选修2-3学案第1章计数原理习题课二项式定理

习题课课时目标1.进一步熟悉二项式定理，会求二项展开式某些项或系数.2.会利用二项式系数的特征、性质解题．1．二项展开式的通项Tr＋1＝________________.2．二项展开式中的二项式系数和系数通项Tr＋1中，Ceq\o\al(r,n)叫第r＋1项的二项式系数，而系数是指展开式中某个字母的系数．3．对一些二项展开式系数和的问题，可采用______法．一、选择题1．设二项式(eq\r(3,x)＋eq\f(1,x))n的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是()A．第9项 B．第8项C．第9项和第10项 D．第8项和第9项2．若对任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2等于()A．3 B．6 C．9 D．3．1－90Ceq\o\al(1,10)＋902Ceq\o\al(2,10)－903Ceq\o\al(3,10)＋…＋9010Ceq\o\al(10,10)除以88的余数是()A．－1 B．1 C．－87 D．4．化简(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1的结果是()A．x4 B．(x－1)4C．(x－2)4 D．(1－x)45.如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则S16等于()A．144 B．146C．164 D．461二、填空题6．已知(3x＋1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则展开式的二项式系数的和为________，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝______.7．(x＋1)＋(x＋1)2＋(x＋1)3＋(x＋1)4＋(x＋1)5的展开式中x2的系数为________．8．今天是星期一，如果今天算第一天，那么第810天是星期______．三、解答题9．设(3xeq\f(1,3)＋xeq\f(1,2))n的二项展开式中各项系数之和为t，其二项式系数之和为h.若h＋t＝272，求其二项展开式中x2项的系数．10．已知(3－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，求：(1)a0，a1，a2，…，a8这9个系数中绝对值最大的系数；(2)a0，a1，a2，…，a8这9个系数中最大的系数．能力提升11．求(1＋x＋eq\f(1,x2))10的展开式中的常数项．12．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值．1．二项展开式的通项是解决项、项的系数、项的二项式系数的根本．2．赋值法与待定系数法是解题的两种常用方法．3．一些最值问题可利用函数思想来解．习题课答案知识梳理1．Ceq\o\al(r,n)an－rbr3．赋值作业设计1．A[因展开式的第5项为T5＝Ceq\o\al(4,n)xeq\f(n－4,3)－4，所以有eq\f(n－4,3)－4＝0，解得n＝16.所以展开式中系数最大的项是第9项．]2．B[由题意，把等式右边展开得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－6a3＝0,a3＝1))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝6，,a3＝1.))]3．B[1－90Ceq\o\al(1,10)＋902Ceq\o\al(2,10)－903Ceq\o\al(3,10)＋…＋9010Ceq\o\al(10,10)＝(1－90)10＝(88＋1)10，(88＋1)10＝8810＋Ceq\o\al(1,10)889＋Ceq\o\al(2,10)888＋…＋Ceq\o\al(9,10)88＋1，所以(88＋1)10除以88的余数是1.]4．A[(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝Ceq\o\al(0,4)(x－1)4＋Ceq\o\al(1,4)(x－1)3×1＋Ceq\o\al(2,4)(x－1)2×12＋Ceq\o\al(3,4)(x－1)×13＋Ceq\o\al(4,4)×14＝(x－1＋1)4＝x4.]5．C[由图知，数列中的首项是Ceq\o\al(2,2)，第2项是Ceq\o\al(1,2)，第3项是Ceq\o\al(2,3)，第4项是Ceq\o\al(1,3)，…，第15项是Ceq\o\al(2,9)，第16项是Ceq\o\al(1,9).∴S16＝Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(1,9)＋Ceq\o\al(2,9)＝(Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)＋…＋Ceq\o\al(1,9))＋(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,9))＝(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)＋…＋Ceq\o\al(1,9)－Ceq\o\al(2,2))＋(Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,9))＝Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(3,10)－1＝164.]6．解析(3x＋1)7展开式中二项式系数的和为27＝128；令x＝1，则47＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝16384.7．20解析各个组成项的x2的系数分别为Ceq\o\al(0,2)，Ceq\o\al(1,3)，Ceq\o\al(2,4)，Ceq\o\al(3,5)，则展开式中x2的系数为20.8．一解析810＝(7＋1)10＝Ceq\o\al(0,10)710＋Ceq\o\al(1,10)79＋…＋Ceq\o\al(9,10)7＋Ceq\o\al(10,10)＝7M＋1(M∈Z)，故810除以7余1，所以第810天是星期一．9．解由题意，h＝2n，令x＝1，得t＝4n，又h＋t＝272，所以4n＋2n＝272，解得2n＝16，所以n＝4.所以Tr＋1＝Ceq\o\al(r,4)(3xeq\f(1,3))4－r(xeq\f(1,2))r＝Ceq\o\al(r,4)34－rxeq\f(4－r,3)＋eq\f(r,2)，则eq\f(4－r,3)＋eq\f(r,2)＝2，得r＝4，所以二项展开式中x2项的系数为1.10．解设r∈N，且r≤8，则有ar＝Ceq\o\al(r,8)·38－r·(－2)r.显然，|ar|＝Ceq\o\al(r,8)·38－r·2r，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|ar＋1|≤|ar|，,|ar－1|≤|ar|，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(r＋1,8)·37－r·2r＋1≤C\o\al(r,8)·38－r·2r，,C\o\al(r－1,8)·39－r·2r－1≤C\o\al(r,8)·38－r·2r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r≥\f(13,5)，,r≤\f(18,5)，))所以r＝3.即9个系数中，绝对值最大的系数为|a3|＝Ceq\o\al(3,8)·35·23＝.(2)由(1)中不等式组及其解集可知|a0|<|a1|<|a2|<|a3|>|a4|>…>|a8|.又从通项公式ar＝Ceq\o\al(r,8)·38－r·(－2)r可以看出，a0，a2，a4，a6，a8均大于0；a1，a3，a5，a7均小于0，因而只需比较a2，a4的大小．因为a2＝Ceq\o\al(2,8)·36·(－2)2＝81648，a4＝Ceq\o\al(4,8)·34·(－2)4＝90720.所以，9个系数中，最大的系数为a4＝90720.11．解(1＋x＋eq\f(1,x2))10＝[1＋(x＋eq\f(1,x2))]10，通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(x＋eq\f(1,x2))r(r＝0,1,2，…，10)，而(x＋eq\f(1,x2))r展开的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,r)xr－k·(eq\f(1,x2))k＝Ceq\o\al(k,r)xr－3k(k＝0,1,2，…，r)，当r－3k＝0时，Tr＋1是常数项．由r＝3k,0≤r≤10,0≤k≤r，且r，k∈N*，得r＝0,3,6,9，k＝0,1,2,3，所以由系数为Ceq\o\al(r,10)·Ceq\o\al(k,r)可得常数项为Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(3,10)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(6,10)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(9,10)Ceq\o\al(3,9)＝4351.12．解(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为Ceq\o\al(1,m)·2x＋Ceq\o\al(1,n)·4x＝(2Ceq\o\al(1,m)＋4Ceq\o\al(1,n))x，所以2Ceq\o\al(1,m)＋4Ceq\o\al(1,n)＝36，即m＋2n＝18.(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为t＝Ceq\o