必修二讲义2-5探究弹性势能的表达式

2.5探究弹性势能的表达式学习目标核心凝炼1.知道探究弹性势能表达式的方法。1个概念——弹性势能2个方法——化变力为恒力、应用F－x图象求功2.理解弹性势能的概念，会分析决定弹簧弹性势能大小的相关因素。3.体会探究过程中的猜想、分析和转化的方法。4.领悟求弹力做功时，通过细分过程化变力为恒力的思想方法。一、弹性势能[观图助学]上图中的弓、金属圈、弹性杆在发生形变时，都会具有什么形式的能量？1.定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。2.弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为0。弹簧被拉长或被压缩时，就具有了弹性势能。二、探究弹性势能的表达式[观图助学](1)同一根弹簧在不同状态下弹性势能一样大吗？弹簧的弹性势能大小与什么因素有关？(2)撑杆跳中的杆在不同状态下弹性势能一样大吗？杆的弹性势能大小与什么因素有关？1.猜想(1)弹性势能与弹簧被拉伸的长度有关，同一个弹簧，拉伸的长度越大，弹簧的弹性势能也越大。(2)弹性势能与弹簧的劲度系数有关，在拉伸长度l相同时，劲度系数k越大，弹性势能越大。2.探究思想：弹力做功与弹性势能变化的关系同重力做功与重力势能的变化关系相似。3.两种方法计算弹簧弹力的功(1)微元法：把整个过程划分为很多小段，整个过程做的总功等于各段做功的代数和：W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…＋FnΔln。(2)图象法：作出弹力F与弹簧伸长量l关系的F－l图象，则弹力做的功等于F-l图象与l轴所围的面积。[理解概念]判断下列说法是否正确。(1)弹性势能与弹簧的弹性形变量和劲度系数有关。(√)(2)不同弹簧发生相同的形变量时弹力做功相同。(×)(3)弹簧被压缩时，弹性势能为负；弹簧被拉伸时，弹性势能为正。(×)(4)弹力做正功，弹性势能就增大；弹力做负功，弹性势能就减小。(×)对弹性势能的理解[观察探究]如图1所示，某人正在用拉力器锻炼臂力。图1(1)人不用力时，弹簧不伸长，此时弹簧有弹性势能吗？(2)人拉弹簧时对弹簧做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？(3)在弹簧弹性限度内，人将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多吗？弹性势能越大吗？(4)拉力器有2条弹簧和有4条弹簧，拉伸相同长度，用力一样吗？克服弹力做功相同吗？答案(1)弹簧不伸长，没有弹性势能。(2)人对弹簧做正功，弹性势能增加。(3)将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多，弹性势能越大。(4)用力不一样，克服弹力做功也不相同。[探究归纳]1.弹性势能的产生原因eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1）物体发生了弹性形变,（2）各部分间的弹力作用))2.影响弹性势能大小的因素eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1）弹簧的形变量x,（2）弹簧的劲度系数k))3.弹性势能与弹力做功的关系(1)弹力做正功时，弹性势能减小。(2)弹力做负功时，弹性势能增大。(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp。[试题案例][例1]关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是()A.当弹簧变长时，它的弹性势能一定增加B.当弹簧变短时，它的弹性势能一定减少C.在拉伸长度相同时，劲度系数越大的弹簧，它的弹性势能越大D.弹簧拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能解析如果弹簧原来处于压缩状态，那么当它恢复原长时，它的弹性势能减小，当它变短时，它的弹性势能增大，弹簧拉伸时的弹性势能可能大于、小于或等于压缩时的弹性势能，需根据形变量来判定，所以选项A、B、D错误；当拉伸长度相同时，劲度系数越大的弹簧，需要克服弹力做的功越多，弹簧的弹性势能越大，选项C正确。答案C理解弹性势能时应注意的三个问题(1)弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或缩短的长度)共同决定，劲度系数越大，形变量越大，弹簧的弹性势能越大。(2)弹簧处于原长时，弹性势能为零，弹簧拉长或压缩弹性势能均为正值。(3)弹性势能具有相对性，但其变化量具有绝对性，因此，在判断弹性势能的变化时不必考虑零势能的位置。[针对训练1]如图2所示，撑杆跳是运动会上常见的比赛项目，用于撑起运动员的竿要求具有很好的弹性，下列关于运动员撑竿跳起的过程说法中正确的是()图2A.运动员撑竿刚刚触地时，竿弹性势能最大B.运动员撑竿跳起到达最高点时，竿弹性势能最大C.运动员撑竿触地后上升到达最高点之前某时刻，竿弹性势能最大D.以上说法均有可能解析竿形变量最大时，弹性势能最大，只有C项正确。答案C探究弹性势能的表达式[观察探究]如图3所示，测出弹簧不同拉力F作用下的伸长量x，并且作出F－x图象。图3(1)弹簧弹力做的功与弹性势能的变化有什么关系？(2)怎样计算弹簧弹力做的功？(3)怎样表示弹性势能？答案(1)弹簧弹力做的功等于弹性势能的减少量，或者说弹性势能的增加量等于弹簧弹力做功的负值，即W＝－ΔEp。(2)如图所示，在F－x图象中，图线与横轴所围图形(图中阴影部分)的面积就表示克服弹力所做的功。由此可求得劲度系数为k的弹簧从其自然长度伸长了x时，弹力做功W＝－eq\f(1,2)kx2。(3)根据W＝－ΔEp得W＝Ep0－Ep＝0－Ep，所以Ep＝eq\f(1,2)kx2。[探究归纳]1.弹性势能的表达式：Ep＝eq\f(1,2)kx2。(1)k为弹簧的劲度系数，由弹簧本身的因素决定。(2)x为弹簧的伸长量(或压缩量)，不是弹簧的长度。2.重力势能和弹性势能的对比弹性势能重力势能定义发生弹性形变的物体各部分之间由于弹力的相互作用而具有的势能物体由于被举高及地球的吸引作用而具有的势能表达式Ep＝eq\f(1,2)kx2Ep＝mgh相对性弹性势能与零势能位置的选取有关，通常选自然长度时势能为零，表达式最为简洁重力势能的大小与零势能面的选取有关，但变化量与零势能面的选取无关系统性发生弹性形变的物体上所有质点共同具有的能量地球附近的物体与地球所共有的能量联系两种势能分别以弹力、重力的存在为前提，又由物体的初、末位置来决定，同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化[试题案例][例2]如图4所示，小玲同学平时使用带弹簧的圆珠笔写字，她想估测里面的小弹簧在圆珠笔尾端压紧情况下的弹性势能的增加量。请你帮助她完成这一探究过程。图4(1)该同学依据笔尖释放后的重力势能的增加量来估算弹簧的弹性势能，那么该实验所用的器材为：______________________________________________________。(2)写出实验的步骤和所要测量的物理量(用字母表示)_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(要求符合实际并尽量减小误差)。(3)弹性势能的增加量的表达式ΔEp＝__________(用测得的量表示)。【思路点拔】设计实验方案时，应注意实验原理和实验方法，本题测量弹性势能的大小，要根据能量的转化与守恒的思想来进行，即将弹性势能的测量转化成对重力势能的测量。解析本题是通过测量笔尖释放后笔的重力势能的增加量来估算弹簧的弹性势能，而重力势能增加量与物体的质量和上升的高度有关。(1)刻度尺，天平(2)①将圆珠笔紧靠刻度尺竖直放在桌面上；②在桌面上将圆珠笔尾端压紧，记下笔尖对应的读数x1；③突然放开圆珠笔，观察并记下笔尖到达的最高处对应的读数x2；④用天平测出圆珠笔的质量m(3)ΔEp＝mg(x2－x1)答案见解析[针对训练2]如图5所示，质量为m的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉住弹簧上端上移H，将物体缓缓提高h，拉力F做功WF，不计弹簧的质量，则下列说法正确的是()图5A.重力做功－mgh，重力势能减少mghB.弹力做功－WF，弹性势能增加WFC.重力势能增加mgh，弹性势能增加FHD.重力势能增加mgh，弹性势能增加WF－mgh解析可将整个过程分为两个阶段：一是弹簧伸长到物体刚要离开地面阶段，拉力克服弹力做功WF1＝－W弹，等于弹性势能的增加；二是弹簧长度不变，物体上升h，拉力克服重力做功WF2＝－WG＝mgh，等于重力势能的增加，又由WF＝WF1＋WF2，可知A、B、C错，D正确。答案D应用图象中的“面积”巧解问题物理图象给人的感觉是直观、形象，它反映了一个动态的物理过程，通过图线描述两个物理量的变化关系，而有些图象中图线与坐标轴所围成的“面积”往往代表特定的物理意义，应用这些“面积”的物理意义解答问题有时可以快速解题，事半功倍。我们已经学过的，例如：(1)在v－t图象中图线与t轴围成的“面积”表示物体的位移；(2)在a－t图象中图线与t轴围成的“面积”表示物体速度的变化；(3)在F－x图象中图线与x轴围成的“面积”表示力对物体做的功。【针对练习】一根弹簧的弹力和形变量的关系图线如图6所示，那么弹簧由伸长量为8cm到伸长量为4cm的过程中，弹力做的功和弹性势能的变化量分别为()图6A.3.6J，－3.6J B.－3.6J，3.6JC.1.8J，－1.8J D.－1.8J，1.8J解析F－x图象中图线与x轴围成的“面积”表示弹力做的功。W＝eq\f(1,2)×0.08×60J－eq\f(1,2)×0.04×30J＝1.8J。弹性势能减少1.8J，故弹性势能的变化量为－1.8J，C正确。答案C1.(弹性势能的理解)(多选)关于重力势能和弹性势能，下列说法中正确的是()A.发生形变的物体一定具有弹性势能B.重力势能和弹性势能的大小都是由相互作用的两个物体的相对位置决定的C.若规定弹簧的长度为原长时，弹簧的弹性势能为0，则弹簧压缩时弹性势能是负值，弹簧伸长时弹性势能是正值D.弹性势能必须通过弹力做功改变解析发生弹性形变的物体有弹性势能，有些形变不能恢复，没有弹性势能，A错误；相互作用的两个物体，当相对位置发生变化时，作用力能够做功，一定具有势能，B正确；无论弹簧压缩还是伸长，弹性势能均为正值，C错误；弹性势能的变化总是与弹力做功相对应，当弹力做正功时，弹性势能减少，当弹力做负功时，弹性势能增加，D正确。答案BD2.(弹性势能的理解)如图7所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是()图7A.如图甲，撑杆跳高的运动员上升过程中，杆的弹性势能B.如图乙，人拉长弹簧过程中，弹簧的弹性势能C.如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能D.如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能答案B3.(弹力做功与弹性势能变化的关系)如图8所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F的作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动。在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是()图8A.弹簧的弹性势能逐渐减小B.弹簧的弹性势能逐渐增大C.弹簧的弹性势能先增大后减小D.弹簧的弹性势能先减小后增大解析由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去F后物体在向右运动的过程中，弹簧的弹力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能先减小后增大，D正确。答案D4.(弹簧问题的综合分析)(多选)某缓冲装置可抽象成图9所示的简单模型，图中k1、k2为原长相等、劲度系数不同的轻质弹簧。下列表述正确的是()图9A.缓冲效果与弹簧的劲度系数无关B.垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等C.垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等D.垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变解析弹簧劲度系数k越大，向右压缩单位长度弹力越大，物体减速越快，缓冲效果越好，A错误；由牛顿第三定律可知两弹簧弹力总是大小相等，B正确；由于k1x1＝k2x2，k1≠k2，所以x1≠x2，又因原长相等，故压缩后两弹簧的长度不相等，C错误；弹簧形变量越来越大，弹性势能越来越大，D正确。答案BD合格性检测1.如图1所示，将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的弹力和弹性势能的变化情况是()图1A.弹力变大，弹性势能变小B.弹力变小，弹性势能变大C.弹力和弹性势能都变小D.弹力和弹性势能都变大解析将弹簧拉力器用力拉开的过程中，弹簧的伸长量变大，弹簧的弹力变大，弹性势能变大。故A、B、C错误，D正确。答案D2.(多选)在一次“蹦极”运动中，人由高空落下，到最低点的过程中，下列说法正确的是()图2A.重力对人做正功B.人的重力势能减少了C.橡皮绳对人做正功D.橡皮绳的弹性势能减少了答案AB3.(多选)在探究弹簧的弹性势能的表达式时，下面猜想有一定道理的是()A.重力势能与物体被举起的高度h有关，所以弹性势能很可能与弹簧的长度有关B.重力势能与物体被举起的高度h有关，所以弹性势能很可能与弹簧被拉伸(或压缩)的长度有关C.重力势能与物体所受的重力mg大小有关，所以弹性势能很可能与弹簧的劲度系数有关D.重力势能与物体的质量有关，所以弹性势能很可能与弹簧的质量大小有关解析弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数和弹簧的形变量有关，与弹簧的长度、质量等因素无关。答案BC4.一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧上端的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图3所示。经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则()图3A.h越大，弹簧在A点的压缩量越大B.弹簧在A点的压缩量与h无关C.h越大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能越大D.小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大解析最终小球静止在A点时，小球受重力与弹簧的弹力相等，故由弹力公式得mg＝kx，即可得出弹簧在A点的压缩量x＝eq\f(mg,k)，与下落时的高度h无关，A错误，B正确；对同一弹簧，它的弹性势能大小仅与弹簧的形变量有关，小球静止在A点或经过A点时，弹簧的弹性势能相同，C、D错误。答案B5.(2018·苏州高一检测)(多选)如图4所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F作用下缓慢拉伸了x。关于拉力F、弹性势能Ep随伸长量x的变化图象正确的是()图4解析因为是缓慢拉伸，所以拉力始终与弹簧弹力大小相等，由胡克定律F＝kx，F－x图象为倾斜直线，A正确，B错误；因为Ep∝x2，所以D正确，C错误。答案AD6.(2018·滨州高一检测)如图5所示，a、b两条斜线分别表示两根劲度系数不同的弹簧所受拉力F和弹簧伸长量之间的关系。设它们的劲度系数分别为ka、kb，拉力都为F1时的弹性势能分别为Ea、Eb。则下列说法正确的是()图5A.ka＞kbEa＞Eb B.ka＜kbEa＞EbC.ka＞kbEa＜Eb D.ka＜kbEa＜Eb解析由F＝kl可知，F－l图线的斜率为弹簧的劲度系数，由图可知，ka＞kb，当拉力为F1时，两弹簧的形变量为la＝eq\f(F1,ka)，lb＝eq\f(F1,kb)，可得：Ea＝eq\f(1,2)kaleq\o\al(2,a)＝eq\f(Feq\o\al(2,1),2ka)，Eb＝eq\f(Feq\o\al(2,1),2kb)，可得Ea＜Eb。故C正确。答案C7.如图6所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1＞h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是()图6A.ΔE1＝ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2 B.ΔE1>ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2C.ΔE1＝ΔE2，ΔEp1>ΔEp2 D.ΔE1>ΔE2，ΔEp1>ΔEp2解析小球速度最大的条件是弹力等于重力，两种情况下，对应于同一位置，则ΔEp1＝ΔEp2，由于h1＞h2，所以ΔE1>ΔE2，B正确。答案B8.如图7所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中()图7A.重力做正功，弹力不做功B.重力做正功，弹力做正功C.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做正功，弹力不做功D.若用与弹簧原长相等的细绳代替弹簧后，重力做功不变，弹力不做功解析重力做正功，弹簧弹力做负功，选项A、B错误；若用等长细绳代替弹簧后重力做正功，弹力不做功，但重力做的功不同，选项C正确，D错误。答案C等级性检测9.一个小孩在蹦床上做游戏，他从高处落到蹦床上后又被弹起到原高度，小孩从高处开始下落到弹回的整个过程中，他运动的速度v随时间t变化的图象如图8所示，图中只有Oa段和cd段为直线。则根据该图象可知，蹦床的弹性势能增大的过程所对应的时间间隔为()图8A.仅在t1到t2的时间内B.仅在t2到t3的时间内C.在t1到t3的时间内D.在t1到t5的时间内解析小孩从高处落下，在0～t1时间内小孩只受重力作用；在t1～t2时间内加速度减小，说明小孩又受到了弹力作用，蹦床受到压力；t3时刻，小孩的速度为零，蹦床受到的压力最大，弹性势能也最大；t3时刻后小孩反弹，蹦床的弹性势能减小。故选项C正确。答案C10.弹簧原长为l0，劲度系数为k。用力把它拉到伸长量为l，拉力所做的功为W1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W2。试求：(1)W1与W2的比值；(2)对应的弹性势能Ep1与Ep2之比。解析(1)法一：拉力F与弹簧的伸长量l成正比，故在F－l图象中是一条倾斜直线，如图所示，直线下的相关面积表示功的大小。其中，线段