数学选修4-1指导讲义第一讲一平行线等分线段定理

一平行线等分线段定理[学习目标]1.理解平行线等分线段定理的证明过程及性质.2.能独立证明平行线等分线段定理的推论1、推论2.3.能应用定理和推论解决相关的几何计算问题和证明问题.[知识链接]1.三角形、梯形的中位线定理的内容是什么？提示(1)三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.(2)梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.2.如图，已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG＝____，H是____的中点，F是____的中点.提示BGACDC[预习导引]1.平行线等分线段定理文字语言如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等符号语言已知a∥b∥c，直线m，n分别与a，b，c交于点A，B，C和A′，B′，C′，且AB＝BC，则A′B′＝B′C′图形语言作用证明同一直线上的线段相等2.推论1文字语言经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边符号语言在△ABC中，点D为AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，则点E平分AC图形语言作用证明线段相等，求线段的长度3.推论2文字语言经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰符号语言在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，过E作EF∥BC，交CD于F，则F平分CD图形语言作用证明线段相等，求线段的长度要点一平行线等分线段定理例1如图①，在AD两旁作AB∥CD，且AB＝CD，A1，A2为AB的两个三等分点，C1，C2为CD的两个三等分点，连接A1C，A2C1，BC2，求证把AD分成四条线段的长度相等.证明如图②，过点A作直线AM平行于A1C，延长DC交AM于点M，过点D作直线DN平行于BC2，延长AB交DN于点N，由AB∥CD，A1，A2为AB的两个三等分点，点C1，C2为CD的两个三等分点，可得四边形A1CC1A2，四边形A2C1C2B为平行四边形，所以A1C∥A2C1∥C2B，所以AM∥A1C∥A2C1∥C2B∥DN，因为AA1＝A1A2＝A2B＝CC1＝C1C2＝C2D，由平行线等分线段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四条线段的长度相等.规律方法解决此题的关键是找出平行线等分线段定理的基本条件，找准被一组平行线截得的线段.跟踪演练1如图①，AB∥CD∥EF，且AO＝OD＝DF，OE＝6，则BC＝()A.3 B.6 C.9 D.4解析如图②，过O作一直线与AB，CD，EF平行，因为AO＝OD＝DF，由平行线等分线段定理知，BO＝OC＝CE，又OE＝6，所以BC＝6.答案B要点二平行线等分线段定理的推论例2如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E，F分别在AC，BC上，且CE＝CF，EM⊥AF交AB于M，CN⊥AF交AB于N.求证：MN＝NB.解如图所示，延长ME交BC的延长线于点P，由题意可得Rt△EPC≌Rt△FAC，∴PC＝AC＝BC.∵EM⊥AF，CN⊥AF，∴PM∥CN，又∵点C是BP的中点，∴点N是MB的中点.∴MN＝NB.规律方法证明同一直线上相邻两条线段相等，常用方法构造三角形及中位线.跟踪演练2如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，M是CD的中点.求证：AM＝BM.证明过M点作ME∥BC，交AB于点E.∵∠ABC＝90°，∴∠AEM＝90°，即ME⊥AB.∵在梯形ABCD中，M是CD的中点，∴AE＝EB.∴ME是AB的垂直平分线.∴AM＝BM.要点三平行线等分线段定理的综合应用例3已知平面α，β，γ，α∥β∥γ，直线l1分别交α，β，γ于A，B，C三点，直线l2分别交α，β，γ于D，E，F三点，且AB＝BC.求证：DE＝EF.证明(1)当l1与l2共面时，由面面平行的性质得AD∥BE∥CF，又∵AB＝BC，由平行线等分线段定理得：DE＝EF，(2)当l1与l2异面时，如图，在直线l2上取一点G，过点G作l3∥l1，设l3与平面α，β，γ分别相交于P，Q，R.则l1与l3确定一个平面π1，l3与l2确定一个平面π2.在平面π1中，连接AP，BQ，CR，则由面面平行的性质可知AP∥BQ∥CR.由AB＝BC，得PQ＝QR；同理在平面π2中，就可证明DE＝EF.综上，DE＝EF.规律方法这是平行线等分线段定理在空间的推广，即：如果一组平行平面在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.跟踪演练3如图所示，四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别与EF的延长线交于点M，N.求证：∠AME＝∠CNE.证明连接BD，过F作FG∥AB，交BD于G，连接GE，GF.在△ABD中，∵FG∥AB，且F是AD的中点，∴DG＝GB，∴FG是△ABD的中位线，∴GF＝eq\f(1,2)AB，GF∥BM.同理可证：GE＝eq\f(1,2)CD，GE∥CN.∵AB＝CD，∴GF＝GE，∴∠GEF＝∠GFE.∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.∵GE∥CD，∴∠GEF＝∠CNE.∴∠AME＝∠CNE.1.(1)定理中的“一组平行线”是指“平行线组”，是由三条或三条以上互相平行的直线组成的.(2)定理中的条件“在一条直线上截得的线段相等”实质是指“平行线组”中每相邻两条平行线间的距离都相等.(3)定理及推论的主要作用在于证明同一直线上的线段相等问题.2.在梯形中，如果已知一腰的中点，添加辅助线的方法(1)过这一点作底边的平行线，由平行线等分线段定理的推论得另一腰的中点；(2)可通过延长线段构造全等三角形或相似三角形.3.在几何证明中添加辅助线的方法(1)在三角形中，由角平分线可构造全等或相似三角形；(2)在三角形或梯形中，若有一边上的中点，则过这点可作辅助线.1.如图所示，l1∥l2∥l3，直线AB与l1，l2，l3相交于A，E，B，直线CD与l1，l2，l3相交于C，E，D，AE＝EB，则有()A.AE＝CE B.BE＝DEC.CE＝DE D.CE>DE解析由平行线等分线段定理知CE＝ED.答案C2.如图D，E，F分别为△ABC三边的中点，则与△DEF全等的三角形有()A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析∵DF是△ABC的中位线，∴DF＝eq\f(1,2)BC＝CE，且DF∥BC，则∠AFD＝∠C.同理，由EF∥AB可得∠A＝∠EFC，∴△ADF≌△FEC.同理可得△DEB≌△FCE.由DE＝CF，DF＝CE，EF＝EF，可得△EFD≌△FEC.∴与△DEF全等的三角形有△FAD，△EDB，△CFE，共3个.答案C3.下列结论正确的是________.(1)如图(1)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.(2)如图(2)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.(3)如图(3)所示，若l1∥l2∥l3且A1B1＝B1C1，则A2B2＝B2C2.解析由平行线等分线段定理知：(1)(2)(3)都正确.答案(1)，(2)，(3)4.如图所示，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.求证：AF＝eq\f(1,3)AC.证明过D作DG∥BF交AC于G.在△BCF中，D是BC的中点，DG∥BF，∴G为CF的中点，即CG＝GF.在△ADG中，E是AD的中点，EF∥DG，∴F是AG的中点，即AF＝FG.∴AF＝eq\f(1,3)AC.一、基础达标1.如图所示，已知BC＝acm，且AD∥EF∥BC，AE＝EO＝OC，则AD等于()A.acm B.2acmC.3acm D.eq\f(3a,2)cm解析∵EF∥AD，AE＝EO，∴F是OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD＝2EF，又∵EF∥BC，EO＝OC，∴△OEF≌△OCB，∴EF＝BC，∴AD＝2a.答案B2.如图所示，在△ABC中，BD为AC边上的中线，DE∥AB交BC于E，则阴影部分面积为△ABC面积的()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析∵DE∥AB，D为AC的中点，∴E为BC的中点，∴S△BDE＝S△EDC.∴S△BDE＝eq\f(1,2)S△BDC＝eq\f(1,4)S△ABC.答案A3.如图所示，若a∥b∥c，那么下列结论中错误的是()A.由AB＝BC可得FG＝GHB.由AB＝BC可得OB＝OGC.由CE＝2CD可得CA＝2BCD.由GH＝eq\f(1,2)FH可得CD＝DE解析∵OB，OG不是一条直线被一组平行线截得的线段，故不正确.答案B4.如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，若HC＝eq\f(1,4)BH，则FC＝________BF.解析∵AH⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AH，又∵AE＝EB，∴BF＝FH，∴HC＝eq\f(1,4)BH＝eq\f(1,2)BF，∴FC＝FH＋HC＝eq\f(3,2)BF.答案eq\f(3,2)5.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中点，延长CM，交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB＝6cm，则AP＝________；若PM＝1cm，则PC＝________.解析由AD⊥BC，AB＝AC知BD＝CD，又DN∥CP，∴BN＝NP.又AM＝MD，PM∥DN，知AP＝PN，∴AP＝eq\f(1,3)AB＝2(cm)，易知PM＝eq\f(1,2)DN，DN＝eq\f(1,2)PC，∴PC＝4PM＝4(cm).答案2cm4cm6.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证：AF＝BF.证明如图，延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的角平分线，AE⊥CD，可证△AEC≌MEC，∴AE＝EM，又在△ABM中，EF∥BF，∴点F是AB的中点，∴AF＝BF.二、能力提升7.如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，点E，F分别是AD，AB的中点，且AC⊥BC，若AD＝5，EF＝6，则CF的长为()A.6.5 B.6 C.5 D.4解析连接BD，∵点E，F分别是AD，AB的中点.∴EF綊eq\f(1,2)BD，又∵EF＝6，∴BD＝12，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD＝12，BC＝AD＝5，又∵AC⊥BC，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝13，∵F是AB的中点，∴CF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(13,2)＝6.5.答案A8.某梯形的中位线长10cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3cm，则该梯形中的较大的底边等于________cm.解析由已知中位线被BD分成的较长的一部分GF＝eq\f(13,2)，又∵EF∥BC，且F为DC的中点，∴G为BD的中点，∴在△DBC中，GF＝eq\f(1,2)BC，∴较大的底边BC长为13.答案139.如图所示，AD∥EG∥FH∥BC，E，F三等分AB，G，H在DC上，AD＝4，BC＝13，则EG＝________，FH＝________.解析由梯形中位线定理知：2EG＝AD＋FH，2FH＝EG＋BC，又由已知AD＝4，BC＝13，∴可解得EG＝7，FH＝10.答案71010.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，AB＝BC，E为AB的中点.求证：△ECD为等边三角形.证明如图，连接AC，过点E作EF平行于AD交DC于点F.∵AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰).∵DC⊥BC，∴EF⊥DC.∴ED＝EC(线段垂直分线上的点到线段两端点的距离相等).∴△EDC为等腰三角形.∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB＝60°.又∵E是AB边的中点，∴CE平分∠ACB.∴∠FEC＝∠ECB＝30°.∴∠DEF＝30°.∴∠DEC＝60°.又∵ED＝EC，∴△ECD为等边三角形.11.如图所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝eq\f(1,2)BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，求BM与CG的长.解如图所示，取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，则PQ是梯形ADHE的中位线.∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝eq\f(1,2)BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(1,4)，eq\f(BM,DH)＝eq\f(AB,AD)，∴eq\f(BM,16)＝eq\f(1,4)，∴BM＝4.由于PQ为梯形ADHE的中位线，故PQ＝eq\f(1,2)(AE＋DH)＝eq\f(1,2)(12＋16)＝14.同理，CG＝eq\f(1,2)(PQ＋DH)＝eq\f(1,2)(14＋16)＝15.三、探究与创新12.有人玩折纸游戏，他先把一张矩形纸ABCD按如图(1)所示对折，设折痕为MN.如图(2)所示，再沿AE折叠矩形一部分，使