2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练1.7矩形的性质与判定（巩固篇练习）

专题1.7矩形的性质与判定（巩固篇）（专项练习）

一、单选题

类型一、利用矩形的性质求线段'角度及面积

1.如图，在矩形中，对角线AC与8。相交于点O,AELBD于点E,

ZDAE=2^BAE,4）=4,则0E=（）

2.如图，。是矩形ABC。的对角线交点，AE平分NBA。，ZAOD=\20°,NAE0的度

数为（）

A.15°B.25°C.30°D.35°

3.两张全等的矩形纸片ABC。，AECF按如图的方式叠放在一起，=若AB=3,

BC=9,则图中重叠（阴影）部分的面积为（）

A.15B.14C.13D.12

类型二、利用矩形的性质和判定证明

4.若顺次连接矩形的各边中点所得的四边形一定是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四边形

5.如图，在矩形ABC。中，4B=3cm,AD=5cm,点E为BC上的一点，平分N4EC,

则BE的长为（)

C.5cmD.6cm

6.如图所示，矩形ABC。中，AE平分N84O交3C于E,ZCAE=\5°,则下面的结论:

①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③S〃10E=SzC0E,其中正确结论有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

类型三直角三角形斜边上中线问题

7.如图，四边形A8CD是菱形，对角线AC、相交于点0,过点。作_L于

点、H,连接O”,ZCAD=20°,则/£归。的度数是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

8.如图，菱形4BCD的对角线AC,BD相交于点。，过点力作£归，A3于点“，连

接OH,若OA=4,OH=2,则菱形48CC的面积为（）

A.8B.16C.24D.32

9.如图，点4的坐标为（4,3）,ABLt轴于点8,点C为坐标平面内-一点，OC=2,

点。为线段AC的中点，连接80,则8。的最大值为（)

「3百

Vz•-----D.

2

类型四、添加一个条件构成矩形

10.如图，在四边形ABC。中，点E,F,G,”分别是4力，BD,BC,CA的中点，若

四边形EFGH是矩形，则四边形A8CO需满足的条件是（）

C.AC1.BDD.AB=DC

11.在QABC。中，对角线AC,8。相交于点0,只需添加一个条件，即可证明QABC£>

是矩形，这个条件可以是（）

A.AB=BCB.AC=BDC.AC±BDD.ZAO8=60°

12.如图，平行四边形45。的对角线AC与BO相交于点。，添加一个条件使平行四

边形ABCD为矩形的是（）

A.AD=ABB.ABA.ADC.AB=ACD.CALBD

类型五、证明四边形是矩形

13.如图，在AABC中，点。、E、尸分别是48、BC、AC的中点，则下列四个判断中,

不正确的是（)

D.

A.四边形ADEF是平行四边形B.若乙4=90。，则四边形AOEF是矩形

C.若A8=AC,则四边形AZ）EF是菱形D.若四边形AZJEF是正方形，则IBC是等边三角形

14.如图，在锐角△A8C中，延长8C到点。，过点。作直线MV〃8C,MN分别交NAC8、

NACO的平分线于E,连接4E、AF,在下列结论中：①OE=OF；②CE=CF；③若CE=

12,则OC的长为6；④当AO=CO时，四边形AECF是矩形.其中正确的是（）

A.①④B.①②C.①②③D.②③④

15.如图，在平行四边形ABC。中对角线AC、80交于点O,并且ND4C=60。，ZADB

=15°.点E是A。边上一个动点，延长E。交BC于点凡当点E从。点向4点移动过程中

（点E与点D,A不重合），则四边形4FCE的变化是（）

A.平行四边形一矩形-平行四边形-菱形一平行四边形

B.平行四边形一菱形一平行四边形一矩形一平行四边形

C.平行四边形一矩形一平行四边形一正方形一平行四边形

D.平行四边形一矩形一菱形一正方形一平行四边形

类型六、利用矩形的性质与判定求线段'角度及面积

16.将矩形ABCO绕点A顺时针旋转a（O°<«<360°）,得到矩形型"G.当GC=GB时,

下列针对a值的说法正确的是（)

A.60°或300°B.60°或330°C.30°D.60°

17.如图，在矩形ABC。中，点E、F、G、〃分别是边43、BC、CD、D4上的动点（不

与端点重合），若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH,且AB=10、BC=5,则四边形EFG”

周长的最小值等于（）

A.10x/5B.1073C.56D.5G

18.如图，在平行四边形ABC。中，AD=3,CD=2.连接AC,过点8作BE7/AC,

交OC的延长线于点£,连接AE,交BC于点E若ZAFC=2ZD,则四边形ABEC的面积

C.6D.2如

二、填空题

类型一、利用矩形的性质求线段'角度及面积

19.如图，在矩形ABC。中，对角线AC,BD交于点、O,CE平分/ADC交BC于点E,

连接OE.若NBDE=15。,则NZ）OE=.

20.如图，矩形ABC力中，AB=3,4。=5.点E是BC边上一动点，连接AE.将△ABE

沿AE翻折得到AAEF,连接QF.当AADF的面积为|■时，线段8E的长为.

21.如图，在矩形ABC。中，点E、F分别是48、CZ）的中点，连接OE和BF,分别取

DE、B尸的中点M、N,连接AM、CN、MN.若AB=3,BC=2石，则图中阴影部分的面

类型二、利用矩形的性质和判定证明

22.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（3,3）,过点8作轴于点A,

BCLy轴于点C.若直线/：y=mx-2mCm^0）把四边形OABC分成面积相等的两部分，

则m的值为.

7-

C-------15

~OAx

23.如图，线段AB=1O,点。是线段AB上的一个动点（不与点4重合），在AB上方

作以AD为腰的等腰△ACD,且NCAO=120。，过点。作射线3PJ_C。，过OP上一动点G

（不与。重合）作矩形CCG4,其对角线交点为O,连接。B,则线段0B的最小值为

H

24.如图，矩形ABC。中，AB=4,BC=3,矩形EFGH的顶点E,G,”分别在矩

形ABC。的边AB,CD,D4上，且44=1,则点尸到BC的距离的最大值为

类型三直角三角形斜边上中线问题

25.在AABC中，ZC=90°,NA=30。，。是AB的中点，CD=3,则AC=

26.如图，在AABC中，和AE分别是边BC上的中线和高，己知

AD=3,AC=2,ZBAC=90°,求高AE=

27.如图，在AABC中，ZC=90°,AC=4,BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,

当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点8到原点的最大距离是

类型四、添加一个条件构成矩形

28.如图，连接四边形ABC。各边中点，得到四边形EFG”,还要添加

条件，才能保证四边形EFGH是矩形.

29.如图，四边形ABCD中，AD〃BC,/D=90。，要使它变为矩形，需要添加的条件

（写出一种情况即可）

AD

B------------IC

30.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E,使DE=AD,连接EB,EC,

DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形.

E

类型五、证明四边形是矩形

31.如图，菱形中，点。为对角线的交点，E、F、G、”是菱形A8C3的各边

中点，若AC=6,BD=8,，则四边形EFGH的面积为_____.

AHD

三I

BFC

32.如图，△ABC中，分别以A8、AC为边在△ABC外作等边三角形48。和等边三角

形ACE,连接C。、BE,四边形AQFE是平行四边形.

DF

(1)当N84C的度数为时，平行四边形4OFE是矩形；

(2)当NBAC的度数为时，平行四边形ACFE不存在；

(3)当AABC满足时，平行四边形AOFE是菱形.

33.数学兴趣小组根据赵爽弦图启发设计了如图图形:其中四边形ABCZ)为菱形,△AOH、

△CBF、△AEB、△CGO均为直角三角形.若AH=",DH=l,CG=2,则EF的长为.

类型六、利用矩形的性质与判定求线段、角度及面积

34.如图，在平行四边形ABC。中，AB<BC,NB=30。，AB=20，AABCAC

翻折至连接37).当8c长为时，4A87)是直角三角形.

B'

35.如图，在AA3C中，AB=AC,直线QE垂直平分A8,把线段AE绕点E顺时针

旋转90。，使点A落在直线OE上的点F处，联结CF、BF,线段AC、BF交于点、G,如果

36.如图，等腰直角三角形ABC,NACB=90。，点。、E分别是A&8c上的点，且

DC=DE,AD=BE=e，则图中阴影部分的面积为

三、解答题

37.如图，矩形ABCZ）的对角线AC、BD于点O,ZAOB=60,AB=4.

⑴求AC、皮）的长；（2）求矩形A8CD的面积.

38.如图，在矩形ABCQ中，点M在。C上，AM=AB,且8NLAM,垂足为N.

（1）求证：AABN丝△MAZ）：（2）若A£>=2,AN=4,求四边形3CMN的面积.

39.如图，在AABC中，AO是BC边上的中线，E是4。的中点，过点A作A尸〃8c

交8E的延长线于点F,连接CF.

(1)求证：AF=DC-,

(2)若ABLAC,CF=2,求四边形ADC尸的周长.

40.如图，四边形A8C。对角线AC、80相交于点。，且NABC=90。，,

BE//AC,CE//DB,求证：四边形OBEC是菱形.从以下三个选项中选两个作为已知条件:

@AD//BC,②AB=CD,®AD=BC,并完成证明.

你选择的条件是_______

41.如图，在平行四边形A8C。中，BE平分/ABC,且与边相交于点E,NAEB=

45°.

(1)求证：平行四边形ABC。是矩形；

(2)连接CE,若CE=下,OE=1,求A。的长.

参考答案

I.A

【分析】

设N84E=a,则ND4E=2a,利用3a=90。求HlN8AE=30。，进一步得4Z月=30。，设

AB=x,则比>=2x,利用勾股定理求出/二九3,再求出08,BE,利用0£=。5-8£求解

3

即可.

解：设则NZM£=2c,

，3a=90。，得：a=30。，即N84£>30。，

,:AEJLBD，

：.ZABD=60°fAADB=^°,

;AD=4,

设AB二x,则BD=2x,

AX2+22=4X2,解之得：x=型,

3

...473pn_8V3

33

.1人口2G

••BDZE7=—AB=---,

23

*/BO，BD=^~，

23

，OE=OB-BE=^~,

3

故选：A.

【点拨】本题考查矩形的性质，勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半.解题的

关键是求出NA4E=30。，N3=30。，再利用勾股定理，2所对的直角边等于斜边的一半，

求出BE,BO.

2.C

【分析】

根据矩形的性质可得OB=OC,AD//BC,/ABC=NBAD=90。，又由AE平分/BAD,

ZAOD=]20°,即可求得NOBC和NAEB的度数，以及AB=BE,AB^OA=OB,即可得OB=BE,

NBOE=NBEO,即可求得N0E8的度数

解：；四边形A8c。是矩形，

：.AD//BC,ZABC=ZBAD=9Q01AC=BD,OB=^BDfOC=^AC,

：.OB=OC,

：./OBC=/OCB,

VZBOC=ZAOZ>I20°,

/.N08030。，

TAE平分N84。，

AZBAE=Z£AD=45°,

工NAEB=/EAD=/BAE=45。,

；.AB=BE,

,/ZA0D=120°f

；・ZAOB=60°f

：.AB=OA=OBf

：.0B=BEf

：.ZBOE=ZBEOf

：.ZOEB=75°,

:.ZAEO=ZOEB-Z?lEB=75o-45o=30o,故C正确.

故选：C.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和

判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键.

3.A

【分析】

先根据矩形的性质、平行四边形的判定可得四边形AGC”是平行四边形，再根据三角形

全等的判定证出5G二ACEG,根据全等三角形的性质可得AG=CG,设AG=CG=x,

则8G=9-x,然后在中，利用勾股定理求出工的值，最后根据平行四边形的面积

公式即可得.

解：,・•如图，在两张全等的矩形纸片A3CO,AECF中，AB=AF=3,

.\CE=AB=3,ZB=ZE=90°MZ)||BC,A^||CF,

四边形AGC”是平行四边形，

在aASG和△CEG中，

/AGB=NCGE

<ZB=ZE=90°,

AB=CE

:.AABG=^CEG(AAS),

AG=CG,

设AG=CG=x,^\BG=BC-CG=9-x,

在Rt^ABG中，AB2+BG2=AG2,B|J32+(9-X)2=x2,

解得x=5,

:.CG=5,

则图中重叠(阴影)部分的面积为CG-AB=5x3=15,

故选：A.

【点拨】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形全等的判定定理与性质等

知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键.

4.A

【分析】

利用中位线的定理和矩形对角线的性质证明顺次连接矩形的各边中点所得的四边形的

四条边都相等即可求解.

解：如图，四边形ABCD是矩形，点、E、F、G、，分别是其四条边的中点，顺次链接反

F、G、，可得四边形EFGH一定是菱形，

证明：连接AC、BD,

•.•在448。中，

"：AH=HD,AE=EB,

：.EH=-BD,

2

同理可得：HG=-AC,FG=LBD,EF=~AC,

222

•••四边形A8CO是矩形，

AC=BD,

：.EH=HG=FG=EF,

・・.四边形EFGH是菱形,

故选：A.

【点拨】本题考查矩形的性质、三角形中位线按定理、菱形的判定，解题的关键是正确

解读题意，熟练运用菱形的判定方法.

5.B

【分析】

由平分NAEC得出=再根据矩形的性质得出相应角的度数，再由角

与角之间的关系得出=从而得出NAZ)E=NA£D,再由角相等得出边相等,

再根据勾股定理求出席的长.

解：:ED平分乙/正C

ZAED=/DEC

•・•四边形A3C。为矩形

?.ZC=90°,ZADC=90°,ZB=9()0

：.ZDEC+ZEDC=90°,ZADE+ZEDC=90°

二.ZDEC=ZADE

：.ZADE=ZAED

：.AE=AD

,/AD=5cm

AE=5cm

AB=3cm

BE=>JAE2-AB2=代-3?=4cm

故选：B.

【点拨】本题主要考查了矩形的性质及勾股定理的运用，熟练掌握矩形的性质和运用勾

股定理是解答此题的关键.

6.C

【分析】

由矩形的性质得OA=OO=OC=O8,再证NACO=60。，得△OCC是等边三角形，故

①正确；然后由含30。角的直角三角形的性质得AC=2A8,则2AB>8C,故②错误；最后

由。4=OC得SzAOE=LCOE,故③正确；即可求解.

解：；四边形48co是矩形，

：.AD//BC,N8AO=NABC=/AQC=90。，0A=OC,0D=0B,AC^BD,

：.OA^OD=OC^OB,

平分N8/W,

.•.ND4E=45。，

"：ZCAE=\50,

；.NQAC=45°-15°=3O。，

ZACD=90°-/D4c=90°-30°=60°,

；OD=OC,

.♦.△one是等边三角形，故①正确：

■:ADMBC,

ZACB=ZDAC=30°,

,：ZABC=90°,

."C=2A8,

：.2AB>BC,故②错误；

'：OA=OC,

：.SAAOE^S^COE,故③正确；

正确的结论有2个，

故选：C.

【点拨】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、含30。角的直角三角形的

性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质，证出OA=OO=OC是解题的关键.

7.A

【分析】

先根据菱形的性质得00=03、AB//CD.AB=AD,即，AC,借助NC4D=20。可

计算出NS4D、的值，再利用OHLAB、0£>=08可知0"为/?小。〃8的斜边/58

上的中线,得到OH=OD,利用等腰三角形的性质得NDHO=ZBDH，进而求出ZDHO

的度数.

解：・・・A3CO是菱形，

：.OD=OB、ABI/CD,AB=AD,BD1AC,

・•・ZBAD=2ZCAD=40°，

：.NABD=(180°-ABAD)4-2=70°,

■:DH工AB,OD=OB,

：.OH=OD9

：.ZDHO=ZBDH=90°-ZABD=20°,

故选：A.

【点拨】此题考查菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形等边对等角求

角度等知识，熟记相关几何性质是解题的关键.

8.B

【分析】

由氏△8〃。中，点。是5。的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半,0/7=2,

则，BD=4,由菱形对角线的性质可得AC=8,应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，

即可得出答案.

解：•・♦四边形ABC。是菱形，

：.OA=OC,OB=OD,AC.LBD,

DHLAB,

：.NBHD=90。,

:.BD=2OH,

OH=2,

；.BD=4,

VOA=4,

，4C=8,

二菱形ABC。的面积=^AC'BD=gx8x4=16.

故选：B.

【点拨】

本题主要考查了菱形的性质和面枳及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三

角形的性质进行计算是解决本题的关键.

9.B

【分析】

先连接A。，取其中点E，连接。E、BE,根据点E为线段AC、AO的中点求出

DE的长，再根据斜中线定理求出8E的长，当当8、。、E三点在同一条直线上时，BO值

最大，求出结果即可.

解：如下图所示，连接A0,取其中点E,连接。E、BE,

•.•点。、E为线段AC、A0的中点，

DE=-OC=\,

2

又轴于点B,

AAO=y/AB2+0B2=5

BE=-AO=~,

22

当8、D、E三点在同一条直线上时，8。值最大，

57

此时8O=BE+£>E=l+」=-；

22

故选：B.

【点拨】本题主要考查三角形中位线定理、斜中线定理，本题解题的关键是在于找到两

点之间线段最短.

10.A

【分析】

利用三角形中位线定理可得四边形EPGH是平行四边形，当A8_LOC,利用EF//AB.

EH//CD可得EFJ_E”即可证明四边形EFGH是矩形.

解：；点E,F,G,”分别是AD,BD,BC,CA的中点,

:.EFHAB,且EF=LA8,且G”=1AB*

22

四边形EFG”是平行四边形，

•.•四边形EFG”是矩形，

；.NFEH=90°,即庄_1”£,

,/EF//AB,HE//CD,

，AB±CD,

故选：A.

【点拨】本题考查矩形的判定定理，三角形中位线的定义和性质，关键是利用三角形中

位线定理证明四边形EFG"是平行四边形，再利用推出ABYCD.

11.B

【分析】

由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可；

解：：四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,

二平行四边形ABC。是菱形，故4不符合题意；

:四边形48CZ）是平行四边形，AC=BD,

，平行四边形A8CD是矩形，故8符合题意；

♦.•四边形A8CO是平行四边形，ACA.BD,

平行四边形43co是菱形，故C不符合题意；

:四边形ABC。是平行四边形，ZAOB=60°,

,不能判定平行四边形A8C。是矩形，故力不符合题意；

故选B.

【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定和菱形的判定，准确分析判断

是解题的关键.

12.B

【分析】

根据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可.

解：A、AD=ABW\,平行四边形A8c。是菱形，故选项A不符合题意；

B、AB_LAD时，N8A£>=90。，则平行四边形A8C。是矩形，故选项B符合题意；

C、A3=AC时，平行四边形ABC。不一定是矩形，故选项C不符合题意；

D、C4,即时，平行四边形A88是菱形，故选项D不符合题意；

故选:B.

【点拨】此题考查的是平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识：

熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键.

13.D

【分析】

根据三角形中位线定理可知上〃AF,DE=AF,所以四边形AOEF是平行四边形；

当NA=90。，四边形ADE尸是矩形；若AB=AC,则AZ>=AF=DE=EC,所以四边形AOEF

是菱形；若四边形4OE尸是正方形，则NA=90。，AABC不是等边三角形.

解：A.由三角形中位线定理可知：DE//AF,DE=AF，

四边形4。£尸是平行四边形，选项正确，不符合题意；

B.：四边形ADEF是平行四边形，二当NA=90。，四边形ADEF是矩形，选项正确，

不符合题意；

C.V四边形ADEF是平行四边形，

:.AD=EF,DE=AF,

•.♦AB=AC,点。、F分别是AB、AC的中点

DE=EF,

；•AD=DE=EF=AF，

...若AB=AC,则四边形AOE尸是菱形，选项正确，不符合题意；

D「..若四边形ACEF是正方形，则24=90。，

.•.若四边形4OEF是正方形，则是等边三角形，选项错误，符合题意；

故选：D.

【点拨】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，

正方形的性质和等边三角形的判定，解题的关键是熟记定理及性质.

14.A

【分析】

①证明OE=OC,OF=OC,即可证明结论①正确；

②先由角平分线性质证NECF=90。，若CE=CF,则NOFC=45。，ZACD=90°,与已

知矛盾，故结论②错误;

③由直角三角形斜边中线性质知，OC='F,故结论③错误；

④由矩形判定方法可以证明该结论正确.

解：•••MN//BC

ZOEC=ZECB,ZOFC=ZFCD

.「EC平分角ZAC®,R;平分角Z4CO

ZOCE=NECB,Z.OCF=Z.FCD

AECF=ZOCE+ZOCF=90°

ZOCE=ZOEC,ZOCF=ZOFC

,\OC=OE=OF

故结论①正确；

若CE=CF,则NO"?=45。，ZACD=2x45°=90°,与aABC是锐角三角形矛盾，故

结论②错误；

由上面分析知，是直角三角形，OC是斜边中线，故OC=(EF>(EC=6,故

22

结论③错误；

由OE=OF,Q4=OC,ZECF=90°,知四边形AECF是矩形，故结论④正确.

综上，正确答案为：A

【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形中线性质、矩形的判定

等知识点，熟练掌握基本知识是解题的关键.

15.B

【分析】

根据图形结合平行四边形、矩形、菱形的判定逐个阶段进行判断即可.

解：点E从。点向A点移动过程中,

,/四边形ABCD是平行四边形，

J.AD//BC,AO=CO,

：.ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,

.♦.△AOE畛△COF,

；.AE=CF,

；•四边形AECF是平行四边形；

,?ZAOD^1800-ZDAC-ZADB=115°,

.,.当NE0£>=15°时，ZAOE=90°,

此时平行四边形4ECF是菱形；

当Z£O£H45°,N4EO=/EOD+NAOO=450+15°=60°,

：.ZOAE=ZOEA,

：.OA=OE,

：.AC=EF,

此时平行四边形AEC尸是矩形；

...NE0QV15。时，四边形AFCE为平行四边形，

当NE0Q=15。时，ACVEF,四边形AFCE为菱形，

当15。</^。£><45。时，四边形AFCE为平行四边形，

当NEO£>=45。时，四边形4FCE为矩形，

当45。</£：。。<105。时，四边形AFCE为平行四边形，

故选：B.

【点拨】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法，解决问题的关键是熟练掌握

并应用它们的判定定理.

16.A

【分析】

当G8=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据ND4G=60。，即可

得到旋转角a的度数.

解：如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，

分两种情况讨论：

①当点G在AO右侧时，取BC的中点，，连接GH交4。于M,

J.GHLBC,

四边形是矩形,

：.AM=BH=-AD,

2

，GA/垂直平分AD,

J.GD^GA^DA,

...△AOG是等边三角形，

ZDAG=60°,

旋转角a=60。；

②当点G在AO左侧时，同理可得^AOG是等边三角形,

N0AG=6O°,

，旋转角a=360o-60°=300°,

故选：A.

【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意:

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

17.A

【分析】

由矩形的性质与线段的等量关系证明四ACGF（&45）,ABEF%DGH（SAS）,则

EH=GF,EF=HG,如图，作E关于8c的对称点连接E，G交8c于尸，此时EF+FG

最小，即四边形EFGH周长最小，作GGUAB于G',则四边形5CGG'是矩形，BG'=CG,

GG'=BC=AD,则£G'=A8=10,GG'=AD=5,在心AGE'G'中，由勾股定理得

£G=J（E，G'『+（GG，）2求出£G的值，进而可求最小的周长.

解：：四边形MCO是矩形，

:.AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZADC=ZBCD=ZABC=90°,

VAE=CG,BF=DH,

:.BE=DG,CF=AH,

在△/1£”和4。6尸中

AH=CF

,：iZEAH=ZGCF=90°,

AE=CG

A^AEH^CGF[SAS'),

EH=GF,

同理ABEFRDGH(SAS),

:.EF=HG,

如图，作E关于3c的对称点E',连接E'G交3c于尸，此时EF+AG最小，即四

边形EFGH周长最小，作GG'，AB于G,

，四边形5CGG'是矩形，

；.BG'=CG,GG'=BC=AD,

'：AE=CG,BE=BE,

£G'=/W=10,GG'=AD=5,

在RsGE'G中，由勾股定理得E，G=yl(E'G')2+(GG')2=5百，

二四边形EFGH的周长=EF+FG+GH+EH=2E'G=1075,

故选A.

【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称等知识.解

题的关键在于找出四边形EFGH周长最小时点E、F、G的位置关系.

18.B

【分析】

先证明四边形A8EC为矩形，再求出AC,即可求出四边形A8EC的面积.

解：：四边形ABGD是平行四边形，

：.AB//CD,AB=CD=2,8c=40=3,ZD=ZABC,

BE//AC,

四边形ABEC为平行四边形，

•/ZAFC=2ZD,

ZAFC=2ZABC,

'：NAFC=/ABF+NBAF,

：.NABF=NBAF,

：.AF=BF,

：.2AF=2BF,

即BC=AE,

,平行四边形ABEC是矩形，

，N8AC=90°,

'AC=^BC'-AB1=V32-22=小，

二矩形ABEC的面积为4B.4C=2石.

故选：B

【点拨】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟知相

关定理，证明四边形ABEC为矩形是解题关键.

19.135°##135度

【分析】

首先得出△CQE为等腰直角三角形，即可推出△OCO为等边三角形，得CO=CE,进而

求出NCOE,即可得出答案.

解：•.•力£•平分/4。＜7,

,ZADE=ZCDE,

\'AD//CB,

：.NADE=NCED,

；.NCDE=NCED=45。,CD=CE,

♦；NBDE=15。,

：.ZODC=60°,

在矩形48CD中，OD=OC,

...△ooc为等边三角形，

/.OC=CD=CE,ZOCD=ZCOD=(>0°,

，NOCE=30。，

：.ZCOE=^(180°-ZOCE)=75°,

NDOE=135。，

故答案为：135。.

【点拨】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形对角线互相平分且相等的性质是解题关键.

20.延

2

【分析】

过点F作AQ的垂线，交A。于例，交BC于N,求出AM长，再根据勾股定理列出方

程求解即可.

解：过点尸作AO的垂线，交AO于"，交BC于N,

由翻折可知，A8=AF=3,BE=EF,

".•△AD厂的面积为

2

：.-AD-FM=-,

22

FO=5,

：.FM=\,

AM=yjAF--FM1=2>/2，

；NABN=NBAN=NAMN=90°,

四边形AMNB是矩形，

:.AM=BN=2叵,NBNM=90。,AB=MN=3,

:.FN=MN・FM=2,

：.BE2=(2>/2-BE)2+22,

解得，8E=还，

2

故答案为：逑.

2

M

【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长,

利用勾股定理列方程.

21.3石

【分析】

利用三角形中线的性质以及平行线的性质得出SgEM=SMMD,S«BNC=S.NC,

S四边形=S四边形ZWW，即可得出答案•

解：,••点E、尸分别是A3、CD的中点，连接。E和跳分别取DE、成的中点M、

N、

AFNC，S四边形E8MW=S四边形0MVF，

•••图中阴影部分的面积=1x48x8C=:x3x2石=3石.

22

故答案为：3石•

【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中线的性质，得出图中阴影部分的面积

等于矩形ABC。面积的一半是解题关键.

22.-3

【分析】

先由B4_Lx轴，8CJ_y轴得到四边形048C是矩形，然后由矩形的性质可得直线/过矩

形OABC的中心点，再由点8和点。的坐标求得中心点的坐标，最后将中心点的坐标代入

直线/的解析式求得，〃的值.

解：轴，8CJ_y轴，

二四边形OABC是矩形,

•.•直线/将四边形0ABe分为面积相等的两部分,

直线/过矩形0A8C的中心点，

；点B（3,3）,点0（0,0）,

33

...矩形O48C的中心点为（彳，-）,（中点坐标公式）

22

3333

将中心点（一，一）代入y=mx-2用得，—m-2m=-

2222

；."?=-3,

故答案为；-3.

【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和矩形的性质，解题的关键是通过直

线/平分四边形8c的面积得到直线/经过矩形OA8C的中心点.

23.

【分析】

根据矩形对角线相等且互相平分得：EC=ED,再根据AC=AE）,点一定在NCAB的平分

线上运动，根据垂线段最短得：当时，E8的长最小，根据N8AE=60。得出结论.

解：连接AE,

：四边形CQG”是矩形，

：.CG=DH,EC=gcG,ED=^DH,

：.EC=ED,

'：AC=AD,

垂直平分CQ,

NOAE=NC4£=gNCA£>=gxl20°=60°,

点E在/CA8的平分线上运动，

.,.当NAEB=90。时，E8的长最小，

,?NB=90°-NBAE=30°,

:.EB=BAB=Bxl0=5百，即EB的最小值为56cm,

22

故答案为5G.

H

【点拨】本题考查J'矩形、线段垂直平分线、含30。角的直角三角形、垂线段.熟练掌

握矩形对角线相等且平分的性质，线段垂直平分线的判定和性质、含30。角的直角三角形边

的性质、垂线段最短，是解决问题的关键.

24.4-2应

【分析】

如图，作于M交3c于N,作于K.证明AK尸G(AAS),推

出AH=FK=1,由四边形DMFK是矩形，推HlDM=既=1,推出=AD-4/-=1，

在自ARW"中，FM=何2-萩=推出当班的值最小时,的值最大，FN

的值最大，求出「河的最小值即可解决问题.

解：如图，作fM_LA£＞于M交BC于N,作户K_L8于K.

•.•四边形ABCD,四边形EFGH都是矩形，

:.ZA=ND=NEHG=NHGF=90。,HE=FG,

:.ZAHE+^DHG=90°,ZDHG+ZDG”=90°,ZDGH+FGK=90°.

4FGK+NGFK=90。,

ZAHE=ZDGH=NGFK,

•.•ZA="KG=90°,

:.^AHE^^KFG（AAS）,

:.AH=FK=\,

•••四边形皿"K是矩形,

:.DM=FK=\,

:.HM=AD-AH—DM=1，

在Rt^FMH中，FM==y/FH2-\，

二当尸”的值最小时，尸河的值最小，FN的值最大，

•••四边形EFG”是矩形，

FH=EG,

•.•当EG_L他时，EG的值最小，

.•.尸”的最小值=">的长=3,

FM的最小值=五=i=2叵，

,：MN=AB=4,

.,•印的最大值=的一汽〃=4-2&，

故答案是：4-2五.

【点拨】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关

键是学会添加常用条辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

25.3g

【分析】

依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到AB的长，再根据含30。角的直角三角形

的性质，即可得到8c的长，最后依据勾股定理进行计算，即可得出AC的长.

解：：点。是AB的中点，8=3,ZACB=90°,

：.AB=2CD=6,

；在入48c中，N4C8=90°,N4=30°,

：.AB^2BC,

即8。="8=3,

K/ZiABC中,AC=yjAB2-BC2=>/62-32=30，

故答案为：3月.

【点拨】本题主要考查了勾股定理以及直角三角形斜边上中线的性质，在直角三角形中，

斜边上的中线等于斜边的一半.

»4亚

26.------

3

【分析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得8C=6,勾股定理求得AB,然

后根据等面积法求得三角形的高即可求解.

解：是RtZMBC边BC上的中线

:.BC=2AD=6

RCC中，AB=yjBC2-AC2=X/62-22=4-72

■.--BCxAE=-ABxAC

22

"ABxAC4&x240

BC63

故答案为：逑

3

【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定