线性代数3学分4线性方程组的解结构

§4齐次线性方程组

求齐次线性方程组AmnX0的基础解系设RA)r.A变换最简形矩阵性质.(1)若1,2是AX0的解则12也是AX0的解

b1,nr(2)若是AX0的解,k为实数,则k也是AX0的解

证:(1)A0

不妨设B

br,nr. A(12)A1A2 0 0.

A2.A0A(k)kA.

0 0齐次线性方程组的解的结构定理设S是AX0的解集,1 ,t是S的最大无关组(称

矩阵BAX0的基础解系),则AX0的通解为Xk11

x1b11xr1 b1,nrxn

x1b11xr1 t

中k ,k是任意

即 ., tk k是AX0的解其中k ,k是任.,

xb bx

xb b证:

1 t

r1r

r,nr

r1r r,nr.,,数之若S因为1 .,,.所以根据最大无关组的等价定义知可由1, ,t线性表.x1

b1,nr

b b

xr

br1c1 br

b b 令

,x

r1 r2 r,nrr

求得xr1

令11,20

nr

xr2

0

1

x

0

0 n

x1

b1,nr

1 0

r11

(即分别令

,x b b

0r r1 r2 r,nrr

nr 0

1 i

xr1

c1

c20

nr

(cR)是AX0的通解

xr2

0 1

则,

x 0 0 n :证首先1,2 ,nr是AX0: (分别令(c1, ,

) ,0);(0,1,0, , ;(

定理7.设RAmnr,则齐次线性方程组AmnX0的解集的秩为n.,,.

证:因为解集的秩是基础解系所含向量的个数

数

.,所以根据最大无关组的等价定义只要证1,2 ,nr线性.,11 knrnr0k1 knr,下面假定k11 knrnr,

向量的个数是n-所以解集的秩是n-注意:基础解系不唯一.因为根据最大无关组的定义,AmnX*

所以k1 knr

的解集S的任何nr个线性无关的向量组为基础解系.所以

0以, , 线性. .

n

通解的形式也不唯一* k

所以1,2 1 1 1k knr

nr

n.是AX0.x1x2x3x4例1.求齐次线性方程组xxx3x0的基础解系与通解

例2.(3学分)设1,2 .

1s1t2,2s2t3 ,msmt1,其中s,t

.s,t满足什么关系时,, ,也是CX0的基础 110

xx

x1

0tA初等变换0 1

4

2 ,求得x1=1

x

x0

0

4

x30

(,

)(

,

0 1

1

其中 1

x0 x1

记

令2

.求得

1

.记2

0 101

x4 x32

s

1

, ,

是CX0的基础解系,

通解为Xc11

2

2 3

关记B(, ),A(, , ).则B

1 1

1 分别令

2和

.求得

1和

令12x 1 2 2 4 x 1 2 2 44 3 则1,2也是基础解系

2 4

若|K|0,则R(B)R(K)m,所以1,2, 所以1,2, m线性无关|K| t

例3.设AmnBnl0.证明RAR(B.证 设B( ,)则0ABA( ,)(.

,A

K

所以Ai0对任意的1i 设AX0的解集为...., ,} 所以1 ,l可由S线...., R(B)R{

nR(

所 l 0 0

所以RAR(B m s

0t0sm(1)m1tm所以1,2, ,s是CX0的基础解系1,2, ,s线性|K|0sm(1)m1tm例4.(Ex25)设A为n阶矩阵(n2A*为A的伴随矩阵, 若RARA* 若RAn证 A, ,证 A, ,) ,,::回忆 线,: . ( ,)X0只有零解R(A)n|A|0A. AA*|A|..,,(1)若RAn则A可逆且|A|0所以A*|A..,,....

例5.(1)A02)AAT03ATA0(第二章2.2节例题例6.证明RARATARAAT.,AX0的解集的秩为nRA)..,ATAX0的解集的秩为nRAT.,所以要证RARATA)只要证nRAnRAT.,....,,0若X0是AX0的解则AX0 所以ATAX..,,0.所以A*RA*..()*.,,因为R(A)n 所以A有一个非零的n1阶子式记为,,.....D是A的某个元素 式,所以A*0所以R(A*)1所以R(A*).....

反之若X是ATAX0的解则ATAX ATAX00XTAT ..所以AX0与ATAX0同解所以RA)RATA)..

要证AX0.AX0.,(3)若R(A)n2 所以R(A*),

所以A*

所以RAATRAT)TAT)RAT)R

非齐次线性方程AX(性质.(1)设1和2都是AX(0)的解则12是AX0(AX的导出方程组)的解(2)设是AX(0)的解是AX0的解则是AX的解证 因为AX有唯一解,所以R(A)R(A,),

证:

A12A2

A()AA 设X0是AX的唯一解.则AX0

ATAXAT

.A()AA.00因为ATA可逆所以XATA)1ATAXATA)1AT.00

A0非齐次线性方程组解的结构定理 取定AX(0)的某一个解*,设, 是 1 2 nr基础解系.则AX的通解为X*k1 2 nr其中k1,k2 .,,++.:由上面性质知*k k是AX的解对任何实数k.,,++1,反之设为AX的,

nr .则*为AX0的..+,,,所以存在实数l l使得*ll .+,,,1

1 2

nr1 2 nr所以*(*)*l1 2 nr例8.(Ex27)设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,1,2,32 13 2

例9.(Ex30)设A1,2,3,42,3,4线性无关,12231234求AX的通解....,,解:因为2,3,4线性无关所以R(2,3,4....,,解向量且1,23.求该方程组的通解

因为122 4 3 解

所以3R(2,3,4RA4所以RA所以AX0的解集的秩是nRA43.设AX(..则AX0的解集的秩是nRA43.所以AX的通解是X1k(2123

1 1223 10 0

1..所以 是AX0的基础解10 0 2 33 4,k,4 5

11.A. 1

1

所以AX的通解是X1k2 ).(, 1).(, 例10.(Ex31)设*是非齐次线性方程组

例11.(Ex32)设 ,

是非齐次线性方程组AX的s 11

k ,k为实数,满足kk 1.证明k 证明:(1)*, 线性无关

1 k(2)*,* ,

s.线性无关.1

:* ,:

ksAs(k1k2 ks反证法.

..,n..,

.因为.

1 nr

所以*可由

12.(Ex33)设rR(A).设 , ... nr所以A* 但A*... nr

AmnX的nr1个线性无关的解.试证它的任一解 knr1nr1,其中k1 knr1.(2)用定义 只要.

k*k* 0kk

证

nr nr nr

因为 , 线性无关所以

线.,,k面假定k*k* k* .,,

nr

nr nr

关所以 ,

.则(kk k)*k .

nr nr 2

nr1

所以AX的通解为Xl

) ,因为*, ,线性无关所以kk k ,

nr nr

(1l

)l

l..k以k1k2 knr1所以*,* , ..

线性无

1

1

结论:若非齐次线性方程组AmnX有解,

设RA)r.A变换最简形矩阵nR(A)

b

x1b11xr1 b1,nr :证记rR:

B对应方程组 1 b

xb b. ,nr.

不妨设B

r,nr

r1r r,nr由例12知AX=的任何解可由

,

线性表

0 0

xr1

1 00 . nr.

分别令

, 0

0所以根据最大无关组的等价定义知道1 ,nr1是AX

x

.解集的一个最大无关.

b11

n

0 1b1,nr