理论力学教学材料第十三章振动基础

理论力学教学材料第十三章振动基础第一页，共六十八页，2022年，8月28日

引言

振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。

物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质点的振动；工程力学研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。

振动属于动力学第二类问题－已知主动力求运动。第二页，共六十八页，2022年，8月28日第三页，共六十八页，2022年，8月28日第四页，共六十八页，2022年，8月28日第五页，共六十八页，2022年，8月28日

振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题相类似：选择合适的广义坐标；分析运动；分析受力；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。

与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。

研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的－动量定理；动量矩定理；动能定理；达朗伯原理。第六页，共六十八页，2022年，8月28日

按激励特性划分：振动问题的分类

自由振动－没有外部激励，或者外部激励除去后，系统自身的振动。

参激振动－激励源为系统本身含随时间变化的参数，这种激励所引起的振动。

自激振动－系统由系统本身运动所诱发和控制的激励下发生的振动。

受迫振动－系统在作为时间函数的外部激励下发生的振动，这种外部激励不受系统运动的影响。第七页，共六十八页，2022年，8月28日

按系统特性或运动微分方程类型划分：

线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的振动。

非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。

按系统的自由度划分：

单自由度振动－一个自由度系统的振动。

多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。

连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。第八页，共六十八页，2022年，8月28日§19-1单自由度系统的自由振动l0mkkxOxl0stFW1.自由振动微分方程l0——弹簧原长；k——弹簧刚性系数；st——弹簧的静变形；取静平衡位置为坐标原点，x向下为正，则有：第九页，共六十八页，2022年，8月28日A——振幅；n——固有频率；（n+）——相位；

——初相位。第十页，共六十八页，2022年，8月28日单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程物理学基础的扩展这一方程，可以扩展为广义坐标的形式第十一页，共六十八页，2022年，8月28日第十二页，共六十八页，2022年，8月28日设弹簧刚度系数分别为k1和k2，在W重力作用下，两弹簧的总静变形λs等于单个弹簧的静变形之和，有1.

串联情形k1k2Wλs固有频率上式说明串联弹簧的等效刚度系数为由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力W相等，于是得串联弹簧与并联弹簧的等效刚度第十三页，共六十八页，2022年，8月28日2.

并联情形固有频率上式说明并联弹簧的等效刚度系数为k1k2Wλsk=k1+k2设弹簧刚度系数分别为k1和k2，在W重力作用下，静变形为λs，有k1k2W这种弹簧同样也是属于并联的情况第十四页，共六十八页，2022年，8月28日例题1提升重物系统中，钢丝绳的横截面积A＝2.89×10－4m2，材料的弹性模量E＝200GPa。重物的质量m＝6000kg，以匀速v＝0.25m/s下降。当重物下降到l＝25m

时，钢丝绳上端突然被卡住。mvl求：（1）重物的振动规律；（2）钢丝绳承受的最大张力。

解：钢丝绳－重物系统可以简化为弹簧－物块系统,弹簧的刚度为设钢丝绳被卡住的瞬时t＝0，这时重物的位置为初始平衡位置；以重物在铅垂方向的位移x作为广义坐标，则系统的振动方程为mk静平衡位置Ox第十五页，共六十八页，2022年，8月28日mk静平衡位置Ox方程的解为利用初始条件求得（2）钢丝绳承受的最大张力。取重物为研究对象第十六页，共六十八页，2022年，8月28日如图表示一简支梁和悬臂梁各有一集中载荷，重量为F，位置如图所示。已知梁的跨度为l，材料的弹性模量为E，截面惯性矩为J，不计梁的质量，求梁的固有频率。例题2解：简支梁中点和悬臂梁端点的静挠度分别为和相当的弹簧系数分别为和则固有频率分别为和第十七页，共六十八页，2022年，8月28日例题3图示结构中，杆在水平位置处于平衡，若k、m、a、l

等均为已知。

求：系统微振动的固有频率alkφFmgOm第十八页，共六十八页，2022年，8月28日解：取静平衡位置为其坐标原点，由动量矩定理，得在静平衡位置处，有alkφFmgOm第十九页，共六十八页，2022年，8月28日§19-2计算固有频率的能量法mk静平衡位置Ox物块的动能为取静平衡位置为零势能点，有在静平衡位置处，有第二十页，共六十八页，2022年，8月28日物块在平衡位置处，其动能最大物块在偏离平衡位置的极端处，其势能最大无阻尼自由振动系统是保守系统，系统的机械能守恒第二十一页，共六十八页，2022年，8月28日解：设OA杆作自由振动时，其摆角的变化规律为系统的最大动能为系统的最大势能为由机械能守恒定律有例题5由能量法解例题4dlkφFmgOm第二十二页，共六十八页，2022年，8月28日例题6半径为r、质量为m的均质圆柱体，在半径为R的刚性圆槽内作纯滚动。求：微振动固有频率。RCO解：设摆角的变化规律为系统的最大动能为第二十三页，共六十八页，2022年，8月28日取平衡位置处为零势能点，则系统的势能为由机械能守恒定律有RCO第二十四页，共六十八页，2022年，8月28日§19-3单自由度系统有阻尼自由振动

阻尼－系统中存在的各种阻力：干摩擦力，润滑表面阻力，液体或气体等介质的阻力、材料内部的阻力。物体运动沿润滑表面的阻力与速度的关系C－粘性阻尼系数或粘阻系数1.阻尼第二十五页，共六十八页，2022年，8月28日2.振动微分方程mkmcOxFkFcv取平衡位置为坐标原点，在建立此系统的振动微分方程时，可以不再计入重力的影响。物块的运动微分方程为第二十六页，共六十八页，2022年，8月28日本征方程本征值本征值与运动微分方程的通解的形式与阻尼比有关。设其解为其通解为第二十七页，共六十八页，2022年，8月28日3.小阻尼情形当n<

n时，阻尼系数，这时阻尼较小，称为小阻尼情形。其两个根为共轭复数，即：其方程的解为利用初始条件求得或第二十八页，共六十八页，2022年，8月28日TdA2A1衰减振动的周期：引入阻尼比：得有阻尼自由振动和相应的无阻尼自由振动间的关系：第二十九页，共六十八页，2022年，8月28日大阻尼(>1)情形临界阻尼(＝1)情形

这两种情形下，运动不再是周期型的，而是按负指数衰减>1＝1xOt第三十页，共六十八页，2022年，8月28日§19-4单自由度系统无阻尼受迫振动km0e受迫振动系统在外界激励下产生的振动。激励形式

外界激励一般为时间的函数，可以是周期函数，也可以是非周期函数。

简谐激励是最简单的激励。一般的周期性激励可以通过傅里叶级数展开成简谐激励的叠加。第三十一页，共六十八页，2022年，8月28日FkF1.振动微分方程mOxx振动微分方程第三十二页，共六十八页，2022年，8月28日微分方程的解为：将x2代入微分方程，得解得第三十三页，共六十八页，2022年，8月28日2.受迫振动的振幅幅频特性曲线第三十四页，共六十八页，2022年，8月28日3.共振现象当＝n

时，激振力频率等于系统的固有频率时，振幅在理论上应趋于无穷大，这种现象称为共振。这表明无阻尼系统发生共振时，振幅将随时间无限地增大。第三十五页，共六十八页，2022年，8月28日§19-5单自由度系统有阻尼受迫振动FkmcFmOxFkFc

这一微分方程的全解等于齐次方程的全解与非齐次方程的特解之和。第三十六页，共六十八页，2022年，8月28日有阻尼系统在简谐激励下，运动微分方程的全解代入微分方程，解得第三十七页，共六十八页，2022年，8月28日运动微分方程的通解为：在简谐激励的作用下，有阻尼系统的总响应由二部分组成：第一部分是衰减振动；第二部分是受迫振动。引入：第三十八页，共六十八页，2022年，8月28日第三十九页，共六十八页，2022年，8月28日第四十页，共六十八页，2022年，8月28日幅频特性与相频特性1、＝0的附近区域(低频区或弹性控制区)，

→1，＝0，响应与激励同相；对于不同的

值，曲线密集，阻尼影响不大。2、>>1的区域(高频区或惯性控制区)，

→0，→

，响应与激励反相；阻尼影响也不大。第四十一页，共六十八页，2022年，8月28日幅频特性与相频特性在低频区和高频区，当<<1时，由于阻尼影响不大，为了简化计算，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。第四十二页，共六十八页，2022年，8月28日幅频特性与相频特性3、＝1的附近区域(共振区)，

急剧增大并在

＝1略为偏左处有峰值。通常将＝1，即＝n称为共振频率。阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，＝1时，总有，＝

/2,这也是共振的重要现象。第四十三页，共六十八页，2022年，8月28日例题8惯性测振仪的内部安装有“质量(m)－弹簧(k)－阻尼器(c)”系统。测振仪外壳安置在被测振动的物体上。仪器内置质量块相对于外壳(被测振动的物体)的运动被转换成电信号输出。当被测振动的物体的运动规律为xe=asint时，试分析仪器内置质量块相对于外壳(被测振动的物体)的振动。kcm第四十四页，共六十八页，2022年，8月28日

解：在测振仪外壳上固结动坐标系O－xr，系统的牵连运动为平移。以质量块相对于仪器外壳(被测振动的物体)的位移xe作为广义坐标。系统的运动为非惯性系运动。应用达朗伯原理，在质量块上附加惯性力Fe，建立系统的运动微分方程。kcmFexrOxeO1第四十五页，共六十八页，2022年，8月28日

解：应用达朗伯原理，在质量块上附加惯性力Fe，建立系统的运动微分方程。kcmFexrOxeO1其稳态响应为第四十六页，共六十八页，2022年，8月28日解：稳态响应的幅频特性与相频特性曲线幅频特性曲线的特点：

在高频区，当>>1时，B/a→1

。因此，设计时应当使测振仪具有比较低的固有频率，才能有比较大的

值。

被测频率愈高，测量精度也高；被测频率低，测量精度便低。对于同一

值，阻尼较大时，B/a趋近于1。第四十七页，共六十八页，2022年，8月28日单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系惯性力、阻尼力、弹性恢复力和激励力在一个周期内怎样作功？又有怎样的能量关系呢？无阻尼自由振动系统机械能守恒，既无能量的损耗又无外界能量的输入，一个周期内仅有系统动能和势能的转换。有阻尼自由振动阻尼不断耗散能量，而外界又无能量补充，因此振动幅值随时间衰减。受迫振动第四十八页，共六十八页，2022年，8月28日单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系根据力在dt时间内所作之元功dW=Fvdt当力和速度同相位时，每一时刻都作正功；而当力和速度反相位时，每一时刻都作负功。

阻尼力和速度反相，因此始终作负功，在一个周期内所作的负功为第四十九页，共六十八页，2022年，8月28日单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系若力与速度相位相差/2，则力在一个周期内作功等于零。惯性力和弹性恢复力的相位都与速度相位相差/2，因此，惯性力与弹性恢复力在一个周期内所作之功都作功等于零。第五十页，共六十八页，2022年，8月28日单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系激励力超前位移相位，可将其分解为与速度和位移同相位的两部分。对于微分方程简谐激励力第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为第五十一页，共六十八页，2022年，8月28日单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系第二部分的相位与位移的相位相同，一个周期内作功为零。这样，激励力在一个周期内所作之功为这表明，稳态受迫振动一个周期内激励力所作之功等于阻尼力耗散的能量。这就可以解释为什么有阻尼系统受迫振动的稳态响应有一个稳定的振幅。根据稳态响应幅值的表达式有第五十二页，共六十八页，2022年，8月28日单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系因为在一个周期内激励力所作之功与振幅成正比，而阻尼耗散的能量与振幅平方成正比，当振动幅值还未达到稳定值B0时，激励力所作之功大于阻尼耗散的能量，振幅将增加。当振幅到达B0时，激励力所作之功与阻尼耗散的能量相等，系统能够维持等幅振动。第五十三页，共六十八页，2022年，8月28日单自由度线性系统的受迫振动

受迫振动中的能量关系若由于某种干扰使振幅大于B0时，阻尼耗散的能量大于激励力所作之功，振幅又会衰减，直至在B0处又维持稳定的振幅。第五十四页，共六十八页，2022年，8月28日

结论与讨论

按激励不同，可将振动分为自由振动、强迫振动和自激振动等，若按系统特性分类，则可分为线性振动和非线性振动。

关于振动概念

工程力学将振动的概念从物理学中的单个质点扩展到系统。系统可以是单自由度，也可以是多自由度，乃至无限多自由度。系统要产生振动必须有内因和外因：内因是系统本身既要有弹性又要有惯性，二者缺一不可。对有阻尼系统，仅在弱阻尼时运动才有振动形态。外因是系统要受到激励。第五十五页，共六十八页，2022年，8月28日

结论与讨论关于运动微分方程建立系统运动方程属于动力学第二类问题，即：已知主动力求运动的问题。主要过程与求解动力学其它问题相似，但振动问题还要注意广义坐标原点的选择，通常以静平衡位置作为广义坐标原点。第五十六页，共六十八页，2022年，8月28日

结论与讨论关于运动微分方程建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理

*拉格朗日方程－对于无阻尼的情形第五十七页，共六十八页，2022年，8月28日

结论与讨论关于运动微分方程建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理

*拉格朗日方程－对于有阻尼的情形第五十八页，共六十八页，2022年，8月28日

结论与讨论关于运动微分方程

动量矩定理－对于有一固定轴，并且绕固定轴转动的系统，特别对于扭转振动的情形，采用动量矩定理更好。JO－系统绕固定轴O的转动惯量的代数和；LO－所有外力对固定轴O之矩的代数和。力矩方向

与广义坐标方向相同时为正，反之为负。建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理第五十九页，共六十八页，2022年，8月28日

结论与讨论关于运动微分方程

机械能守恒－对于没有能量损耗的保守系统建立振动系统运动微分方程所用的动力学原理第六十页，共六十八页，2022年，8月28日

结论与讨论有阻尼系统仅在弱阻尼时才有振动形态，阻尼使自由振动频率略有降低使振幅按指数衰减，振动过程中有能量耗散。单自由度线性系统自由振动要点固有频率是系统的固有属性，它仅与系统的等效刚度和等效质量有关。无阻尼系统的自由振动是简谐振动，其频率就是固有频率；振幅和初相位取决于初始条件；振动过程中没有能量的补充或耗散。第六十一页，共六十八页，2022年，8月28日

结论与讨论单自