2023届河南省许昌市建安区第三高三年级上册学期诊断性测试（二）数学（理）试题【含答案】

2023届河南省许昌市建安区第三高级中学高三上学期诊断性测试（二）数学（理）试题一、单选题1．若集合，则（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性求得集合，根据集合的并集运算即可得答案.【详解】解得，解得，故得，故，故选：B．2．已知非零向量的夹角正切值为，且，则（

）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】先求出非零向量的夹角余弦值，再利用向量数量积的运算律和定义处理，即可得到答案.【详解】解析设，的夹角为，由得.因为，所以，得，解得或（舍去）.故选：D.3．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合题干条件以及余弦的二倍角公式得到，进而结合两角和的正弦公式即可求出结果.【详解】因为，所以，故选：C.4．在如图所示的程序框图中，输入，则输出的数等（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据流程图模拟计算后可求输出的值.【详解】第一次判断后，，第二次判断后，，第三次判断后，，第四次判断后，不成立，故终止循环，故选：B.5．若x，y满足不等式组，则下列目标函数中在点处取得最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据不等式组画出可行域，再分析各选项即可.【详解】作出满足题设约束条件的可行域，即如图内部（含边界）易得作直线，把直线向上平移，z减小，当过点时，取得最小值，故A正确；作直线，把直线向上平移，z减小，当过点时，取得最大值，故B错误；作直线，把直线向上平移，z增加，当过点时，取得最大值，故C错误；作直线，把直线向上平移，z增加，当过点时，取得最大值，故D错误．故选：A．6．中国空间站(ChinaSpaceStation)的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设中国空间站要安排甲、乙等5名航天员进舱开展实验，其中“天和核心舱”安排2人，“问天实验舱”安排2人，“梦天实验舱”安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（

）A．9种 B．24种 C．26种 D．30种【答案】B【分析】先利用分组与分配的求法求得5名航天员共有种不同的安排方案，再利用分类加法计数原理求得甲、乙两人在同一个舱内有种不同的安排方案，从而利用间接法即可得解.【详解】依题意，先从5名航天员中安排1人到“梦天实验舱”，则有种安排方案，再将剩下的4人分成两组，每组2人，则有种安排方案，接着将这两组分配到“天和核心舱”与“问天实验舱”，有种安排方案，所以这5名航天员的安排方案共有种，其中甲、乙两人同在“天和核心舱”内的安排方案有种，同在“问天实验舱”内的安排方案有种，即甲、乙两人在同一个舱内做实验的安排方案有种，所以甲、乙两人不在同一个舱内做实验的安排方案有种.故选：B.7．已知双曲线C1：与双曲线C2：的离心率分别为e1，e2，则e1e2的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由双曲线方程，把离心率表示出来，再利用基本不等式求最小.，【详解】易知，，则，由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：D.8．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派甲、乙、丙、丁4名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每项工作至少1人参加，若表示事件：“甲参加登记这项工作”；事件表示“乙参加登记这项工作”；事件表示“乙参加接种这项工作”，则下列结论正确的是（

）A．事件与相互独立 B．事件与相互独立C． D．【答案】D【分析】计算出，，验证得到，，故AB错误；利用条件概率公式求出，得到C错误，D正确.【详解】先将甲、乙、丙、丁4名医务工作者分为3组，1组2人，2组1人，则有种选择，再将分好的3组人员与参加登记、接种、留观3项工作全排列，故共有种基本事件，若甲与另外一人，共同参加登记这项工作，则只需将乙、丙、丁与登记、接种、留观3项工作全排列即可，此时由种选择，若甲单独参加登记这项工作，则先将剩余的乙、丙、丁分为两组，再和接种、留观2项工作全排列，有种选择，故事件包含的基本事件数为：，则，同理，事件包含的基本事件数为：，则，事件包含两种情况，一是甲单独参加登记这项工作，乙单独参加接种这项工作，则剩余的两人参加留观工作，此时由种选择，二是甲乙两人，有1人不是单独参加工作，此时有种选择，故事件包含的基本事件数为：，则∵，故A错误；∵，故B错误；∵，故C错误；∵，故D正确．故选：D.9．已知中，，则的充要条件是（

）A．是等腰三角形 B．C． D．【答案】D【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.【详解】由于，故当是等腰三角形时，或或；当时，是等腰三角形，所以是等腰三角形是的必要不充分条件，所以选项A不正确；当时，，即，所以或，则或；当时，，根据正弦定理可得，所以是的必要不充分条件，所以选项B不正确；当时，，即，解得，所以不是的充分条件，所以选项C不正确；当时，；当时，即，根据余弦定理，解得，则，所以是的充要条件，故选：D．10．若函数在上存在极大值点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数，令，讨论a的取值范围，结合在上存在极大值点，结合二次函数性质列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意可得，令，则，当时，，当时，，递增，当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；当时，图象对称轴为，此时要使函数在上存在极大值点，需满足，即，则，此时，在上递减，存在，使得，则当时，，递增，当时，，递减，函数在时取极大值，符合题意；当时，图象开口向下，对称轴为，此时要使函数在上存在极大值点，需满足，即，则，同上同理可说明此时符合题意，综合上述，可知的取值范围为，故选：D11．已知点P为双曲线上任意一点，､为其左､右焦点，O为坐标原点.过点P向双曲线两渐近线作垂线，设垂足分别为M､N，则下列所述错误的是（

）A．为定值B．O､P､M､N四点一定共圆C．·的最小值为D．存在点P满足P､M､三点共线时，P､N､三点也共线【答案】D【分析】对于A，设，表示出，即可判断A；对于B，由题目可得，M，N两点在以OP为直径的圆上，故可判断B；对于C，由双曲线的对称性可知，由，故可判断C；对于D，利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为N；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，可判断D.【详解】设，点到渐近线的距离为，同理，则，∵，即，∴（定值），故A正确；∵，∴△OMP和△ONP均为直角三角形，M，N两点在以OP为直径的圆上，故B正确；由双曲线的对称性可知，其中，∵∴成立，故C正确；如图利用双曲线的对称性，不妨设直线垂直一条渐近线，垂足为N；直线垂直另一条渐近线且交双曲线于点P，易知直线与直线的交点始终落在y轴上，故D不正确.故选：D.二、多选题12．已知复数z满足，则下列说法中正确的是（

）A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限C．复数z的共轭复数为 D．【答案】AD【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.【详解】因为，所以，，有，故A正确；复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故B错误；复数的共轭复数为，故C错误；因为，故D正确，故选:AD.三、填空题13．的展开式中的常数项是___________．【答案】【分析】求出的展开式中常数项和项，进而求得的展开式中的常数项．【详解】展开式的通项为，令，得，则展开式的常数项为令，得，则展开式的常数项为故展开式的常数项是．故答案为：14．把函数的图像向右平移个单位长度，得到的图像所对应的函数为偶函数，则的最小正值为__________．【答案】【分析】先化简的解析式，再由平移得出的解析式，由为偶函数，所以，，从而可得出答案.【详解】由函数把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数即的图象．因为为偶函数，所以，，解得，，当时，取得最小正值，最小正值为．故答案为：15．设数列首项，前n项和为，且满足，则满足的所有n的和为__________.【答案】9【分析】根据求出数列的通项，再根据等比数列的前项和公式求出，从而可得出答案.【详解】解：由，得，两式相减得，则，当时，，所以，所以数列是以为首项为公比的等比数列，则，，故，由，得，所以，所以或5，即所有n的和为.故答案为：9.16．如图，在正三棱柱中，，E是的中点，F是的中点，若过A，E，F三点的平面与交于点G，则__________．【答案】##【分析】以C为原点建立空间直角坐标系，可设，求出平面AEF的法向量，再根据求出，即可得出答案．【详解】如图，以C为原点建立空间直角坐标系，则，，，，由题可设，则，，，设平面AEF的法向量，则，令，则，故，由，得，则，．故答案为：四、解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，.(1)若，求的值；(2)求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角即可；（2）利用余弦定理结合已知得，利用二次函数求得最小值．【详解】（1）解：，且，，，由正弦定理可知，，，即，，整理得，；（2）解：，由余弦定理可知，，且，，当时，的最小值为．18．2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动．为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人计划既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率．(1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；(2)从顾客中随机抽取n人（），记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；【答案】(1)分布列见解析；期望为5(2)【分析】（1）三人的得分情况分别为：三人都得1分，三人中1人得1分其余2人得2分，三人中有2人得1分1人得2分，三人都得2分，根据以上情况计算各得分的概率可得分布列；（2）由n人的合计得分恰为n+1分，则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，可得，由错位相减法求得的前n项的和.【详解】（1）X的取值为3，4，5，6所以，，，．所以X的分布列为：X3456P所以；（2）因为这n人的合计得分恰为n+1分，则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，所以，设，，两式相减得，所以，所以；19．已知三棱柱，侧面是边长为2的菱形，，侧面四边形是矩形，且平面平面，点D是棱的中点．(1)在棱AC上是否存在一点E，使得平面，并说明理由；(2)当三棱锥的体积为时，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)存在，理由见解析(2)【分析】（1）取的中点F，连接EF，DF，易得，则四边形DFEA是平行四边形，从而AD∥EF，再利用线面平行的判定定理证明；（2）根据四边形是矩形，结合平面平面，得到面，由，得到，再由，得到，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量，由求解.【详解】（1）解：存在，当E为AC的中点时，AD∥平面，理由如下：如图所示：取的中点F，连接EF，DF，∵DF是的中位线，

∴，又

，∴

，∴四边形DFEA是平行四边形，∴AD∥EF，又面，面

，∴AD∥平面．（2）∵四边形是矩形，∴，，又∵平面平面，∴面，∵，∴

，∵侧面是菱形，，∴是正三角形，∵E是AC的中点，∴，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，设平面的一个法向量为，由，得，令，则，，∴，又平面的一个法向量，

∴，∴平面与平面的夹角的余弦值是.20．已知双曲线：的焦距为4，且过点(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与的面积之比.【答案】(1)(2)3【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从而可求出双曲线方程，（2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数的关系，结合中点坐标公式可表示点的坐标，再利用表示出点的坐标，再表示出直线的方程，可求得直线过定点，从而可求得答案.【详解】（1）由题意得，得，所以，因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线方程为，（2），设直线方程为，，由，得则，所以，所以的中点，因为，所以用代换，得，当，即时，直线的方程为，过点，当时，，直线的方程为，令，得，所以直线也过定点，所以21．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当a＝1时，若函数有两个零点，求实数t的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）分，，讨论求解即可；（2）由题意可知关于x的方程有两个不同的实根，进而，令，要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．令，利用导数法研究的零点即可【详解】（1）因为，所以．当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，得，由解得，由解得，所以在上单调递减，在上单调递增；当时，恒成立，所以在上单调递减．综上可知：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减．（2）当时，，则，所以关于x的方程有两个不同的实根，即关于x的方程有两个不同的实根．因为x＞0，所以．令，则，所以在上单调递增．要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．令，则．当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以．当t＜1时，，没有零点；当t＝1时，，当且仅当x＝1时，等号成立，只有一个零点；当t＞1时，，，．令，则，即在上单调递增，所以，即．所以在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件．综上，实数t的取值范围是．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，