2023年考研数学三真题及答案

２023年考研数学三真题一、选择题(１~8小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目规定的。)设limn→∞an=a,且a≠０(Ａ)an>a2(C)an>a-【答案】Ａ。【解析】【方法1】直接法：由limn→∞an=a,且a≠0an【方法2】排除法:若取an=2+2n,取an=2-2n,综上所述,本题对的答案是(Ａ)【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的概念与性质下列曲线中有渐近线的是(Ａ)y=x+sinx(B(C)y=x+sin1x【答案】Ｃ。【解析】【方法1】由于limlim所以曲线y=x+sin1x解法２考虑曲线y=x+sin1xlim则直线y=x是曲线y=x+sin1综上所述，本题对的答案是(Ｃ)【考点】高等数学—一元函数微分学—曲线的凹凸、拐点及渐近线设px=a+bx+cx2+dx3.当(A）a=0(B)b=1(C)c=0(D)d=【答案】Ｄ。【解析】【方法1】当x→0时，tanx-x~1tan又lim则a=0,b=1,c=0,d=【方法2】显然，a=0lim由上式可知,b=1lim故c=0,d=综上所述，本题对的答案是(Ｄ)。【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量及其阶的比较设函数f(x)具有二阶导数，g（Ａ)当f'(x)≥0时（Ｂ)当f'(x)≥0(C)当f''(x)≥0(Ｄ)当f''(x)≥0【答案】D。【解析】【方法1】由于f0=g0,f1=g1,则直线y=f01-x-f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f''(x)≥0时,曲线y【方法2】令FxF'x=f'x当f''(x)≥0时，F''x≥0。从而,当x∈[0,1]时，F(x)≤0【方法3】令Fx则Fx==x1-x＝x当f''(x)≥0时,f'(x)单调增,f'ξ≤f'(η)综上所述,本题对的答案是D。【考点】高等数学—一元函数微分学—函数不等式证明行列式0(A)(ad-bc)2（(C)a2d2-【答案】B。【解析】灵活使用拉普拉斯公式0=cda综上所述,本题对的答案是(B）【考点】线性代数—行列式—数字型行列式的计算设α1,αα1+kα(A)必要非充足条件(B)充足非必要条件(C)充足必要条件(D）既非充足又非必要条件【答案】A。【解析】记β1β若α1,α2,α故rβ1，β反之，设α1,α2线性无关,α3=0，则对于则对任意常数k,l,向量组所以α1+kα3综上所述,本题对的答案是（A)。【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关设随机事件A与B互相独立，且PB=0.5,P(A)０.１(B)0.２(C)0.3（D)０.4【答案】B。【解析】A,B独立,则A,B独立,B,A也独立，而A-B=ABPP可得PP综上所述,本题对的答案是（B)。【考点】概率论与数理记录—随机事件和概率—事件关系，概率性质和五大公式设X1,X2,X（A）F(1,1)(B)F(2,1)(C)t(1)（D）t(2)【答案】C。【解析】X1-XX3~NX1-X2与X3互相独立，故所以X1-X2综上所述,本题对的答案是C。【考点】概率论与数理记录—数理记录的基本概念二、填空题（９~１4小题,每小题4分,共2４分。）设某商品的需求函数为Q=40-2p(p为商品的价格）,则该商品的边际收益为。【答案】20【解析】由题设知收益函数为R=pQ=(40-QdR【考点】高等数学—一元函数微分学—一元微分在经济中的应用设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域,则D的面积为【答案】3【解析】【方法1】曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域D如下图,则S=【方法2】用二重积分计算面积,即S=yy=2xy+x=0x【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分应用设0axe2x【答案】12【解析】0可知a2-1【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分计算二次积分01dyy【答案】e-12【解析】二次积分的积分区域为D=互换积分顺序得0===【考点】高等数学—二重积分—变换积分顺序和坐标系设二次型fx1,x2,【答案】[-2,2]【解析】由配方法f=负惯性指数为1,故4-a2≥0【考点】高等数学—二次型—二次型的概念与标准形设总体X的概率密度为f其中θ是未知参数,X1,X2Eci=1nXi【答案】2【解析】Ec解得c【考点】概率论与数理记录—数理记录的基本概念三、解答题:15~23小题，共9４分。解答应写出文字说明、证明过程或演算环节。求极限lim【解析】【方法1】limx→+∞=limx→+∞=lim=limt→0=limt→=【方法２】limx→+∞=lim=lim==【考点】高等数学—函数、极限、连续—求函数的极限，常见等价无穷小，常见函数泰勒公式展开设平面内区域D={D【解析】【方法1】令x=rD==-又I=0π2=所以D【方法2】显然积分区域D关于x,y有轮换对称性，于是Dxsin(π=1＝12=1=1＝-【考点】高等数学—二重积分—运用区域的对称性和函数的奇偶性计算积分设函数f(μ)具有连续导数，且zcos若f0=0,求f【解析】运用复合函数偏导数的计算方法求出两个偏导数,代入所给偏微分方程,转化为可求解的常微分方程。由于∂z所以cos=cosy=因此cosyf从而函数f(μ)f'μ可得方程通解为f由f0=0，解得故f【考点】高等数学—多元函数微分学—复合函数偏导数，一阶线性非齐次微分方程求解求幂级数n=0∞【解析】【方法1】由于几何级数n=0∞xn又n=0====由幂级数的逐项求导性质知n=0∞n+1(n+3)xn【方法2】幂级数n=0∞n+1(n+3)xlim所以收敛半径R=1当x=1时，n=0∞当x=-1时,故收敛域为x设Sx=0==故和函数S【考点】高等数学—无穷级数—求幂级数的和函数及数项级数的和设函数fx,g(x)在区间[a,b]上连续，且fx0≤aa+【解析】(Ⅰ）由0≤g(x)得0≤a(Ⅱ）令F显然Fa=0,只要证明FuF=g由(Ⅰ)的结论0≤axg(t)dta又f(x)单调增长，则f(u)≥fa+F(b)≥0故aa+【考点】高等数学—一元函数积分学—与定积分有关的证明题设A=1-2023求方程组Ax=0的一个基础解系；求满足AB=E的所有矩阵B。【解析】(Ⅰ）对矩阵A做初等行变换，得A因n-rA=4-3=1,令故基础解系为η(Ⅱ)考察3个非齐次线性方程组Ax由于这三个方程组的系数矩阵是相同的,所以令A=(A⋮E)A→→→→由此得三个方程组的通解:(2,-1,-1,0)(6,-3,-4,0)(-1,1,1,0)故所求矩阵为B=2-k1【考点】高等数学—线性方程组—非齐次方程组的求解证明n阶矩阵1⋯11【解析】证明:记A=由于A是实对称矩阵必与对角矩阵相似由λE-A=λn-n故A又由λE-B=(λ-n)λn-1=0,当λ=0时，r0E-B=rB=1,那么n-r0E-B=n-1,即齐次方程组0E-Bx=0有B从而A和B相似。【考点】高等数学—特性值与特性向量—相似与相似对角化设随机变量X的概率密度为f对X进行独立反复的观测，直到第二个大于３的观测值出现时停止，记Y为观测次数求Y的概率分布求EY【解析】（Ⅰ)令A={对X进行一个观测得到的值大于3}。显然PA记事件A发生的概率PY的也许取值应为k=2,3,⋯P所以Y的分布为PY=k（Ⅱ）EY=2∞E