2023年高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第6节对数与对数函数学案文北师大版

第六节对数与对数函数[考纲]1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，eq\f(1,2)的对数函数的图像.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．(对应学生用书第18页)[根底知识填充]1．对数的概念如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．2．对数的性质与运算法那么(1)对数的运算法那么如果a＞0且a≠1，M＞0，N＞0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logeq\o\al(m,a)Mn＝eq\f(n,m)logaM(m，n∈R且m≠0)．(2)对数的性质①alogaN＝N；②logaaN＝N(a＞0，且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)；②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logaD．3．对数函数的图像与性质a＞10＜a＜1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x＞1时，y＞0，0＜x＜1时，y＜0(5)当x＞1时，y＜0，0＜x＜1时，y＞0(6)是(0，＋∞)上的增函数(7)是(0，＋∞)上的减函数4.反函数指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．[知识拓展]1．换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)；(2)logambn＝eq\f(n,m)logaB．其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.2．对数函数的图像与底数大小的比拟如图2­6­1，作直线y＝1，那么该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜B．由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．图2­6­1[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)log2x2＝2log2x.()(2)当x＞1时，logax＞0.()(3)函数y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)与y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定义域相同．()(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函数图像不在第二、三象限．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．a＝2，b＝log2eq\f(1,3)，c＝，那么()A．a＞b＞c B．a＞c＞bC．c＞b＞a D．c＞a＞bD[∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2eq\f(1,3)＜log21＝0，c＝＞＝1，∴c＞a＞B．]3．函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图像如图2­6­2，那么以下结论成立的是()图2­6­2A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1D[由图像可知y＝loga(x＋c)的图像是由y＝logax的图像向左平移c个单位得到的，其中0＜c＜1.再根据单调性可知0＜a＜1.]4．(教材改编)假设logaeq\f(3,4)＜1(a＞0，且a≠1)，那么实数a的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B．(1，＋∞)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))C[当0＜a＜1时，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴0＜a＜eq\f(3,4)；当a＞1时，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴a＞1.即实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．]5．(2023·南昌模拟)计算：2log510＋log5eq\f(1,4)＝________，2log43＝________.【导学号：00090033】2eq\r(3)[2log510＋log5eq\f(1,4)＝log5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(102×\f(1,4)))＝2，因为log43＝eq\f(1,2)log23＝log2eq\r(3)，所以2log43＝2log2eq\r(3)＝eq\r(3).](对应学生用书第19页)对数的运算(1)设2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，那么m等于()A．eq\r(10) B．10C．20 D．100(2)(2023·太原模拟)log7[log3(log2x)]＝0，那么x－eq\f(1,2)等于()A．eq\f(1,3)B．eq\f(\r(3),6)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),4)(1)A(2)D[(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m＝eq\r(10).(2)由log7[log3(log2x)]＝0得log3(log2x)＝1，即log2x＝3，所以x＝8，所以x－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),4).][规律方法]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法那么化简合并．2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法那么，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．3．ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．[变式训练1](1)(2023·东城区综合练习(二))函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥4，,fx＋1，x＜4，))那么f(2＋log23)的值为()A．24B．16C．12D．8(2)(2023·浙江高考)计算：log2eq\f(\r(2),2)＝________，2log23＋log43＝________.(1)A(2)－eq\f(1,2)3eq\r(3)[(1)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×3＝24，应选A．(2)log2eq\f(\r(2),2)＝log2eq\r(2)－log22＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)；2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2eq\r(3)＝3eq\r(3).]对数函数的图像及应用(1)(2023·河南南阳一模)假设函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，那么函数y＝loga|x|的图像大致是()ABCD(2)(2023·衡水调研)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3x，x≤0，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，那么实数a的取值范围是________．(1)B(2)(1，＋∞)[(1)假设函数y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，那么a＞1，故函数y＝loga|x|的大致图像如下图．应选B．(2)如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图像，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．][规律方法]1.在识别函数图像时，要善于利用函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．[变式训练2](1)(2023·邵阳模拟)假设函数f(x)＝ax－k·a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，那么函数g(x)＝loga(x＋k)的大致图像是()(2)(2023·合肥模拟)当0＜x≤eq\f(1,2)时，4x＜logax，那么a的取值范围是()【导学号：00090034】A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)(1)B(2)B[(1)由题意函数f(x)＝ax－k·a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函数又是增函数，∴有f(0)＝0，即0＝1－k，∴k＝1，根据增＋增＝增，∴y＝ax是增函数，∴a＞1.那么函数g(x)＝loga(x＋1)(a＞1)的图像单调递增，恒过(0,0)，应选B．(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的图像，可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2＜logaeq\f(1,2)，那么a＞eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).]对数函数的性质及应用角度1比拟对数值的大小(1)(2023·全国卷Ⅰ)假设a＞b＞0,0＜c＜1，那么()A．logac＜logbc B．logca＜logcbC．ac＜bc D．ca＞cb(2)(2023·榆林模拟)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，那么a、b、cA．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜c＜a(1)B(2)B[(1)∵0＜c＜1，∴当a＞b＞1时，logac＞logbc，A项错误；∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上是减少的，又a＞b＞0，∴logca＜logcb，B项正确；∵0＜c＜1，∴函数y＝xc在(0，＋∞)上是增加的，又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C项错误；∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上是减少的，又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D项错误．(2)因为a＝60.4＞1，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.4＜0，所以a＞b＞C．角度2解简单的对数不等式(1)(2023·哈尔滨模拟)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋log2x，x＞0,x2－x－1，x≤0))，那么不等式f(x)≤5的解集为()A．[－1,1] B．(－∞，－2]∪(0,4)C．[－2,4] D．(－∞，－2]∪[0,4](2)(2023·浙江高考)a，b>0且a≠1，b≠1，假设logab>1，那么()A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0(1)C(2)D[(1)由于f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋log2x，x＞0,x2－x－1，x≤0))，当x＞0时，3＋log2x≤5，即log2x≤2＝log24，解得0＜x≤4，当x≤0时，x2－x－1≤5，即(x－3)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤0，∴不等式f(x)≤5的解集为[－2,4]，应选C．(2)法一：logab＞1＝logaa，当a＞1时，b＞a＞1；当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确．法二：取a＝2，b＝3，排除A，B，C，应选D．]角度3探究对数型函数的性质函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)假设f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？假设存在，求出a的值；假设不存在，请说明理由.【导学号：00090035】[解](1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，函数f(x)的定义域为(－1,3)．令g(x)＝－x2＋2x＋3，那么g(x)在(－1,1)上是增加的，在(1,3)上是减少的．又y＝l