2023年高考数学黄金100题系列第37题三角形中的不等问理

第37题三角形中的不等问题I．题源探究·黄金母题【例1】海中一小岛，周围内有暗礁，海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东70°，航行以后，望见这岛在北偏东60°，如果这艘轮船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？【解析】根据题意作出如下图，其中设为岛所在位置，是该轮船航行前后的位置，过作于，根据题意知，在△ABC中，，，，∴=10°，∠CBD=30°，由正弦定理得，，∴=≈15．7560，∴≈7．878＞3．8，∴没有触礁的危险．答：没有触礁的危险．精彩解读【试题来源】人教版A版必修5第24页复习参考题A组第2题．【母题评析】此题考查利用正余弦定理解与三角形有关的综合问题，是常考题型．【思路方法】根据题意画出图形，为岛所在位置，是该轮船航行前后的位置，过作于，根据题意知，在△ABC中，，，，要判断是否触礁，即需要计算C点到直线AB的距离CD，在△ABC中利用正弦定理计算出BC，在通过解直角三角形即可求出CD．II．考场精彩·真题回放【例2】【2023年高考北京理数】在ABC中，．〔1〕求的大小；〔2〕求的最大值．【解析】〔1〕由余弦定理及题设得，又∵，∴；〔2〕由〔1〕知，，因为，所以当时，取得最大值．【例3】【2023高考山东理数】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，〔Ⅰ〕证明：a+b=2c〔Ⅱ〕求cosC的最小值．【解析】由题意知，化简得，即．因为，所以．从而．由正弦定理得．由知，，当且仅当时，等号成立．故的最小值为．【命题意图】此题主要考查利用正余弦定理和三角公式求与三角形有关的三角式的范围问题，考查运算求解能力，是中档题．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等，考查学生利用正余弦定理及相关知识解决与三角形有关的综合问题．【难点中心】解答此类问题的关键是熟练学三角恒等变形能力，形成解题的模式和套路【例4】【2023高考湖南，理17】设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角．〔1〕证明：；〔2〕求的取值范围．【解析】〔1〕由及正弦定理，得，∴，即，又为钝角，因此，故，即．〔2〕由〔1〕知，，，∴，于是==，∵，∴，因此，由此可知的取值范围是．III．理论根底·解题原理考点一三角形中的不等关系1．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；2．任一角都大于00而小于1800，任意两角之和也是大于00而小于1800；33．．设角A是一三角形的内角，那么；4．在锐角三角形中，任意两角之和也是大于900而小于1800；5．在同一三角形中大边对大角，大角对大边考点二与三角形有关的综合问题类型常以三角形中的不等和最值问题为载体，考查运用三角变换、正余弦定理、根本不等式、平面向量等知识和方法求取值范围或值域或求值，要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力．对这类问题要认证读题，利用相关知识将条件转化为三角形的边角条件，利用正余弦定理，将问题转化为三角形的纯边或纯角的函数问题，再利用根本不等式或函数求值域的方法处理之．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，一般中档题，考查综合运用正余弦定理及相关知识与方法解综合问题的能力．【技能方法】1．与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在中，由．2．与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解．3．三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用根本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围．【易错指导】在求与三角性有关的最值〔范围〕问题时，常先利用正余弦定理将其化为角的三角函数，再利用三角形内角和定理消去角的个数，结合题中的条件和消去角的范围确定留下角的范围，利用三角函数图像与性质求解，最容易出现的错误①没有进一步确定留下角的范围；②在求最值时没有结合三角函数图像求最值而是直接代角范围的端点值，应尽量防止之．V．举一反三·触类旁通考向1关于三角形边的代数式的范围〔最值〕问题【例5】【2023黑龙江哈尔滨九中二模】设函数．〔1〕求的最大值，并写出使取最大值时的集合；〔2〕中，角的边分别为，假设，求的最小值．【答案】〔1〕2，；〔2〕1．试题解析：〔1〕的最大值为2．要使取最大值，，故的集合为〔2〕，即．化简得，只有．在中，由余弦定理，．由知，即，当时取最小值1．，【例6】【2023山西怀仁县一中高二上期开学考】在中，角、、的对边分别为、、，．〔1〕求；〔2〕假设，求的取值范围．〔2〕由〔1〕得：，其中，．【方法总结】对于三角形中边的代数式的最值问题，假设是三角形中最大〔小〕边长问题，先根据角判定三边的大小关系，再用正弦定理或余弦定理求解；假设是关于两边以上的齐次代数式，假设能求得两边的和或积为常数，可以利用根本不等式求最值，也可以利用正弦定理化为对应角的三角函数式的最值，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围．【跟踪练习】【2023湖北华中师大一附中高三五月适应性考试】在中，，假设最长为，那么最短边的长为．【答案】考向2关于三角形角的三角函数式的范围〔最值〕问题【例7】【2023贵州遵义一联】在中，角、、的对边分别为、、，且．〔1〕求角的大小；〔2〕假设的面积，求的值．【解析】〔1〕由，得，即，解得或〔舍去〕，因为．〔2〕由，得．由余弦定理，得．由正弦定理，得．【方法总结】对于三角形中角的三角函数式的最值问题，假设是三角形某个角余弦的最值问题，常用余弦定理化为边，利用根本不等式求最值；假设是含有多个角三角函数式的最值问题，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围．【跟踪练习】【2023重庆一中高二下学期期中】在中，，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】由有，通分化简有，由正弦定理有，由余弦定理有①，化简得，代入①有，所以的最小值为，选D．考向3关于三角形面积的最值问题【例8】【2023河北石家庄二中三模】如图，在中，角的对边分别为，．〔1〕求角的大小；〔2〕假设为外一点，，求四边形面积的最大值．【答案】〔1〕〔2〕试题解析：解：〔1〕在中，．有，，那么，即，那么．〔2〕在中，，又，那么为等腰直角三角形，，又，，当时，四边形的面积最大值，最大值为．【跟踪练习】1．【2023江西质检】如下图，在平面四边形中，，，，，那么四边形的面积的最大值是．【答案】．【方法总结】对三角形中面积的最值问题，假设一角为定值，常用余弦定理及根本不等式求出这个角两边积的最值，即可利用面积公式求出面积的最值，也可以利用正弦定理化为对角的三角函数式的最值问题，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围；假设邻边的积为定值，先求出夹角的正弦的取值范围，即可求出三角形面积的最值．2．【2023云南玉溪三模】的内角的对边分别为，且．〔1〕求；〔2〕假设点为边的中点，，求面积的最大值．【解析】〔1〕因为，由正弦定理知，即，，．又由为的内角，故而，所以．又由为的内角，故而所以，即，当且仅当时取等号．又，故而当且仅当时，取到最大值sin<，故a－b的取值范围是．考向4与解三角形有关的其它最值〔范围〕问题【例9】【2023江苏南通如皋第一次联考】如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB＝50米，AD＝100米，现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐〔其中，点O为AD的中点，OM⊥ON，点M在AB上，点N在CD上〕，将破旧的道路AM重新铺设．草坪本钱为每平方米20元，新道路AM本钱为每米500元，设∠OMA＝θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f(θ)〔1〕求f(θ)关于θ函数关系式，并写出定义域；〔2〕为节约投入本钱，当tanθ为何值时，总费用f(θ)最小？【答案】〔1〕f(θ)＝，其定义域为；〔2〕试题解析：〔1〕据题意，在Rt∆OAM中，OA＝50，∠OMA＝θ，所以AM＝，OM＝，据平面几何知识可知∠DON＝θ，在Rt∆ODN中，OD＝50，∠DON＝θ，所以ON＝，所以f(θ)＝＝＝，据题意，当点M与点B重合时，θ取最小值；当点N与点C重合时，θ取最大值，所以，所以f(θ)＝，其定义域为．〔2〕由〔1〕可知，f(θ)＝，，＝＝＝，令＝0，