2023年高考数学模拟试卷分项（第02期）专题07圆锥曲线

专题圆锥曲线一、选择题1．【2023黑龙江齐齐哈尔八中三模】抛物线：的焦点为，是上一点，且，那么〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】，如图，由抛物线的几何意义，可知，所以，所以，应选D。点睛：首先将抛物线化为标准方程，求得焦点和准线，利用抛物线的几何意义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点的值，代回抛物线方程求得的值。要求学生对抛物线的几何意义熟悉掌握。2．【2023黑龙江齐齐哈尔八中三模】双曲线：〔，〕的离心率为，那么双曲线的渐近线方程为〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】，那么，所以，即，所以，应选D。3．【2023福建四校联考】椭圆的上下左右顶点分别为，且左右焦点为，且以为直径的圆内切于菱形，那么椭圆的离心率为〔〕A.B.C.D.【答案】D点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．4．【2023福建四校联考】设点是双曲线的右焦点，点到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为，那么双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.【答案】B点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.5．【2023广西贺州桂梧高中联考】过双曲线的右焦点作轴的垂线，与在第一象限的交点为，且直线的斜率大于2，其中为的左顶点，那么的离心率的取值范围为〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】，，∴，∴.选B.6．【2023陕西西安长安区联考】直线与圆交于不同的两点是坐标原点，且有，那么的取值范围是A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：设的中点为，那么，因为，所以，所以，因为，所以，因为直线与圆交于不同的两点，所以，所以，即，解得，应选C．考点：直线与圆的位置关系；向量的应用．7．【2023湖南株洲两校联考】双曲线E：﹣=1〔a＞0，b＞0〕，点F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关于原点的对称点为Q，且满足|PF|=3|FQ|，假设|OP|=b，那么E的离心率为〔〕A.B.C.2D.【答案】B在中，那么，整理得那么双曲线的离心率故答案选点睛：题目中关于原点的对称点为，那么四边形为平行四边形，再根据双曲线定义和条件判定直角三角形，利用即可求出双曲线的离心率。8．【2023河北衡水武邑中学三调】假设直线将圆的周长分为两局部，那么直线的斜率为〔〕A.或B.或C.D.【答案】B9．【2023山西名校联考】椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆上，，，那么椭圆的离心率〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】由于，那么，，，，，，，，，，那么，选C.10．【2023云南昆明一中一模】抛物线的焦点为，准线为，点，线段交抛物线于点，假设，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】由为的三等分，作于，如图，那么，，应选B.11．【2023广西贵州摸底联考】焦点在轴上，中心在的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，假设该椭圆的离心率为，那么椭圆的方程是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】，选B.12．【2023河南名校联考】抛物线的焦点为，准线，点在抛物线上，点在左准线上，假设，且直线的斜率，那么的面积为〔〕A.B.C.D.13．【2023江西南昌摸底】双曲线的左右焦点分别为,为双曲线上第二象限内一点，假设直线恰为线段的垂直平分线，那么双曲线的离心率为〔〕A.B.C.D.【答案】C点睛：此题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题；设出的坐标，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.14．【2023江西南昌摸底】动直线与圆相交于两点，且满足，点为直线上一点，且满足，假设是线段的中点，那么的值为A.B.C.D.【答案】A【解析】动直线与圆：相交于，两点，且满足，那么为等边三角形，于是可设动直线为，根据题意可得，，∵是线段的中点，∴，设，∵，∴，∴，解得，∴，∴，应选A．15．【2023贵州黔东南联考】把离心率的曲线称之为黄金双曲线．假设以原点为圆心，以虚半轴长为半径画圆，那么圆与黄金双曲线〔〕A.无交点B.有1个交点C.有2个交点D.有4个交点【答案】D16．【2023辽宁凌源二中联考】抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，那么直线的斜率为〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】令y=1,代入，得，即,由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0),所以直线的斜率为，应选A17．【2023河南郑州一中联考】点是双曲线〔，〕右支上一点，是右焦点，假设〔是坐标原点〕是等边三角形，那么该双曲线离心率为〔〕A.B.C.D.【答案】D点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.18．【2023山西五校联考】设双曲线的左、右焦点分别为，，，过作轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为，，，点是双曲线右支上的动点，且恒成立，那么双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】垂直于轴，那么为双曲线的通径的一半，，的坐标为，那么，，又，故有在第1象限上即在右支上，那么有，即，应选B.二、填空题19．【2023四川德阳联考】点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，=120°，且，那么椭圆的离心率为___________.【答案】【解析】设，由余弦定理知，所以，故填.20．【2023河南名校联考】直线的方程为，抛物线为，假设点是抛物线上任一点，那么点到直线的最短距离是__________．【答案】【点睛】曲线上的一点到直线的最短距离，就是与直线平行的曲线的切线到该直线的距离。21．【2023云南昆明一中摸底】双曲线的中心为坐标原点，点是双曲线的一个焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，直线交轴于点，假设，那么双曲线的方程为__________．【答案】【解析】设双曲线的方程为:，由得：由点到直线的距离公式可得由及勾股定理可得，又因为与渐近线垂直，结合可得双曲线的方程：，故答案为.三、解答题22．【2023黑龙江齐齐哈尔八中三模】椭圆：〔〕的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，且，直线：与椭圆交于，两点.〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕点，假设是一个与无关的常数，求实数的值.【答案】〔1〕；〔2〕1试题解析：〔1〕联立解得，故又，，联立三式，解得，，，故椭圆的标准方程为.又是一个与无关的常数，∴，即，∴，.∵，∴.当时，，直线与椭圆交于两点，满足题意.23．【2023福建四校联考】点，其中是曲线上的两点，，两点在轴上的射影分别为点，，且.〔I〕当点的坐标为时，求直线的斜率；〔II〕记的面积为，梯形的面积为，求证：.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意结合直线的斜率公式可得；(Ⅱ)设直线的方程为.联立直线与抛物线的方程，可得，，那么.据此即可证得题中的结论试题解析：〔Ⅱ〕法一：设直线的方程为.那么…由,得,所以所以,又，所以，所以，因为，所以,所以.法二：设直线的方程为.由,得,所以,24．【2023广西贺州桂梧高中联考】中心为坐标原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为4，且椭圆过点.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕假设过点的直线与椭圆交于两点，，求直线的方程.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕设椭圆的标准方程，由c=2,及，可解得。〔2〕设直线的方程为与椭圆组方程组，由向量坐标运算及韦达定理可求得参数k.试题解析;〔1〕设椭圆的方程为，，∴，∴，又，解得，，故椭圆的方程为.【点睛】当直线与椭圆相交时得到与交点坐标关系式时〔如此题，〕，我们常结合韦达定理，三个式子消去，得到一个关于参数的等式，甚至解出参数，但要注意检验判别式是否成立。25．【2023黑龙江齐齐哈尔一模】如图，椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，两个焦点分别为，，四边形的面积是四边形的面积的2倍.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，是椭圆上位于直线两侧的两点.假设直线过点，且，求直线的方程.【答案】〔1〕;〔2〕【解析】试题分析：〔1〕由条件布列关于a，b的方程组，即可得到椭圆的方程；〔2〕因为，所以直线的斜率之和为0，设直线的斜率为，那么直线的斜率为，联立方程利用根与系数的关系，进而得到直线的方程.试题解析：〔2〕由〔1〕易知点的坐标分別为.因为，所以直线的斜率之和为0.设直线的斜率为，那么直线的斜率为，，直线的方程为，由可得，∴，同理直线的方程为，可得，∴，，∴满足条件的直线的方程为，即为.26．【2023北京大兴联考】椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，假设，，求证：为定值．【答案】(1);(2)详见解析.试题解析：〔Ⅰ〕由题意有：，且，所以，.所以椭圆的方程为.〔Ⅱ〕由题意直线过点，且斜率存在，设方程为,将代人得点坐标为，由，消元得，设，，那么且，方法一：因为，所以.同理，且与异号，所以.所以，为定值.从而.当时，同理可得.所以，为定值.方法三：由题意直线过点，设方程为，将代人得点坐标为，同理，且与异号，所以.又当直线与轴重合时，，所以，为定值.【点睛】此题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为，可减少讨论该直线是否存在斜率.27．【2023四川成都双流中学一模】如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径.是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点交椭圆于另一点.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕求面积取最大值时直线的方程.【答案】〔1〕；〔2〕.〔1〕由得到，且，所以椭圆的方程是；〔2〕因为直线，且都过点，所以①当直线的斜率不存在时，易知直线与椭圆相切，不合题意.②当直线的斜率存在且不为时，设直线，直线，所以圆心到直线的距离为，所以直线被圆所截的弦；由，所以，所以，〔当时，等号成立.〕③当时，.综上所述，当面积取最大值时直线的方程为.点睛：此题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等根底知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力．还有就是转化问题的能力，将要求的面积分割为两个直角三角形的面积。28．【2023江西宜春六校联考】椭圆：的离心率为，过右焦点垂直于轴的直线与椭圆交于，两点且，又过左焦点任作直线交椭圆于点．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕椭圆上两点，关于直线对称，求面积的最大值．【答案】〔Ⅰ〕;〔Ⅱ〕.当直线的斜率时，面积函数，结合椭圆方程和均值不等式的结论可得面积的最大值为.〔Ⅱ〕依题意直线不垂直轴，当直线的斜率时，可设直线的方程为〔〕，那么直线的方程为．由得，，即，①设的中点为，那么，，点在直线上，∴，故，②此时与①矛盾，故时不成立．当直线的斜率时，，〔，〕，的面积，∵，∴，∴面积的最大值为，当且仅当时取等号．29．【2023云南昆明一中一模】动点满足：.〔1〕求动点的轨迹的方程；〔2〕设过点的直线与曲线交于两点，点关于轴的对称点为〔点与点不重合〕，证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.【答案】〔1〕；〔2〕直线过定点，证明见解析.试题解析：〔1〕由，动点到点，的距离之和为，且，所以动点的轨迹为椭圆，而，，所以，所以，动点的轨迹的方程：.〔2〕设，，那么，由得直线的斜率存在，设斜率为，那么直线的方程为：由得，所以，，直线的方程为：，所以，令，那么，所以直线与轴交于定点.30．【2023广西柳州摸底联考】过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.〔1〕求该抛物线的方程；〔2〕抛物线上一点，过点作抛物线的两条弦和，且，判断直线是否过定点？并说明理由.【答案】〔1〕；〔2〕定点试题解析：〔1〕拋物线的焦点，∴直线的方程为:.联立方程组，消元得:，∴.∴解得.∴抛物线的方程为：.〔2〕由〔1〕可得点，可得直线的斜率不为0，设直线的方程为：，联立，得，那么①.∴，即或，代人①式检验均满足，∴直线的方程为：或.∴直线过定点〔定点不满足题意，故舍去〕.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点〞是什么、“定值〞是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前该值的结果，