数学选修1-2学案第四章1-2（二）复数的有关概念（二）

1.2复数的有关概念(二)学习目标1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．知识点一复平面思考实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案任何一个复数z＝a＋bi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以一一对应．梳理当用直角坐标平面内的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．知识点二复数的几何意义知识点三复数的模或绝对值设复数z＝a＋bi在复平面内对应的点是Z(a，b)，点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z的模或绝对值，记作|z|，显然，|z|＝eq\r(a2＋b2).两个复数不全是实数不能比较大小，但可以比较它们模的大小．1．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(√)2．在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(×)3．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(×)类型一复数的几何意义例1实数x分别取什么值时，复数z＝(x2＋x－6)＋(x2－2x－15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线x－y－3＝0上．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．(1)当实数x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－6<0，,x2－2x－15<0，))即当－3<x<2时，点Z在第三象限．(2)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点Z(x2＋x－6，x2－2x－15)，当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上．引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在：(1)虚轴上；(2)第四象限．解(1)当实数x满足x2＋x－6＝0，即当x＝－3或2时，点Z在虚轴上．(2)当实数x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－6>0，,x2－2x－15<0，))即当2<x<5时，点Z在第四象限．反思与感悟按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z.考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0.若复数z的对应点在实轴负半轴上，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－2<0，,m2－3m＋2＝0，))所以m＝1，所以z＝－2.类型二复数的模例2已知复数z1＝eq\r(3)－i，z2＝cosθ＋isinθ.(1)求|z1|及|z2|，并比较它们的大小；(2)设z∈C，点Z为z在复平面内所对应的点，则满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z构成了什么图形？考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解(1)|z1|＝eq\r(?\r(3)?2＋?－1?2)＝2，|z2|＝eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝1.因为2>1，所以|z1|>|z2|.(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示以O为圆心，1为半径的圆的外部及其边界上所有点，|z|≤2表示以O为圆心，2为半径的圆的内部及其边界上所有点，故符合题设条件的点构成了以O为圆心，分别以1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括边界)．反思与感悟利用模的定义将复数模的条件转化为其实部、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．跟踪训练2已知0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A．(1，eq\r(10)) B．(1，eq\r(3))C．(1,3) D．(1,10)考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案A解析0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|＝eq\r(a2＋1)∈(1，eq\r(10)).1．当eq\f(2,3)<m<1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案D解析∵eq\f(2,3)<m<1，∴0<3m－2<1，m－1<0，∴复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于第四象限．2．满足|z|2－2|z|－3＝0的复数z的对应点的轨迹是()A．一个圆 B．线段C．两个点 D．两个圆考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形答案A解析由条件|z|2－2|z|－3＝0，得|z|＝3(|z|＝－1舍去)，|z|＝3表示一个圆．3．设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i(i为虚数单位)，且|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是()A．a<－1或a>1 B．－1<a<1C．a>1 D．a>0考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求参数答案B解析因为|z1|＝eq\r(a2＋4)，|z2|＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，所以eq\r(a2＋4)<eq\r(5)，即a2＋4<5，所以a2<1，即－1<a<1.4．若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，其中m∈R，则|z|＝________.考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案3解析复数z＝(m－2)＋(m＋1)i为纯虚数(i为虚数单位)，所以m－2＝0且m＋1≠0，解得m＝2，所以z＝3i，所以|z|＝3.5．当实数m为何值时，复数(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i(i为虚数单位)在复平面中的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x轴的负半轴上．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15>0，,m2＋3m－28<0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>5或m<3，,－7<m<4，))所以－7<m<3.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15<0，,m2＋3m－28＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3<m<5，,m＝－7或m＝4，))所以m＝4.

1．复数的几何意义这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量eq\o(OZ,\s\up6(→))是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与eq\o(OZ,\s\up6(→))相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2)；(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.一、选择题1．在复平面内，复数z＝cos3＋isin3的对应点所在象限为()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析∵eq\f(π,2)<3<π，∴sin3>0，cos3<0，故复数z＝cos3＋isin3的对应点位于第二象限．2．已知复数z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案A解析由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋3>0，,m－1<0，))解得－3<m<1.3．已知a为实数，若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i为纯虚数，则复数a－ai在复平面内对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析若复数z＝(a2－3a－4)＋(a－4)i是纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a－4＝0，,a－4≠0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4或a＝－1，,a≠4，))得a＝－1，则复数a－ai＝－1＋i对应的坐标为(－1,1)，位于第二象限，故选B.4．已知0<a<1，复数z的实数为a，虚部为－2，则|z|的取值范围是()A．(2,5) B．(2,3)C．(2，eq\r(5)) D．(2，eq\r(3))考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案C解析由题知z＝a－2i，所以|z|＝eq\r(a2＋4)，又a∈(0,1)，所以|z|∈(2，eq\r(5))．5．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1C．a＝0或a＝2 D．a＝0考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案C解析∵z在复平面内对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，解得a＝0或a＝2.6．已知复数z＝a＋eq\r(3)i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于()A．－1＋eq\r(3)i B．1＋eq\r(3)iC．－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)i D．－2＋eq\r(3)i考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案A解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，由|z|＝2知，eq\r(a2＋?\r(3)?2)＝2，解得a＝－1(舍正)，所以z＝－1＋eq\r(3)i.7．在复平面内，复数z1，z2的对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2eq\r(5)，|z2|＝eq\r(41)，则z2等于()A．4＋5i B．5＋4iC．3＋4i D．5＋4i或eq\f(1,5)＋eq\f(32,5)i考点复数的模的定义与应用题点利用模的定义求复数答案D解析设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－1?2＋?y－2?2＝20，,x2＋y2＝41.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(32,5).))二、填空题8．若复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为________．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案5解析由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)共线可知a＝5.9．已知复数z＝x－2＋yi的模是2eq\r(2)，则点(x，y)的轨迹方程是________________．考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决轨迹、图形答案(x－2)2＋y2＝8解析由模的计算公式得eq\r(?x－2?2＋y2)＝2eq\r(2)，∴(x－2)2＋y2＝8.10．设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝________.考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案eq\r(2)解析由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＝y，))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))所以|x＋yi|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(2).11．若复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，3))解析复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2<0，,a＋1>0，))解得－1<a<2.由条件得|z|＝eq\r(?a－2?2＋?a＋1?2)＝eq\r(2a2－2a＋5)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2－a＋\f(1,4)))＋\f(9,2))＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋\f(9,2)).因为－1<a<2，所以|z|∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)，3)).三、解答题12．求实数m的值，使复数z＝m(m－1)＋(m－1)i对应的点位于(1)实轴上；(2)第一象限；(3)第四象限．考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系解(1)由复数z对应的点位于实轴上，可得m－1＝0，解得m＝1，即当m＝1时，复数z对应的点位于实轴上．(2)由复数z对应的点位于第一象限，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?m－1?>0，,m－1>0，))解得m>1，即当m>1时，复数z对应的点位于第一象限．(3)由复数z对应的点位于第四象限，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?m－1?>0，,m－1<0，))解得m<0，即当m<0时，复数z对应的点位于第四象限．13．在复平面内，分别用点和向量表示复数1，－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，并求出它们的模．考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模解如图所示，点A，B，C分别表示复数1，－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，与之对应的向量可用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))来表示．|1|＝1，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(1,2)i))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))2)＝1.四、探究与拓展1