在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c〔1〕三边之间的关系：〔勾股定理〕〔2〕锐角之间的关系：∠A+∠B=90°〔3〕边角之间的关系：【巧练】题型一、锐角三角函数的概念【例1】(2023浙江丽水)如图，点A为∠α边上任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，以下用线段比表示的值，错误的选项是〔〕A．B．C．D．【答案】C．【分析】由图可知∠α=∠ACD，所以cosα=cos∠ACD，∠α是RT△ABC、△BCD的内角，∠ACD是RT△ACD的内角，共有三种表示方法，故可做出判断．【解析】根据，所以选项A、B、D正确，选项C错误．应选C．【点评】此题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于比照斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．【方法规律技巧】在解直角三角形时，许多问题中并不是直角三角形，而是要通过构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题．通常通过作三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角函数定义解决．题型二、特殊角的三角函数值【例2】〔2023•天津〕sin60°的值等于〔〕A．B．C．D．【答案】C【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【解答】解：sin60°=．应选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键．题型三、解直角三角形【例3】〔2023•怀化〕在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=6cm，那么BC的长度为〔〕A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm【答案】C【分析】根据三角函数的定义求得BC和AB的比值，设出BC、AB，然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：∵sinA==，∴设BC=4x，AB=5x，又∵AC2+BC2=AB2，∴62+〔4x〕2=〔5x〕2，解得：x=2或x=﹣2〔舍〕，那么BC=4x=8cm，应选：C．【点评】此题考查了锐角三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．【方法规律技巧】根据题干描述可以画出图形，方便理解，最关键的是要明确边角关系，以防出错，根据三角函数找到边之间的数量关系在通过勾股定理列方程，是求边的常用方法。题型四、网格中的三角函数问题【例4】(2023湖北襄阳)如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，那么sinA的值为()【答案】B.【解析】试题分析：过C作CD⊥AB于D，BC＝2，AB＝3，S△ABC＝，解得：CD＝，又AC＝，所以，＝＝，故答案选B.【点评】网格含有大量的隐含条件，充分开掘网格中的边角条件，利用网格构建直角三角形是解答此类问题的关键。【限时突破】1.〔2023天津〕的值等于〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕2．〔2023•兰州〕在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，那么AB=〔〕A．4B．6C．8D3．〔2023•永州〕以下式子错误的选项是〔〕A．cos40°=sin50°B．tan15°•tan75°=1C．sin225°+cos225°=1D．sin60°=2sin30°4．〔2023•甘肃庆阳〕在△ABC中，假设角A，B满足|cosA﹣|+〔1﹣tanB〕2=0，那么∠C的大小是〔〕 A．45° B．60° C．75° D．105°5．〔2023•福州〕如图，以圆O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B两点，P是上一点〔不与A，B重合〕，连接OP，设∠POB=α，那么点P的坐标是〔〕A．〔sinα，sinα〕B．〔cosα，cosα〕C．〔cosα，sinα〕D．〔sinα，cosα〕6.〔2023黑龙江牡丹江〕在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，那么BC边长为〔〕．A．7B．8C．8或17D．7或177.〔2023•四川巴中〕如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，那么tan∠AOB=．8．〔2023•甘肃天水〕如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，点P在四边形ABCD的边上．假设点P到BD的距离为，那么点P的个数为〔〕A．2B．3C．4D９．〔2023•湖北襄阳〕如图，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：〔1〕BC的长；〔2〕sin∠ADC的值．【答案解析】1.【答案】B．【分析】根据特殊角的三角函数值即可得．【解析】根据特殊角的三角函数值即可得=，应选B．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．2．【答案】D.【分析】在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入求出AB的长即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA==，BC=6，∴AB===10，应选D【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解此题的关键．3.【答案】D【分析】根据正弦和余弦的性质以及正切、余切的性质即可作出判断．【解答】解：A、sin40°=sin〔90°﹣50°〕=cos50°，式子正确；B、tan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；C、sin225°+cos225°=1正确；D、sin60°=，sin30°=，那么sin60°=2sin30°错误．应选D．【点评】此题考查了互余两个角的正弦和余弦之间的关系，以及同角之间的正切和余切之间的关系，理解性质是关键．4.【答案】D分析：根据非负数的性质得出cosA=，tanB=1，求出∠A和∠B的度数，继而可求得∠C的度数．解答：解：由题意得，cosA=，tanB=1，那么∠A=30°，∠B=45°，那么∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．应选D．点评：此题考查了特殊角的三角函数值，解答此题的关键是掌握几个特殊角5.【答案】C【分析】过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在直角三角形OPQ中，利用锐角三角函数定义表示出OQ与PQ，即可确定出P的坐标．【解答】解：过P作PQ⊥OB，交OB于点Q，在Rt△OPQ中，OP=1，∠POQ=α，∴sinα=，cosα=，即PQ=sinα，OQ=cosα，那么P的坐标为〔cosα，sinα〕，应选C．【点评】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解此题的关键．6.【答案】D．【分析】根据特殊角的三角函数值：cos45°=,所以∠B=45°，然后画出图形，分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论即可得解.【解析】根据特殊角的三角函数值：cos45°=,所以∠B=45°，然后画出图形，分锐角三角形和钝角三角形两种情况，如图：①当△ABC为钝角三角形时，如图1，作AD⊥BC交BC的延长线于D，由∠B=45°可知△ABD是等腰直角三角形，AB=12，∴AD=BD===12，∵AC=13，由勾股定理得CD=5，∴BC=BD﹣CD=12﹣5=7；②当△ABC为锐角三角形时，如图2，作AD⊥BC交BC于D,由∠B=45°可知△ABD是等腰直角三角形，AB=12，∴AD=BD===12，∵AC=13，由勾股定理得CD=5，∴BC=BD+CD=12+5=17；故BC的值有两个7或17，选D．【点评】此题考查了在直角三角形特殊角的函数值，勾股定理，锐角三角函数的定义，分类讨论，属中等题.7.【答案】分析：先在图中找出∠AOB所在的直角三角形，再根据三角函数的定义即可求出tan∠AOB的值．解答：解：过点A作AD⊥OB垂足为D，如图，在直角△ABD中，AD=1，OD=2，那么tan∠AOB==．故答案为．点评：此题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．8.分析：首先作出AB、AD边上的点P〔点A〕到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P〔点C〕到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由计算出AE、CF的长与比拟得出答案．解答：解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=2，CD=，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°，∵sin∠ABD=，∴AE=AB•sin∠ABD=2•sin45°=2•=2＞，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，应选A．点评：此题考查了解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比拟得出答案．９.分析：〔1〕过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB=，求出BE的长即可；〔2〕根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．