《线性代数Ｂ》课程教学大纲

《线性代数Ｂ》课程教学大纲课程编号：931011课程名称：线性代数B英文名称：LinearAlgebra课程类别：普通教育课程课程性质：必修课开课学期：第二学期学时/学分：66（理论讲授54学时，习题课12学时）/3课程类别：普通教育课课程性质：必修课选用教材：大学数学《线性代数》陈殿友术洪亮主编2009年高等教育出版社出版（第二版）主要教学参考书：《线性代数》（修订版），欧维义、陈维钧编，出版社出版；《线性代数》，黄万风、戴天时编，东北师范大学出版社出版；《线性代数》（第五版），同济大学编，高等教育出版社出版。一、课程简介：《线性代数B》课程是高等学校理工科专业本科生一门重要的基础理论课。是工学、地学各专业及化学、生物、环境等相关专业本科生普通教育的必修课。本课程是离散是数学的基础。它主要阐述代数学中线性关系的经典理论，具有较强的抽象性和逻辑性。线性代数的概念、理论和方法对于学生学习后继课程以及毕业后从事科学研究、工程技术与管理工作都是不可缺少的。线性代数B授课对象为：工学、地学各专业及化学、生物、环境、等相关专业本科生。通过本课程与其它数学基础课的教学，达到全面提高学生数学素质的目的。LinearalgebraBisanimportantbasictheoryclassofthecollegesanduniversitiesofscienceandengineeringundergraduates.Itisacompulsorycourseformyschoolphysics,computer,materials,electronics,mechanicalengineeringandprofessionaleducationingeneral.Thiscourseisfoundationofdiscretemathematics.Itmainlypresentstheclassicaltheoryofalgebraiclinearrelationshipwithstronglogicalandabstract.Theconcept,theoryandmethodoflinearalgebraisessentialtothestudents'learningofthecourseandthescientificresearch,engineeringtechnologyandmanagementaftergraduation.LinearalgebraBteachingobjects:Engineering,geography,andchemical,biological,environmental,andotherrelatedprofessionalundergraduate.Weneedgraduallycultivatestudents’scientificinnovation,rigorousandrealisticstyle.Throughtheteachingofthiscourseandotherbasiccourses,itcanimprovethestudents'quality.二、课程目标及其与毕业要求指标点对应关系通过本课程的教学，要在传授知识的同时，注意培养学生的抽象思维能力、逻辑推理与判断能力、空间想象能力和数学语言及符号的表达能力。结合习题课、课后作业、考试等相关教学环节提高学生综合运用数学基本概念、基本理论、基本方法分析问题和解决问题的能力。（对应毕业要求指标点：固体方向1.1；油气方向1.1）三、各章节内容及学时分配：第一章矩阵的运算与初等变换（6+2学时）矩阵的概念、同型、相等、零矩阵、负矩阵、方阵、向量的概念、n维基本向量、单位矩阵概念。矩阵的加法、数乘、乘法、转置及相关运算规律。方阵乘幂；矩阵多项式。矩阵分块及分块矩阵的运算。几种特殊矩阵（标量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、分块对角矩阵）及其运算性质。矩阵的初等变换；矩阵在初等变换下的标准形；矩阵经过行初等变换化为阶梯形。初等矩阵与初等变换的关系。第二章方阵的行列式（6+2学时）n阶方阵的行列式：二、三阶行列式；n级排列及其逆序数；n阶行列式的定义及性质；方阵乘积的行列式；行列式按一行展开定理，Laplace展开定理；行列式计算举例。第三章可逆矩阵（6+2学时）可逆矩阵的定义及性质；方阵A的伴随矩阵A*；方阵可逆的充要条件及逆阵的求法。矩阵的秩的定义；行（列）满秩矩阵，满秩矩阵；等价矩阵的秩相同；矩阵求秩方法。第四章线性方程组与向量组的线性相关性（12+2学时）线性方程组的一般形式、向量形式及矩阵的形式；齐次与非齐次线性方程组的通解，同解方程组的概念。Cramer法则。用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为行阶梯形矩阵；线性方程组有解及有无穷多解的判别定理。向量组的线性组合；两向量组的等价；向量组的线性相关与线性无关；线性相关性的若干重要结论。向量组的最大无关组与秩。矩阵的行秩、列秩与其秩相等。关于矩阵秩的进一步讨论。齐次线性方程组解的性质，基础解系及通解求法。非齐次线性方程组解的存在性，解的性质，解的结构及通解求法。第五章方阵的特征值、特征向量与相似化简（12+2学时）数域，复数域上的标准分解式。方阵的特征多项式、特征值与特征向量的定义及求法；特征多项式中常数项与特征值的关系，n-1次项系数与矩阵的迹数的关系；矩阵可逆的充要条件是特征值全非零。方阵相似的定义及性质；矩阵相似于对角形的充要条件；掌握相似变换矩阵的求法。实向量的内积、长度及其基本性质；正交向量组与单位正交组；Schmidt逐步正交化方法。正交矩阵及其性质。实对称矩阵特征值、特征向量的有关性质；用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵。多项式矩阵及其初等变换；用初等变换化数字方阵A的特征矩阵λE-A为对角矩阵；初等因子；*Jordan标准形求法及简单应用。第六章二次型与对称矩阵（6+2学时）二次型及其矩阵表示；可逆线性变换；矩阵的合同及其性质。二次型的标准形与对称矩阵的合同对角化；掌握用正交变换化实二次型为标准形；用配方法化二次型为标准形。用合同变换化二次型为标准形。实二次型（实对称矩阵）的规范形。*惯性定理；*复二次型（复对称矩阵）的规范形。实二次型（实对称矩阵）的分类；正定二次型（正定矩阵）的充要条件。*负定与半正定二次型的判别。第七章线性空间与线性变换（6学时）线性空间的定义、性质；线性子空间及其判别。*子空间的交与和。线性空间的基与维权的定义及其求法。有限维线性空间中向量坐标的定义及相关性质；基变换与坐标变换公式。各章节大纲内容：第一章矩阵的运算与初等变换了解矩阵的概念，同型，相等，零矩阵、负矩阵，方阵及向量的概念、n维基本向量、单位矩阵等概念。掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及相关运算规律。方阵乘幂；矩阵多项式。矩阵分块及分块矩阵的运算。理解几种特殊矩阵（标量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、分块对角矩阵）及其运算性质。掌握矩阵的初等变换；矩阵在初等变换下的标准形；矩阵经过初等行变换化为行阶梯形矩阵。初等矩阵与初等变换的关系。第二章方阵的行列式理解n阶矩阵的行列式：二、三阶行列式；n级排列及其逆序数的概念；掌握n阶行列式的定义及性质；方阵乘积的行列式；按一行展开定理，Laplace展开定理；行列式计算举例。第三章可逆矩阵理解可逆矩阵的定义及性质；方阵A的伴随矩阵A*；方阵可逆的充要条件及逆阵的求法。理解矩阵的秩的定义；行（列）满秩矩阵，满秩矩阵；等价矩阵的秩相同；矩阵求秩方法。第四章线性方程组与向量组的线性相关性了解线性方程组的一般形式、向量形式及矩阵的形式；齐次与非齐次线性方程组的通解，同解方程组的概念。Cramer法则。用初等行变换化线性方程组的增广矩阵为阶梯形；线性方程组有解及有无穷多解的判别定理。理解向量组的线性组合；两向量组等价；向量组的线性相关与线性无关；有关相关性的若干重要结论。向量组的最大无关组与秩。矩阵的行秩、列秩与其秩相等。关于矩阵秩的进一步讨论。掌握齐次线性方程组解的性质，基础解系及通解求法。非齐次线性方程组解的性质，解的结构及通解求法。第五章方阵的特征值、特征向量与相似化简了解方阵的特征多项式、特征值与特征向量的定义及求法；特征多项式中常数项与特征值的关系，n-1次项系数与矩阵的迹的关系；矩阵可逆的充要条件是特征值全非零。理解方阵相似的定义及性质；矩阵相似于对角形的充要条件；相似变换矩阵的求法。了解实向量的内积、长度及其基本性质；正交向量组与单位正交组；Schmidt逐步正交化方法。正交矩阵及其性质。掌握实对称矩阵特征值、特征向量的有关性质；用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵。了解多项式矩阵及其初等变换；用初等变换化数字方阵A的特征矩阵λE-A为对角矩阵；初等因子；Jordan标准形求法及简单应用。第六章二次型与对称矩阵了解二次型及其矩阵表示；可逆线性变换；矩阵的合同及其性质；二次型的标准形与对称矩阵的合同对角化。掌握用正交变换化实二次型为标准形；用配方法化二次型为标准形；用合同变换化二次型为标准形。实二次型（实对称矩阵）的规范形；*惯性定理。理解实二次型（实对称矩阵）的分类；正定二次型（正定矩阵）的充要条件。了解*负定与半正定二次型的判别。第七章线性空间与线性变换了解线性空间的定义、性质；线性子空间及其判别。*子空间的交与和。掌握线性空间的基与维数的定义及其求法。有限维线性空间中