2023年高考数学一轮复习课时分层训练30数列的概念与简单表示法理北师大版_第1页
2023年高考数学一轮复习课时分层训练30数列的概念与简单表示法理北师大版_第2页
2023年高考数学一轮复习课时分层训练30数列的概念与简单表示法理北师大版_第3页
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文档简介

课时分层训练(三十)数列的概念与简单表示法A组根底达标一、选择题1.以下数列中,既是递增数列又是无穷数列的是()A.1,eq\f(1,2),eq\f(1,3),eq\f(1,4),…B.-1,-2,-3,-4,…C.-1,-eq\f(1,2),-eq\f(1,4),-eq\f(1,8),…D.1,eq\r(2),eq\r(3),…,eq\r(n)C[根据定义,属于无穷数列的是选项A,B,C,属于递增数列的是选项C,D,故同时满足要求的是选项C.]2.(2023·安徽黄山二模)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1(n∈N+),那么S5=()A.31 B.42C.37 D.47D[∵an+1=Sn+1(n∈N+),即Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N+),∴Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N+),∴数列{Sn+1}为等比数列,其首项为3,公比为2.那么S5+1=3×24,解得S5=47.应选D.]3.把3,6,10,15,21,…这些数叫作三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图5­1­1).图5­1­1那么第6个三角形数是()【导学号:79140168】A.27 B.28C.29 D.30B[由题图可知,第6个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.]4.a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N+),那么数列{an}的通项公式是()A.2n-1 B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n+1,n)))eq\s\up7(n-1)C.n2 D.nD[∵an=n(an+1-an),∴eq\f(an+1,an)=eq\f(n+1,n),∴an=eq\f(an,an-1)·eq\f(an-1,an-2)·eq\f(an-2,an-3)·…·eq\f(a3,a2)·eq\f(a2,a1)·a1=eq\f(n,n-1)·eq\f(n-1,n-2)·eq\f(n-2,n-3)·…·eq\f(3,2)·eq\f(2,1)·1=n.]5.数列{an}满足a1=2,an+1=eq\f(1+an,1-an)(n∈N+),那么该数列的前2019项的乘积a1·a2·a3·…·a2019=()A.eq\f(1,3) B.-eq\f(1,3)C.3 D.-3C[由题意可得,a2=eq\f(1+a1,1-a1)=-3,a3=eq\f(1+a2,1-a2)=-eq\f(1,2),a4=eq\f(1+a3,1-a3)=eq\f(1,3),a5=eq\f(1+a4,1-a4)=2=a1,∴数列{an}是以4为周期的数列,而2019=4×504+3,a1a2∴前2019项的乘积为1504·a1a2二、填空题6.在数列-1,0,eq\f(1,9),eq\f(1,8),…,eq\f(n-2,n2),…中,0.08是它的第______项.10[令eq\f(n-2,n2)=0.08,得2n2-25n+50=0,那么(2n-5)(n-10)=0,解得n=10或n=eq\f(5,2)(舍去).所以a10=0.08.]7.(2023·河北唐山一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=eq\f(a1(4n-1),3),假设a4=32,那么a1=________.eq\f(1,2)[∵Sn=eq\f(a1(4n-1),3),a4=32,∴eq\f(255a1,3)-eq\f(63a1,3)=32,∴a1=eq\f(1,2).]8.数列{an}满足a1=1,an-an+1=nanan+1(n∈N+),那么an=__________.【导学号:79140169】eq\f(2,n2-n+2)[由得,eq\f(1,an+1)-eq\f(1,an)=n,所以eq\f(1,an)-eq\f(1,an-1)=n-1,eq\f(1,an-1)-eq\f(1,an-2)=n-2,…,eq\f(1,a2)-eq\f(1,a1)=1,所以eq\f(1,an)-eq\f(1,a1)=eq\f(n(n-1),2),a1=1,所以eq\f(1,an)=eq\f(n2-n+2,2),所以an=eq\f(2,n2-n+2).]三、解答题9.数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an+an+1,求数列{bn}的通项公式.[解](1)当n=1时,a1=S1=22-2=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n+1-2n=2n.因为a1也适合此等式,所以an=2n(n∈N+).(2)因为bn=an+an+1,且an=2n,an+1=2n+1,所以bn=2n+2n+1=3·2n.10.Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)+eq\f(1,2)an(n∈N+).(1)求a1,a2,a3,a4的值;(2)求数列{an}的通项公式.[解](1)由Sn=eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)+eq\f(1,2)an(n∈N+),可得a1=eq\f(1,2)aeq\o\al(2,1)+eq\f(1,2)a1,解得a1=1;S2=a1+a2=eq\f(1,2)aeq\o\al(2,2)+eq\f(1,2)a2,解得a2=2;同理,a3=3,a4=4.(2)Sn=eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n)+eq\f(1,2)an,①当n≥2时,Sn-1=eq\f(1,2)aeq\o\al(2,n-1)+eq\f(1,2)an-1,②①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0.由于an+an-1≠0,所以an-an-1=1,又由(1)知a1=1,故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列,故an=n.B组能力提升11.(2023·郑州二次质量预测)设数列{an}满足:a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,那么a20的值是()A.eq\f(21,5) B.eq\f(22,5)C.eq\f(23,5) D.eq\f(24,5)D[由2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1得nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan,又因为1×a1=1,2×a2-1×a1=5,所以数列{nan}是首项为1,公差为5的等差数列,那么20a20=1+19×5,解得a20=eq\f(24,5),应选D.]12.(2023·衡水中学检测)假设数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N+),那么数列{an}的前n项和数值最大时,n的值为()A.6 B.7C.8 D.9B[∵a1=19,an+1-an=-3,∴数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,∴an=19+(n-1)×(-3)=22-3n.设{an}的前k项和数值最大,那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ak≥0,,ak+1≤0))k∈N+,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22-3k≥0,,22-3(k+1)≤0,))∴eq\f(19,3)≤k≤eq\f(22,3),∵k∈N+,∴k=7.∴满足条件的n的值为7.]13.在一个数列中,如果任意n∈N+,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫作等积数列,k叫作这个数列的公积.数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,那么a1+a2+a3+…+a12=________.28[依题意得数列{an}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28.]14.数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.(1)假设k=-5,那么数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值;(2)对于n∈N+,都有an+1>an,求实数k的取值范围.【导学号:79140170】[解](1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因为n∈N+,所以n=2,3,所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.因为an=n2-5n+4=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n-\

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