2023年高考数学二轮复习第二部分专题一函数与导数、不等式第4讲导数与函数的单调性、极值与最值课时规范练理

第4讲导数与函数的单调性、极值与最值一、选择题1．函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1，1] B．(0，1]C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－eq\f(1,x)≤0，解得0＜x≤1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1]．答案：B2．(2023·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如下图，那么函数y＝f(x)的图象可能是()解析：利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．答案：D3．直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2eq\r(2) B．4eq\r(2)C．2 D．4解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝4x,y＝x3))得x＝0或x＝2(x＝－2舍)．根据定积分的几何意义，两曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积S＝eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(2,0)(4x－x3)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(x4,4)))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,0)＝4.答案：D4．(2023·山东卷)假设函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，那么称y＝f(x)具有T性质．以下函数中具有T性质的是()A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝ex D．y＝x3解析：对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝eq\f(1,x)恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.答案：A5．(2023·菏泽二模)假设定义域为R的单调递增函数y＝f(x)对于任意两个不相等的实数m，n都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))＞eq\f(f〔m〕＋f〔n〕,2)成立，y＝f′(x)为函数y＝f(x)的导函数，那么f(a＋1)－f(a)，f′(a)，f′(a＋1)的大小关系为()A．f′(a)＜f(a＋1)－f(a)＜f′(a＋1)B．f′(a)＜f′(a＋1)＜f(a＋1)－f(a)C．f′(a＋1)＜f(a＋1)－f(a)＜f′(a)D．f′(a＋1)＜f′(a)＜f(a＋1)－f(a)解析：因定义在R上的增函数y＝f(x)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)))＞eq\f(f〔m〕＋f〔n〕,2)(m≠n)；所以y＝f(x)的图象上凸，如下图，又f(a＋1)－f(a)＝eq\f(f〔a＋1〕－f〔a〕,〔a＋1〕－a)表示两点M，N连线的斜率kMN.f′(a)与f′(a＋1)分别表示曲线y＝f(x)在点M，N处切线的斜率，因此f′(a＋1)＜kMN＜f′(a)，即f′(a＋1)＜f(a＋1)－f(a)＜f′(a)．答案：C二、填空题6．(2023·郑州调研)设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝eq\f(1,x)(x＞0)图象下方的阴影局部区域，那么阴影局部E的面积为________．解析：SE＝eq\f(1,2)×2＋eq\a\vs4\al(∫)1eq\s\do9(\f(1,2))eq\f(1,x)dx＝1＋(lnx)eq\a\vs4\al(|)1eq\s\do9(\f(1,2))＝1＋ln1－lneq\f(1,2)＝1＋ln2.答案：1＋ln27．(2023·全国卷Ⅲ)f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，那么曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切点方程是________．解析：令x＞0，那么－x＜0，f(－x)＝lnx－3x，又f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝lnx－3x(x＞0)，那么f′(x)＝eq\f(1,x)－3(x＞0)．所以f′(1)＝－2，所以在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.答案：2x＋y＋1＝08．(2023·佛山质检)假设函数f(x)＝－eq\f(1,2)x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，那么t的取值范围是________．解析：f′(x)＝－x＋4－eq\f(3,x)＝eq\f(－x2＋4x－3,x)＝－eq\f(〔x－1〕〔x－3〕,x).由f′(x)＝0及判断可知函数f(x)的两个极值点为1，3，那么只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<1<t＋1或t<3<t＋1，解得0<t<1或2<t<3.答案：(0，1)∪(2，3)三、解答题9．(2023·浙江卷)函数f(x)＝(x－eq\r(2x－1))·e－xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2))).(导学号54850099)(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的取值范围．解：(1)f′(x)＝(x－eq\r(2x－1))′e－x＋(x－eq\r(2x－1))(e－x)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(2x－1))))e－x－(x－eq\r(2x－1))e－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,\r(2x－1))－x＋\r(2x－1)))e－x＝(1－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,\r(2x－1))))e－xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,2))).(2)令f′(x)＝(1－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,\r(2x－1))))e－x＝0，解得x＝1或eq\f(5,2).当x变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表：xeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)))eq\f(5,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，＋∞))f′(x)－0＋0－f(x)eq\f(1,2)e－eq\f(1,2)↘0↗eq\f(1,2)e－eq\f(5,2)↘又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(1,2)e－eq\f(1,2)，f(1)＝0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝eq\f(1,2)e－eq\f(5,2)，那么f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的最大值为eq\f(1,2)e－eq\f(1,2).又f(x)＝(x－eq\r(2x－1))e－x＝eq\f(1,2)·(eq\r(2x－1)－1)2e－x≥0.综上可知，f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)e－\f(1,2))).10．(2023·山东卷改编)函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2，其中参数a≥0.(导学号54850100)(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，讨论g(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．解：(1)由题意f′(x)＝x2－ax，所以当a＝2时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x，所以f′(3)＝3，因此曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.(2)因为g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx，所以g′(x)＝f′(x)＋cosx－(x－a)·sinx－cosx＝x(x－a)－(x－a)sinx＝(x－a)(x－sinx)，令h(x)＝x－sinx，那么h′(x)＝1－cosx≥0，所以h(x)在R上单调递增．因为h(0)＝0，所以，当x＞0时，h(x)＞0；当x＜0时，h(x)＜0.①当a＝0时，g′(x)＝x(x－sinx)，当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值．②当a＞0时，g′(x)＝(x－a)(x－sinx)，当x∈(－∞，0)时，x－a＜0，g′(x)＞0，g(x)单调递增；当x∈(0，a)时，x－a＜0，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x∈(a，＋∞)时，x－a＞0，g′(x)＞0，g(x)单调递增．所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；当x＝a时，g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－eq\f(1,6)a3－sina.综上所述，当a＝0时，g(x)在R上单调递增，无极值；当a＞0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－eq\f(1,6)a3－sina.11．(2023·广州联考)f(x)＝lnx＋eq\f(a,x).(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)假设对任意x＞0，均有x(2lna－lnx)≤a恒成立，求正数a的取值范围．解：(1)f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(a,x2)＝eq\f(x－a,x2).①－a≥0时，f′(x)＞0，即a≤0，f(x)在(0，＋∞)为增函数，无极值．②a＞0，0＜x＜a，f′(x)＜0，f(x)在(0，a)为减函数；x＞a，f′(x)＞0