（精品讲义）3.2一元二次不等式及其解法word版含答案2

14/1515/15/eq\a\vs4\al(一元二次不等式及其解法)第一课时一元二次不等式及其解法预习课本P76～78，预习课本P76～78，思考并完成以下问题(1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？(2)如何求解一元二次不等式？(3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x|x<x1))或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))RΔ＝b2－4acax2＋bx＋c<0(a>0)的解集eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x1<x<x2))??1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解()(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}()(4)不等式x2－2x＋3>0的解集为R()解析：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)错误．因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)错误．当a>0时，ax2＋bx＋c<0的解集为{x|x1<x<x2}，否则不成立．(4)正确．因为Δ＝(－2)2－12<0，所以不等式x2－2x＋3>0的解集为R.答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．不等式x(2－x)＞0的解集为()A．{x|x＞0} B．{x|x＜2}C．{x|x＞2或x＜0} D．{x|0＜x＜2}解析：选D原不等式化为x(x－2)＜0，故0＜x＜2.3．不等式x2－2x－5>2x的解集是()A．{x|x≥5或x≤－1} B．{x|x>5或x<－1}C．{x|－1<x<5} D．{x|－1≤x≤5}解析：选B由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．解析：原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为?.答案：?一元二次不等式解法[典例]解下列不等式：(1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2；(3)4x2＋4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0.[解](1)Δ＝49>0，方程2x2＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝eq\f(1,2)，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①所示．由图可得原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－3<x<\f(1,2))))).(2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝eq\f(3－\r(3),3)，x2＝eq\f(3＋\r(3),3)，作出函数y＝3x2－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤\f(3－\r(3),3)或x≥\f(3＋\r(3),3))))).(3)∵Δ＝0，∴方程4x2＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－eq\f(1,2).作出函数y＝4x2＋4x＋1的图象如图所示．由图可得原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(1,2)，x∈R)))).(4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为?.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．[活学活用]已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，则M∩N为()A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}C．{x|x≤－2或x＞3}D．{x|x＜－2或x≥3}解析：选A∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}，N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}.三个“二次”关系的应用[典例](1)若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，则a＋b的值为()A．14 B．－10C．10 D．－14(2)已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．[解析](1)由已知得，ax2＋bx＋2＝0的解为－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且a<0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))∴a＋b＝－14.[答案]D(2)解：因为x2＋px＋q＜0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))，所以x1＝－eq\f(1,2)与x2＝eq\f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝q，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6).))所以不等式qx2＋px＋1＞0即为－eq\f(1,6)x2＋eq\f(1,6)x＋1＞0，整理得x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3.即不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．[活学活用]1．若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(x)的图象为()解析：选B因为不等式的解集为(－2,1)，所以a<0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.2．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求不等式cx2－bx＋a>0的解集．解：由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝－\f(b,a)，,2×3＝\f(c,a)，,a<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－5a，,c＝6a，,a<0.))代入不等式cx2－bx＋a>0，得6ax2＋5ax＋a>0(a<0)．即6x2＋5x＋1<0，解得－eq\f(1,2)<x<－eq\f(1,3)，所以所求不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<－\f(1,3))))).解含参数的一元二次不等式[典例]解关于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.[解]方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；当a＝－1时，原不等式解集为?；当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．解含参数的一元二次不等式时的注意点(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．[活学活用]设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.解：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－eq\f(1,a).①当a<－eq\f(1,2)时，解不等式得－eq\f(1,a)<x<2，即原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)<x<2))))；②当a＝－eq\f(1,2)时，不等式无解，即原不等式的解集为?；③当－eq\f(1,2)<a<0时，解不等式得2<x<－eq\f(1,a)，即原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2<x<－\f(1,a)))))；④当a>0时，解不等式得x<－eq\f(1,a)或x>2，即原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,a)或x>2)))).层级一学业水平达标1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤x≤\f(1,2))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)或x≥\f(1,2)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2))))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(2,3)))))解析：选A因为6x2＋x－2≤0?(2x－1)·(3x＋2)≤0，所以原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤x≤\f(1,2))))).2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0的解集为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a或x>\f(1,a))))) B．{x|x>a}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>a或x<\f(1,a))))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))))解析：选A∵a<－1，∴a(x－a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))<0?(x－a)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0.又a<－1，∴eq\f(1,a)>a，∴x>eq\f(1,a)或x<a.3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为()A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)解析：选B由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2<0，所以－2<x<1.4．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<0或x>\f(1,2)))))，则f(10x)>0的解集为()A．{x|x<－1或x>lg2}B．{x|－1<x<lg2}C．{x|x>－lg2}D．{x|x<－lg2}解析：选Df(x)<0的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<0或x>\f(1,2)))))，所以f(x)>0的解集为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))))，∴0<10x<eq\f(1,2)∴x<lgeq\f(1,2)，即x<－lg2.5．函数y＝eq\f(1,\r(7－6x－x2))的定义域为()A．[－7,1] B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：选B由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故选B.6．不等式－x2－3x＋4>0的解集为________．(用区间表示)解析：先把原不等式可化为x2＋3x－4<0，再把左式分解因式得(x－1)(x＋4)<0，所以不等式的解集为(－4,1)．答案：(－4,1)7．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________．解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x≥0，,－x2＋2x，x<0.))若f(a)≤3，则a的取值范围是________．解析：当a≥0时，a2＋2a≤3，∴0≤a≤1；当a<0时，－a2＋2a≤3，∴a<0.综上所述，a的取值范围是(－∞，1]．答案：(－∞，1]9．解关于x的不等式x2－3ax－18a2>0.解：将x2－3ax－18a2>0变形得(x－6a)(x＋3a)>0，方程(x－6a)(x＋3a)＝0的两根为6a，－3a.所以当a>0时，6a>－3a，原不等式的解集为{x|x<－3a或x>6a}；当a＝0时，6a＝－3a＝0，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，6a<－3a，原不等式的解集为{x|x<6a或x>－3a}．10．若函数f(x)＝eq\f(2016,\r(ax2＋2ax＋2))的定义域是R，求实数a的取值范围．解：因为f(x)的定义域为R，所以不等式ax2＋2ax＋2>0恒成立．(1)当a＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a≠0时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4a2－8a<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,0<a<2，))所以0<a<2.综上可知，实数a的取值范围是[0,2)．层级二应试能力达标1．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4,4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．[－4,4]解析：选A不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，即不等式x2＋ax＋4<0有解，所以Δ＝a2－4×1×4>0，解得a>4或a<－4.2．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－1,3)C．(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选A由题意，知a>0，且1是ax－b＝0的根，所以a＝b>0，所以(ax＋b)(x－3)＝a(x＋1)(x－3)>0，所以x<－1或x>3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．3．已知f(x)＝(x－a)(x－b)＋2(a<b)，且α，β(α<β)是方程f(x)＝0的两根，则α，β，a，b的大小关系是()A．a<α<β<b B．a<α<b<βC．α<a<b<β D．α<a<β<b解析：选A∵α，β为f(x)＝0的两根，∴α，β为f(x)＝(x－a)(x－b)＋2与x轴交点的横坐标．∵a，b为(x－a)(x－b)＝0的根，令g(x)＝(x－a)(x－b)，∴a，b为g(x)与x轴交点的横坐标．可知f(x)图象可由g(x)图象向上平移2个单位得到，由图知选A.4．若0<a<1，则不等式x2－3(a＋a2)x＋9a3≤0的解集为()A．{x|3a2≤x≤3a} B．{x|3a≤x≤3a2}C．{x|x≤3a2或x≥3a} D．{x|x≤3a或x≥3a2}解析：选A因为0<a<1，所以0<3a2<3a，而方程x2－3(a＋a2)x＋9a3＝0的两个根分别为3a和3a2，所以不等式的解集为{x|3a2≤x≤3a}．5．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x，x>0，,0，x＝0，,－x2－4x，x<0，))则不等式f(x)>x的解集为________．解析：由f(x)>x，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x>x，,x>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－4x>x，,x<0，))解得x>5或－5<x<0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)6．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为______．解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得eq\f(3,2)<[x]<eq\f(15,2)，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．答案：[2,8)7．设f(x)＝(m＋1)x2－mx＋m－1.(1)当m＝1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，3))，求m的值．解：(1)当m＝1时，不等式f(x)>0为2x2－x>0，因此所求解集为(－∞，0)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).(2)不等式f(x)＋1>0，即(m＋1)x2－mx＋m>0，由题意知eq\f(3,2)，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根，因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋3＝\f(m,m＋1)，,\f(3,2)×3＝\f(m,m＋1)))?m＝－eq\f(9,7).8．已知M是关于x的不等式2x2＋(3a－7)x＋3＋a－2a2<0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．解：原不等式可化为(2x－a－1)(x＋2a－3)<0，由x＝0适合不等式得(a＋1)(2a－3)>0，所以a<－1或a>eq\f(3,2).若a<－1，则－2a＋3－eq\f(a＋1,2)＝eq\f(5,2)(－a＋1)>5，所以3－2a>eq\f(a＋1,2)，此时不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)<x<3－2a))))；若a>eq\f(3,2)，由－2a＋3－eq\f(a＋1,2)＝eq\f(5,2)(－a＋1)<－eq\f(5,4)，所以3－2a<eq\f(a＋1,2)，此时不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a<x<\f(a＋1,2))))).综上，当a<－1时，原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋1,2)，3－2a))；当a>eq\f(3,2)时，原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－2a，\f(a＋1,2))).第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)解简单的分式不等式[典例]解下列不等式：(1)eq\f(x＋2,3－x)≥0；(2)eq\f(2x－1,3－4x)>1.[解](1)原不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x＋2??3－x?≥0，,3－x≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x＋2??x－3?≤0，,x≠3))?－2≤x<3.∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}．(2)原不等式可化为eq\f(2x－1,3－4x)－1>0，即eq\f(3x－2,4x－3)<0.等价于(3x－2)(4x－3)<0.∴eq\f(2,3)<x<eq\f(3,4).∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)<x<\f(3,4))))).(1)解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，要注意含等号的分式不等式的分母不为零．(2)分式不等式的4种形式及解题思路①eq\f(f?x?,g?x?)>0?f(x)g(x)>0；②eq\f(f?x?,g?x?)<0?f(x)g(x)<0；③eq\f(f?x?,g?x?)≥0?f(x)g(x)≥0且g(x)≠0?f(x)g(x)>0或f(x)＝0；④eq\f(f?x?,g?x?)≤0?f(x)g(x)≤0且g(x)≠0?f(x)g(x)<0或f(x)＝0.(3)不等式与不等式组的同解关系①f(x)g(x)≥0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?≥0，,g?x?≥0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?≤0，,g?x?≤0，))②f(x)g(x)≤0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?≥0，,g?x?≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?≤0，,g?x?≥0，))③f(x)g(x)>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?>0，,g?x?>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?<0，,g?x?<0，))④f(x)g(x)<0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?>0，,g?x?<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?x?<0，,g?x?>0.))[活学活用]1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x)≤0))))，则A∩B＝()A．{x|－1≤x＜0} B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1}解析：选B∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．2．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式eq\f(ax－b,x－2)>0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜－1或x＞2)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1＜x＜2))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1＜x＜2)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＞2))解析：选A依题意，a>0且－eq\f(b,a)＝1.eq\f(ax－b,x－2)>0?(ax－b)(x－2)>0?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(b,a)))(x－2)>0，即(x＋1)(x－2)>0?x>2或x<－1.不等式中的恒成立问题[典例]已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求实数a的取值范围．[解]由题意可知，只有当二次函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象与直角坐标系中的x轴无交点时，才满足题意，则其相应方程x2＋2(a－2)x＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4(a－2)2－16＜0，解得0＜a＜4.故a的取值范围是(0,4)．对于x∈[a，b]，f(x)＜0(或＞0)恒成立，应利用函数图象．1．已知f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．解：若对任意，x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立，则满足题意的函数f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4的图象如图所示．由图象可知，此时a应该满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f?－3?＜0，,f?1?＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25－6a＜0，,1＋2a＜0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞\f(25,6)，,a＜－\f(1,2).))这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：对任意x∈[－3,1]，f(x)＜0恒成立．对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．2．已知函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，试求x的取值范围．解：原函数可化为g(a)＝2xa＋x2－4x＋4，是关于a的一元一次函数．要使对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，只需满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g?1?＜0，,g?－3?＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x＋4＜0，,x2－10x＋4＜0.))因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，所以不存在实数x，使函数y＝x2＋2(a－2)x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数．分离参数法是解决不等式恒成立问题的一种行之有效的方法．a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max(f(x)存在最大值)；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min(f(x)存在最小值)．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定区间上全部在x轴下方．一元二次不等式的实际应用[典例]某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？[解](1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x)(0<x<1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200(0<x<1)．(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－?1.2－1?×1000>0，,0<x<1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－60x2＋20x>0，,0<x<1，))解不等式组，得0<x<eq\f(1,3)，所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))).用一元二次不等式解决实际问题的步骤(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．[活学活用]某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为xm(0<x<600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.层级一学业水平达标1．不等式eq\f(x－1,x)≥2的解集为()A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．(－∞，－1]∪(0，＋∞)解析：选B不等式eq\f(x－1,x)≥2，即eq\f(x－1,x)－2≥0，即eq\f(－x－1,x)≥0，所以eq\f(x＋1,x)≤0，等价于x(x＋1)≤0且x≠0，所以－1≤x<0.2．不等式eq\f(4x＋2,3x－1)＞0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,3)或x＜－\f(1,2))))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＜x＜\f(1,3)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,3))))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(1,2)))))解析：选Aeq\f(4x＋2,3x－1)＞0?(4x＋2)(3x－1)＞0?x＞eq\f(1,3)或x＜－eq\f(1,2)，此不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞\f(1,3)或x＜－\f(1,2))))).3．若不等式x2＋mx＋eq\f(m,2)>0恒成立，则实数m的取值范围是()A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：选D∵不等式x2＋mx＋eq\f(m,2)>0，对x∈R恒成立，∴Δ<0即m2－2m<0，∴0<m<2.4．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0<t≤20，t∈N)；销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为()A．[15,20] B．[10,15]C．(10,15) D．(0,10]解析：选B由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15.5．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为()A．1 B．－1C．－3 D．3解析：选C由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.6．不等式eq\f(5－x,x＋4)≥1的解集为________．解析：因为eq\f(5－x,x＋4)≥1等价于eq\f(1－2x,x＋4)≥0，所以eq\f(2x－1,x＋4)≤0，等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?2x－1??x＋4?≤0，,x＋4≠0，))解得－4<x≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))7．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．解析：由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥eq\f(4,3).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))8．在R上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________．解析：根据定义得(x－a)?(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)?(x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))9．已知f(x)＝－3x2＋a(5－a)x＋b.(1)当不等式f(x)>0的解集为(－1,3)时，求实数a，b的值；(2)若对任意实数a，f(2)<0恒成立，求实数b的取值范围．解：(1)由f(x)>0，得－3x2＋a(5－a)x＋b>0，∴3x2－a(5－a)x－b<0.又f(x)>0的解集为(－1,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋a?5－a?－b＝0，,27－3a?5－a?－b＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝9.))(2)由f(2)<0，得－12＋2a(5－a)＋b<0，即2a2－10a＋(12－b)>0.又对任意实数a，f(2)<0恒成立，∴Δ＝(－10)2－4×2(12－b)<0，∴b<－eq\f(1,2)，∴实数b的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))).10．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值．解：税率为P%时，销售量为(80－10P)万件，即f(P)＝80(80－10P)，税金为80(80－10P)·P%，其中0<P<8.(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(80?80－10P?·P%≥96，,0<P<8，))解得2≤P≤6.故P的范围为[2,6]．(2)∵f(P)＝80(80－10P)(2≤P≤6)为减函数，∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额，f(2)＝4800(万元)．(3)∵0<P<8，g(P)＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128，∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元．层级二应试能力达标1．不等式eq\f(x＋5,?x－1?2)≥2的解是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(1,3] D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪(1,3]解析：选Deq\f(x＋5,?x－1?2