（河北专版）中考数学一轮复习 第五章 图形的认识 5.6 解直角三角形（试卷部分）

§5.6解直角三角形中考数学

(河北专用)精选ppt1.(2017河北,11,2分)如图是边长为10cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种

剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)

的是

()A组2014-2018年河北中考题组五年中考答案

A由勾股定理得正方形的对角线的长是10

,因为10

<15,所以正方形内部的每一个点到正方形的顶点的距离都小于15,故选A.精选ppt2.(2016河北,9,3分)下图为4×4的网格图,A,B,C,D,O均在格点上,点O是

()

A.△ACD的外心

B.△ABC的外心C.△ACD的内心

D.△ABC的内心答案

B设每个小正方形的边长为1,则OA=OB=OC=

,所以点O到△ABC三个顶点的距离都相等,所以点O在△ABC三边垂直平分线的交点上,故点O是△ABC的外心.解题关键本题考查了勾股定理和三角形外心的定义,用勾股定理分别求出点O与三角形

ABC各顶点的距离,再根据定义作出判断即可.精选ppt3.(2013河北,26,14分)一透明的敞口正方体容器ABCD-A'B'C'D'装有一些液体,棱AB始终在水平

桌面上,容器底部的倾斜角为α(∠CBE=α,如图1所示).

图1探究

如图1,液面刚好过棱CD,并与棱BB'交于点Q,此时液体的形状为直三棱柱,其三视图及

尺寸如图2所示.解决问题:

图2精选ppt(1)CQ与BE的位置关系是

,BQ的长是

dm;(2)求液体的体积;(参考算法:直棱柱体积V液=底面积S△BCQ×高AB)(3)求α的度数.

拓展在图1的基础上,以棱AB为轴将容器向左或向右旋转,但不能使液体溢出,图3或图4是其

正面示意图.若液面与棱C'C或CB交于点P,设PC=x,BQ=y.分别就图3和图4,求y与x的函数关系

式,并写出相应的α的范围.

图3图4延伸在图4的基础上,于容器底部正中间位置,嵌入一平行于侧面的长方形隔板(厚度忽略不精选ppt计),得到图5,隔板高NM=1dm,BM=CM,NM⊥BC.继续向右缓慢旋转,当α=60°时,通过计算,判断

溢出容器的液体能否达到4dm3.图5备用图精选ppt解析

探究(1)CQ∥BE;3.(2)V液=

×3×4×4=24(dm3).(3)在Rt△BCQ中,tan∠BCQ=

,∴α=∠BCQ=37°.拓展当容器向左旋转时,如图1,0°≤α≤37°.

图1∵液体体积不变,∴

(x+y)×4×4=24.∴y=-x+3.当容器向右旋转时,如图2,同理得y=

.精选ppt

图2当液面恰好到达容器口沿,图3即点Q与点B'重合时,如图3,由BB'=4,且

×PB×BB'×4=24,得PB=3.∴由tan∠PB'B=

,得∠PB'B=37°,∴α=∠B'PB=53°,此时37°≤α≤53°.[注:本问的范围中,“≤”为“<”不影响得分]延伸当α=60°时,如图4所示,设FN∥EB,GB'∥EB.精选ppt过点G作GH⊥BB'于点H.在Rt△B'GH中,GH=MB=2,∠GB'B=30°,∴HB'=2

.∴MG=BH=4-2

<MN.此时容器内液体形成两层液面,液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形MBB‘G为底面的直棱柱.∵S△NFM+S梯形MBB'G=

×

×1+

(4-2

+4)×2=8-

,∴V溢出=24-4

=

-8>4(dm3).∴溢出的液体可以达到4dm3.图4评析

本题属于几何知识综合题,主要考查了几何体的三视图、体积计算公式、直角梯形的

性质、锐角三角函数及函数的确定等知识.本题的难点在于当α=60°时,容器内液体形成两层

液面容易被学生忽略.精选pptB组2014—2018年全国中考题组考点一

勾股定理1.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A'与

点A重合,点C'落在边AB上,连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,则B'C的长为

()

A.3

B.6

C.3

D.

答案

A由题意得△ABC与△A'B'C'全等且均为等腰直角三角形,∵AC=BC=3,∴AB=3

,∴AB'=3

,在△AB'C中,易知∠CAB'=90°,∴△AB'C是直角三角形,∴B'C=

=3

.精选ppt2.(2016河南,6,3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则

DE的长为

()

A.6

B.5

C.4

D.3答案

D在△ABC中,∠ACB=90°,∵DE垂直平分AC,∴AD=DC,DE∥BC,∴E为AB的中点,∴DE=

BC,∵BC=

=6,∴DE=

BC=3.故选D.精选ppt3.(2016安徽,10,4分)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足

∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为

()A.

B.2

C.

D.

答案

B∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.设AB的中

点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,∵OB=

AB=3,BC=4,∴OC=

=5,又OP=

AB=3,∴线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.精选ppt4.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边△ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EF⊥AC于点F,

G为EF的中点,连接DG,则DG的长为

.

答案

解析连接DE,在等边△ABC中,∵D、E分别是AB、BC的中点,∴DE∥AC,DE=EC=

AC=2.∴∠DEB=∠C=60°.∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.∴∠FEC=30°,EF=

.∴∠DEG=180°-60°-30°=90°.∵G是EF的中点,∴EG=

.∴在Rt△DEG中,DG=

=

=

.精选ppt思路分析

连接DE,根据题意可得DE∥AC,又EF⊥AC,可得到∠FEC的度数,判断出△DEG是

直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.疑难突破

本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段

DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股

定理求出DG的长.5.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5

cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂

蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为

cm(杯壁厚度不计).

精选ppt解析如图,将圆柱侧面展开,延长AC至A',使A'C=AC,连接A'B,则线段A'B的长为蚂蚁到蜂蜜的

最短距离.过B作BB'⊥AD,垂足为B'.在Rt△A'B'B中,B'B=16,A'B'=14-5+3=12,所以A'B=

=

=20,即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.

答案20精选ppt6.(2017吉林长春,13,3分)如图①,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,

人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图②,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方

形,△ABF、△BCG、△CDH、△DAE是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为

.答案10解析∵四边形EFGH为正方形,∴EH=EF=2,又∵DE=8,∴DH=6,∵△DHC≌△BFA≌△AED,∴AF=DE=8,BF=DH=6,∴AB=

=

=10.思路分析

利用正方形和全等三角形的性质求出Rt△ABF的边AF和BF的长,再利用勾股定理

求得AB的长.精选ppt7.(2016黑龙江哈尔滨,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,点P为边BC的三等

分点,连接AP,则AP的长为

.答案

或

解析当CP=1时,根据勾股定理得AP=

=

;当CP=2时,根据勾股定理得AP=

=

=

,故AP的长为

或

.精选ppt8.(2015贵州遵义,16,4分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人

称其为“赵爽弦图”(如图(1)),图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成,

记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH

的边长为2,则S1+S2+S3=

.

答案12解析设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=3×22=12.精选ppt考点二

锐角三角函数1.(2018云南,12,4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为

()A.3

B.

C.

D.

答案

A∵AC=1,BC=3,∠C=90°,∴tanA=

=3.2.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长都为1,则tan∠

BAC的值为

()

A.

B.1

C.

D.

精选ppt答案

B如图,连接BC.在△ABD和△BCE中,

∴△ABD≌△BCE(SAS),∴AB=BC,∠ABD=∠BCE.∵∠BCE+∠CBE=90°,∴∠ABD+∠CBE=90°,即∠ABC=90°,∴tan∠BAC=

=1,故选B.3.(2017黑龙江哈尔滨,8,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosB的值为

()A.

B.

C.

D.

答案

A由勾股定理可得BC=

,所以cosB=

=

.故选A.精选ppt4.(2016福建福州,9,3分)如图,以O为圆心,1为半径的弧交坐标轴于A,B两点,P是 上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是

()

A.(sinα,sinα)

B.(cosα,cosα)C.(cosα,sinα)

D.(sinα,cosα)答案

C过P作PQ⊥OB,交OB于点Q,

在Rt△OPQ中,OP=1,∠POQ=α,∴sinα=

,cosα=

,即PQ=sinα,OQ=cosα,∴点P的坐标为(cosα,sinα).故选C.评析熟练掌握锐角三角函数的定义是解本题的关键.精选ppt5.(2015内蒙古包头,4,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,若斜边AB是直角边BC的3倍,则tanB的值是

()A.

B.3

C.

D.2

答案

D在Rt△ABC中,设BC=x(x>0),则AB=3x,∴AC=

=2

x.则tanB=

=2

.故选D.6.(2017广东广州,14,3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=15,tanA=

,则AB=

.

答案17解析在Rt△ABC中,∵tanA=

=

,BC=15,∴AC=8,∴AB=

=

=17.精选ppt7.(2016福建福州,18,4分)如图,6个形状、大小完全相同的菱形组成网格,菱形的顶点称为格点.

已知菱形的一个角(∠O)为60°,A,B,C都在格点上,则tan∠ABC的值是

.

答案

解析如图,连接EA,EC,易知E、C、B三点共线.设小菱形的边长为a,由题意得∠AEF=30°,∠

BEF=60°,AE=

a,EB=2a,

∴∠AEB=90°,∴tan∠ABC=

=

=

.精选ppt8.(2014湖北黄石,13,3分)如图,圆O的直径CD=10cm,且AB⊥CD,垂足为P,AB=8cm,则sin∠

OAP=

.

答案

解析∵AB⊥CD,∴AP=BP=

AB=

×8=4cm.在Rt△OAP中,OA=

CD=5cm,∴OP=

=3cm.∴sin∠OAP=

=

.精选ppt考点三

解直角三角形1.(2018重庆,10,4分)如图,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂

直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°,升旗台底部到教学楼底部的距离DE

=7米,升旗台坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米,若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,

则旗杆AB的高度约为

()(参考数据:sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.6)

A.12.6米

B.13.1米

C.14.7米

D.16.3米精选ppt答案

B如图,延长AB交ED的延长线于M,作CJ⊥DM于J.则四边形BMJC是矩形.

在Rt△CJD中,

=

=

,设CJ=4k,DJ=3k,k>0,已知CD=2,则有9k2+16k2=4,解得k=

,∴BM=CJ=

,DJ=

,又∵BC=MJ=1,∴EM=MJ+DJ+DE=

,在Rt△AEM中,tan∠AEM=

,∴tan58°=

≈1.6,解得AB≈13.1(米),故选B.精选ppt思路分析

延长AB交ED的延长线于M,作CJ⊥DM于J,则四边形BMJC是矩形.在Rt△CJD中求

出CJ、DJ的长,再根据tan∠AEM=

即可解决问题.方法总结

解直角三角形的实际应用问题的关键是根据实际情况建立数学模型,正确画出图

形,找到直角三角形.根据题目中的已知条件,将实际问题抽象为解直角三角形的数学问题,画

出平面几何图形,弄清已知条件中各量之间的关系,若图中有直角三角形,根据边角关系进行计

算即可;若图中没有直角三角形,可通过添加辅助线构造直角三角形来解决.精选ppt2.(2017甘肃兰州,3,4分)如图,一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡

与水平地面夹角的正切值等于

()

A.

B.

C.

D.

答案

C在直角三角形中,根据勾股定理可知水平的直角边长为120m,故这个斜坡与水平地

面夹角的正切值等于

=

,故选C.思路分析

先利用勾股定理求得第三边的长,再利用正切的定义求正切值.精选ppt3.(2016重庆,11,4分)某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图,在点A

处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°.然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B

处,然后再沿水平方向行走6米至大树底端D处,斜面AB的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么大树CD

的高度约为(参考数据:sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)

()

A.8.1米

B.17.2米

C.19.7米

D.25.5米精选ppt答案

A作BF⊥AE于F,如图所示,

易知四边形BDEF为矩形,则FE=BD=6米,DE=BF,∵斜面AB的坡度i=1∶2.4,∴AF=2.4BF,设BF=x米,则AF=2.4x米,在Rt△ABF中,x2+(2.4x)2=132,解得x=5,∴DE=BF=5米,AF=12米,∴AE=AF+FE=18米,在Rt△ACE中,CE=AE·tan36°=18×0.73=13.14米,∴CD=CE-DE=13.14-5≈8.1米,故选A.精选ppt4.(2015江苏苏州,10,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站,AB=2km,从A测得船C

在北偏东45°的方向,从B测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为

()

A.4kmB.(2+

)kmC.2

kmD.(4-

)km精选ppt答案

B如图,在Rt△ABE中,∠AEB=45°,∴AB=EB=2km,∴AE=2

km,∵∠EBC=22.5°,∴∠ECB=∠AEB-∠EBC=22.5°,∴∠EBC=∠ECB,∴EB=EC=2km,∴AC=AE+EC=(2

+2)km.在Rt△ADC中,∠CAD=45°,∴AD=DC=(2+

)km,故选B.

精选ppt5.(2017山西,14,3分)如图,创新小组要测量公园内一棵树的高度AB,其中一名小组成员站在距

离树10米的点E处,测得树顶A的仰角为54°.已知测角仪的架高CE=1.5米,则这棵树的高度为

米(结果保留一位小数.参考数据:sin54°=0.8090,cos54°=0.5878,tan54°=1.3764).

答案15.3解析由题意知BD=CE=1.5米,CD=BE=10米,在Rt△ADC中,由锐角三角函数可得AD=CDtan

∠ACD=10tan54°=10×1.3764=13.764米,所以AB=AD+BD=13.764+1.5=15.264≈15.3米.精选ppt6.(2015宁夏,16,3分)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4.某船从港口A出发,沿北偏东15°

方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行

的距离(即AB的长)为

.

答案2

精选ppt解析如图,作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4,∴AD=

OA=2.在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°,∴BD=AD=2,∴AB=

AD=2

,∴该船航行的距离(即AB的长)为2

.

评析

本题考查了方向角与解直角三角形,需要通过添加恰当的辅助线构造含特殊角的直角

三角形.属中档题.精选ppt7.(2018江西,19,8分)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门

的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120

cm,两扇活页门的宽OC=OB=60cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变

(所有结果保留小数点后一位).(1)若∠OBC=50°,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60cm时,求O在此过程中运动的路径长.参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19,π取3.14.精选ppt解析(1)如图,过点O作OD⊥AB于点D,

在Rt△OBD中,BD=OB·cos∠OBD=60×cos50°≈60×0.64=38.4(cm).∵OC=OB,∴BC=2BD.∴AC=AB-BC=120-2×38.4=43.2(cm).(2)如图,

精选ppt∵AB=120cm,AC=60cm,∴BC=AB-AC=60cm.∵OC=OB=60cm,∴BC=OC=OB,∴△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°.∵点O的运动路径为 ,∴点O运动的路径长为

=20π=62.8(cm).思路分析

(1)过点O作OD⊥AB于点D,先根据∠OBC的余弦求出BD,然后根据等腰三角形的

性质求得BC,进而求得AC的长;(2)点O运动路径是以点B为圆心,OB长为半径的圆弧,先确定当

点C从点A向右运动60cm后∠OBC的大小,进而利用弧长公式求出结果.解题关键

解决本题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确

理解点O的运动路径.精选ppt8.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平

行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距

离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,底座上A,B两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm,高

杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4

°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1cm.参考数据:sin82.4°≈0.991,cos82.4°≈0.132,tan82.4°≈7.500,sin80.3°≈0.98

3,cos80.3°≈0.168,tan80.3°≈5.850)精选ppt解析在Rt△CAE中,AE=

=

≈

≈20.7.

(3分)在Rt△DBF中,BF=

=

≈

=40.

(6分)∴EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=150.7≈151.∵四边形CEFH为矩形,∴CH=EF=151.即高、低杠间的水平距离CH的长约是151cm.

(9分)思路分析

根据Rt△CAE和Rt△DBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,

得EF=AE+AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.方法总结

解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借

助边角关系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三

角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.精选ppt9.(2017新疆乌鲁木齐,21,10分)一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向,距离港口20海里的B处,

它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障,在C处等待救援,B、C之间的距离为10海里,救援

艇从港口A出发20分钟到达C处,求救援艇的航行速度.(sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,

≈1.732,结果取整数)

精选ppt解析如图所示.BD⊥AD,BE⊥CE,CF⊥AF,由题意知,∠FAB=60°,∠CBE=37°,∴∠BAD=30°,∵AB=20海里,∴BD=10海里.

(1分)在Rt△ABD中,AD=

=10

≈10×1.732=17.32海里.(3分)在Rt△BCE中,sin37°=

,∴CE=BC·sin37°≈10×0.6=6海里.

(5分)精选ppt∵cos37°=

,∴EB=BC·cos37°≈10×0.8=8海里.

(7分)∵EF=AD=17.32海里,∴FC=EF-CE=11.32海里.AF=ED=EB+BD=18海里.在Rt△AFC中,AC=

=

≈21.26海里.

(9分)21.26÷

≈64海里/小时(21.26÷20≈1海里/分钟).答:救援艇的航行速度是64海里/小时(1海里/分钟).

(10分)精选ppt10.(2016湖北黄冈,22,8分)“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏,救灾部门迅速组织力

量,从仓储处调集物资,计划先用汽车运到与D在同一直线上的C,B,A三个码头中的一处,再用

货船运到小岛O.已知:OA⊥AD,∠ODA=15°,∠OCA=30°,∠OBA=45°,CD=20km.若汽车行驶

的速度为50km/时,货船航行的速度为25km/h,问这批物资在哪个码头装船,最早运抵小岛O?

(在物资搬运能力上每个码头工作效率相同;参考数据:

≈1.4;

≈1.7)

精选ppt解析∵∠OCA=30°,∠D=15°,∴∠DOC=15°,∴CO=CD=20km.在Rt△OAC中,∵∠OCA=30°,∴OA=10km,AC=10

km.在Rt△OAB中,∵∠OBA=45°,∴OA=AB=10km,OB=10

km.∴BC=AC-AB=(10

-10)km.①从C→O所需时间为:20÷25=0.8(h);②从C→B→O所需时间为(10

-10)÷50+10

÷25≈0.7(h);③从C→A→O所需时间为10

÷50+10÷25≈0.74(h).∵0.7<0.74<0.8,∴这批物资在B码头装船,最早运抵小岛O.(所需时间若同时加上DC段耗时0.4h,亦可)精选pptC组教师专用题组考点一

勾股定理1.(2017浙江绍兴,6,3分)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左

墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶

端距离地面2米.则小巷的宽度为

()

A.0.7米

B.1.5米C.2.2米

D.2.4米答案

C设梯子斜靠在右墙时,底端到右墙角的距离为x米,由勾股定理可得:梯子的长度= =

,可解得x=1.5,则小巷的宽度为0.7+1.5=2.2(米).故选C.精选ppt2.(2017浙江杭州,10,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分

线交边BC于点D.设BD=x,tan∠ACB=y,则

()

A.x-y2=3

B.2x-y2=9C.3x-y2=15

D.4x-y2=21精选ppt答案

B如图,过A作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,连接ED.∵E为AC的中点,AM∥EN,∴EN=

,MN=

,∵AB=AC,AM⊥BC,∴CM=

=6,∴MN=3,∵tan∠ACB=

=y,∴AM=6y,∴EN=3y,∵直线DF是线段BE的垂直平分线,∴ED=BD=x,∵DE2=DN2+EN2,∴x2=(9-x)2+(3y)2,即2x-y2=9,此题选B.精选ppt3.(2016湖南株洲,8,3分)如图,以直角三角形a、b、c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直

角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数为

()

A.1

B.2

C.3

D.4精选ppt答案

D(1)S1=

a2,S2=

b2,S3=

c2,∵a2+b2=c2,∴

a2+

b2=

c2,∴S1+S2=S3.(2)S1=

a2,S2=

b2,S3=

c2,∵a2+b2=c2,∴

a2+

b2=

c2,∴S1+S2=S3.(3)S1=

a2,S2=

b2,S3=

c2,∵a2+b2=c2,∴

a2+

b2=

c2,∴S1+S2=S3.(4)S1=a2,S2=b2,S3=c2,∵a2+b2=c2,∴S1+S2=S3.综上,面积关系满足S1+S2=S3的图形有4个.故选D.精选ppt4.(2018云南,6,3分)在△ABC中,AB=

,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为

.答案1或9解析分两种情况讨论:①BC边上的高在△ABC内时,如图,过A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中,∵AB=

,AD=3,∴BD=

=5.在Rt△ACD中,∵AC=5,AD=3,∴CD=

=4.∴BC=BD+CD=9.②BC边上的高位于△ABC外时,如图,同①可求得BD=5,CD=4,∴BC=1.综上,BC的长为1或9.思路分析

根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.易错警示

本题容易只考虑BC边上的高在△ABC内的情况而导致漏解.精选ppt5.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三

角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若

AB=

,则CD=

.

答案

-1解析由题意知△ABC,△ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=

,由勾股定理得BC=AD=2.过A作AF⊥BC于F,则FC=AF=1,在Rt△AFD中,由勾股定理得FD=

,故CD=FD-FC=

-1.精选ppt6.(2015江苏苏州,18,3分)如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线

于点E,取BE的中点F,连接DF,DF=4.设AB=x,AD=y,则x2+(y-4)2的值为

.

答案16解析由题意知DF是Rt△BDE的中线,所以DF=BF=FE=4.矩形ABCD中,AB=DC=x,BC=AD=y,

在Rt△CDF中,CF=BF-BC=4-y,CD=x,DF=4,由勾股定理得CF2+CD2=DF2,即x2+(y-4)2=42=16.评析

本题考查勾股定理的应用,直角三角形的性质,综合性较强,对学生能力要求较高,属难题.精选ppt7.(2014甘肃兰州,27,10分)给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线

的平方,则称该四边形为勾股四边形.(1)在你学过的特殊四边形中,写出两种勾股四边形的名称;(2)如图,将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE,连接AD,DC,CE.已知∠DCB=30°.①求证:△BCE是等边三角形.②求证:DC2+BC2=AC2,即四边形ABCD是勾股四边形.

精选ppt解析(1)正方形、矩形、直角梯形.(任选两个均可)

(2分)(2)证明:①∵△ABC≌△DBE,∴BC=BE.

(4分)∵∠CBE=60°,∴△BCE是等边三角形.

(5分)②∵△ABC≌△DBE,∴AC=DE.

(6分)∵△BCE是等边三角形,∴BC=CE,∠BCE=60°.

(7分)∵∠DCB=30°,∴∠DCE=90°.

(8分)∴在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2,∴DC2+BC2=AC2,

(9分)即四边形ABCD是勾股四边形.

(10分)精选ppt8.(2014浙江温州,22,8分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积

法”给了小聪以灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时,都可以用

“面积法”来证明.下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.图1证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=

b2+

ab,又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=

c2+

a(b-a),∴

b2+

ab=

c2+

a(b-a).∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.精选ppt将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2.证明:连接

.∵S五边形ACBED=

,又∵S五边形ACBED=

,∴

.∴a2+b2=c2.图2证明连接BD,过点B作DE边上的高BF,则BF=b-a,∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=

ab+

b2+

ab,又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=

ab+

c2+

a(b-a),∴

ab+

b2+

ab=

ab+

c2+

a(b-a),∴a2+b2=c2.评析本题主要考查了勾股定理的证明,表示出五边形的面积是解题关键.精选ppt考点二

锐角三角函数1.(2018陕西,6,3分)如图,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平

分线交AD于点E,则AE的长为

()

A.2

B.3

C.

D.

答案

D∵AC=8,∠C=45°,AD⊥BC,∴AD=ACsin45°=4

,过点E作EF⊥AB于点F,∵BE是∠ABC的平分线,∴DE=EF,∵∠ABC=60°,AD⊥BC,∴∠BAE=30°,在Rt△AEF中,EF=

AE,又∵AD=4

,DE=EF,∴AE=

AD=

,故选D.思路分析

首先利用AC的长及∠C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及直角三角

形中30度角的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.精选ppt2.(2017山东滨州,7,3分)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠ABC=30°,点D是CB延长线上的一点,且

BD=BA,则tan∠DAC的值为

()

A.2+

B.2

C.3+

D.3

答案

A设AC=a,则AC=

=2a,BC=

=

a,∴BD=AB=2a,∴tan∠DAC=

=2+

.精选ppt3.(2016广东,8,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,3),那么cosα的值是

()

A.

B.

C.

D.

精选ppt答案

D过点A作AB垂直x轴于B,则AB=3,OB=4.由勾股定理得OA=5.∴cosα=

=

.故选D.

精选ppt4.(2015甘肃兰州,4,4分)如图,△ABC中,∠B=90°,BC=2AB,则cosA=

()

A.

B.

C.

D.

答案

D设AB=k(k>0),则BC=2k,∵∠B=90°,∴AC=

=

k,∴cosA=

=

=

,故选D.精选ppt5.(2014广西南宁,11,3分)如图,在▱ABCD中,点E是AD的中点,延长BC到点F,使CF∶BC=1∶2,

连接DF,EC.若AB=5,AD=8,sinB=

,则DF的长等于

()

A.

B.

C.

D.2

答案

C∵CF∶BC=1∶2,AD=BC=8,∴BF=8+4=12.过D作DG⊥BF,交BF于点G.∵AB∥CD,∴∠B=∠DCF,∴sinB=sin∠DCF=

.在Rt△DCG中,∵CD=5,∴DG=4,CG=3,∴FG=BF-BG=12-(8+3)=1,∴DF=

=

=

.评析本题主要考查了平行四边形、勾股定理、锐角三角函数等相关知识的综合应用,解题

关键是通过作平行四边形的高构造直角三角形,巧妙利用已知条件进行转化,属较难题.精选ppt6.(2018黑龙江齐齐哈尔,16,3分)四边形ABCD中,BD是对角线,∠ABC=90°,tan∠ABD=

,AB=20,BC=10,AD=13,则线段CD=

.答案

或17解析如图1,作AE⊥直线BD于点E,CF⊥直线BD于点F,

图1∵∠ABD+∠DBC=90°,∠BCF+∠DBC=90°,∴∠ABD=∠BCF,∵tan∠ABD=

,∴tan∠BCF=

.在Rt△AEB中,设AE=3x,BE=4x,则(3x)2+(4x)2=202,解得x=4,精选ppt∴AE=12,BE=16,在Rt△BCF中,设BF=3y,CF=4y,则(3y)2+(4y)2=102,解得y=2,∴BF=6,CF=8,∵在Rt△ADE中,DE=

=5,∴BD=BE-DE=11,∴FD=BD-BF=5,∴在Rt△DCF中,CD=

=

.如图2,同理,BE=16,ED=5,BF=6,CF=8.∴BD=BE+ED=21,图2∴FD=BD-BF=15,∴在Rt△DCF中,CD=

=17.综上所述,线段CD的长为

或17.解题关键

考虑问题要全面,正确画出图形,通过作垂线,构造直角三角形,然后利用勾股定理

求出线段BD、FD的长度是关键.精选ppt7.(2017山东烟台,14,3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=

,则sin

=

.答案

解析在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=

,∴sinA=

,∴∠A=60°,∴sin

=

.8.(2016江苏盐城,17,3分)已知△ABC中,tanB=

,BC=6,过点A作BC边上的高,垂足为点D,且满足BD∶CD=2∶1,则△ABC面积的所有可能值为

.答案8或24精选ppt解析如图1所示:∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=4,

图1∵AD⊥BC,tanB=

,∴

=

,∴AD=

BD=

,∴S△ABC=

BC·AD=

×6×

=8;如图2所示:∵BC=6,BD∶CD=2∶1,∴BD=12,∵AD⊥BC,tanB=

,∴

=

,∴AD=

BD=8,∴S△ABC=

BC·AD=

×6×8=24.综上,△ABC面积的所有可能值为8或24.图2精选ppt考点三

解直角三角形1.(2017浙江温州,7,4分)如图,一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米,已知cosα=

,则小车上升的高度是

()

A.5米

B.6米

C.6.5米

D.12米答案

A因为cosα=

,且小车沿斜坡向上行驶13米,所以小车水平向前移动了13×

=12米,由勾股定理得小车上升的高度是5米.故选A.精选ppt2.(2017重庆A卷,11,4分)如图,小王在长江边某瞭望台D处,测得江面上的渔船A的俯角为40°,若

DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1∶0.75,坡长BC=10米,则此时AB的长

约为

()(参考数据:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)

A.5.1米

B.6.3米

C.7.1米

D.9.2米精选ppt答案

A延长DE交AB于G,作CF⊥AB交AB于点F,

在Rt△BCF中,设CF=4x米,则BF=3x米,∵BF2+CF2=BC2,∴(3x)2+(4x)2=102.∴x=2(负值舍去).∴CF=8米,BF=6米.∵在矩形FGEC中,FG=CE=2米,EG=CF=8米,∴BG=BF+FG=8米,DG=DE+EG=11米.∵DH∥AB,∴∠DAB=∠HDA=40°.∵在Rt△AGD中,AG=

≈

≈13.1米,∴AB=AG-BG=13.1-8=5.1米.故选A.思路点拨

通过作垂线,构造直角三角形,用锐角三角函数解决问题.精选ppt3.(2016湖南长沙,11,3分)如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°,看这栋楼底部C处的俯角为60°,热气球A处与楼的水平距离为120m,则这栋楼的高度为

()A.160

mB.120

mC.300m

D.160

m答案

A设AD⊥BC于点D,由题意得AD=120m,在Rt△ABD中,∵∠BAD=30°,∴BD=AD·tan∠BAD=120·tan30°=120×

=40

(m).在Rt△ACD中,∵∠CAD=60°,∴CD=AD·tan∠CAD=120·tan60°=120×

=120

(m).∴BC=BD+CD=40

+120

=160

(m),故选A.评析本题考查了解直角三角形,解答本题的关键是构造直角三角形,利用锐角三角函数求解.精选ppt4.(2015四川绵阳,10,3分)如图,要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯,路灯的灯臂CD长2

米,且与灯柱BC成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直.当灯罩的轴线

DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳.此时,路灯的灯柱BC高度应该设计为

()

A.(11-2

)米

B.(11

-2

)米C.(11-2

)米

D.(11

-4)米答案

D延长BC、OD交于点E,∵CD⊥OD,∠DCB=120°,∴∠E=30°,∵∠B=90°,OB=22×

=11米,∴EB=11

米,在Rt△DCE中,CE=2DC=4米.∴BC=EB-CE=(11

-4)米,故选D.精选ppt5.(2017江苏苏州,17,3分)如图,在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头,观光岛屿C在码

头A北偏东60°的方向,在码头B北偏西45°的方向,AC=4km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿

CA回到码头A或沿CB回到码头B,设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2,若回到A、B所用

时间相等,则

=

(结果保留根号).

答案

解析过点C作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中,CD=

AC=2km,在Rt△CDB中,CB=

CD=2

km,因为回到A、B所用时间相等,所以

=

=

=

.精选ppt6.(2016湖北十堰,15,3分)在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EF∥

MN,小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向,然后沿河岸走了30米,

到达B处,测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向,此时,其他同学测得CD=10米.根据这些数据

求出河的宽度为

米.(结果保留根号)

答案(30+10

)解析如图,作BH⊥EF,CK⊥MN,垂足分别为H、K,则四边形BHCK是矩形,设CK=HB=x,∵∠CKA=90°,∠CAK=45°,∴∠CAK=∠ACK=45°,∴AK=CK=x,BK=HC=AK-AB=x-30,精选ppt∴HD=x-30+10=x-20,在Rt△BHD中,∵∠BHD=90°,∠HBD=30°,∴tan30°=

,∴

=

,解得x=30+10

.∴河的宽度为(30+10

)米.7.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆

CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的

F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB=∠FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°,

平面镜E的俯角为45°,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数)(参考数据:tan39.3°≈0.82,tan84.3°≈10.02)精选ppt解析解法一:由题意知,∠AEB=∠FED=45°,∴∠AEF=90°.在Rt△AEF中,

=tan∠AFE=tan84.3°,在△ABE和△FDE中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED,∴△ABE∽△FDE,∴

=

=tan84.3°,∴AB=FDtan84.3°≈1.8×10.02=18.036≈18(米).答:旗杆AB的高度约为18米.

(10分)解法二:作FG⊥AB于点G,精选ppt由题意知,△ABE和△FDE均为等腰直角三角形,∴AB=BE,DE=FD=1.8,∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在Rt△AFG中,

=tan∠AFG=tan39.3°,即

=tan39.3°,解得AB=18.2≈18(米).答:旗杆AB的高度约为18米.

(10分)思路分析

思路一:由题意可确定∠AEF=90°,从而可推出△ABE∽△FDE,最后由相似三角形

中对应边的比相等求解;思路二:作FG⊥AB于点G,由题意可推出△ABE和△FDE均为等腰直

角三角形,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.精选ppt8.(2018山西,19,8分)祥云桥位于省城太原南部,该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成,全桥共设13对直线型斜拉索,

造型新颖,是“三晋大地”的一种象征.某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶

端到桥面的距离”作为一项课题活动,他们制订了测量方案,并利用课余时间借助该桥斜拉索

完成了实地测量.测量结果如下表:精选ppt项目内容课题测量斜拉索顶端到桥面的距离测量示意图

说明:两侧最长斜拉索AC,BC相交于点C,分别与桥面交于A,B两点,且点A,B,C在同一竖直平面内测量数据∠A的度数∠B的度数AB的长度38°28°234米……(1)请帮助该小组根据上表中的测量数据,求斜拉索端点C到AB的距离(参考数据:sin38°≈0.6,

cos38°≈0.8,tan38°≈0.8,sin28°≈0.5,cos28°≈0.9,tan28°≈0.5);(2)该小组要写出一份完整的课题活动报告,除上表的项目外,你认为还需要补充哪些项目(写

出一个即可).精选ppt解析(1)如图,过点C作CD⊥AB于点D.

(1分)

设CD=x米,在Rt△ADC中,∠ADC=90°,∠A=38°.∵tan38°=

,∴AD=

≈

=

x.

(2分)在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠B=28°.∵tan28°=

,∴BD=

≈

=2x.

(3分)∵AD+BD=AB=234,∴

x+2x=234.

(5分)解得x=72.

(6分)答:斜拉索端点C到AB的距离为72米.

(7分)(2)答案不唯一,还需要补充的项目可为测量工具,计算过程,人员分工,指导教师,活动感受等.

(8分)精选ppt9.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度

i=1∶3(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的

仰角为33°,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用

含非特殊角的三角函数和根式表示即可)

精选ppt解析过点D作DH⊥BC,垂足为H.∵斜坡BD的坡度i=1∶3,∴DH∶BH=1∶3.在Rt△BDH中,BD=600,∴DH2+(3DH)2=6002,∴DH=60

,∴BH=180

.设AE=x米,在Rt△ADE中,∠ADE=45°,∴DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,∴HC=x,EC=60

,在Rt△ABC中,tan33°=

=

,∴x=

,∴AC=AE+EC=

+60

=

.答:山顶A到地面BC的高度为

米.精选ppt10.(2017江西,17,6分)如图1,研究发现,科学使用电脑时,望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为

20°,而当手指接触键盘时,肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图,其中视

线AB水平,且与屏幕BC垂直.(1)若屏幕上下宽BC=20cm,科学使用电脑时,求眼睛与屏幕的最短距离AB的长;(2)若肩膀到水平地面的距离DG=100cm,上臂DE=30cm,下臂EF水平放置在键盘上,其到地面

的距离FH=72cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°.

参考数据:sin69°≈

,cos21°≈

,tan20°≈

,tan43°≈

,所有结果精确到个位

精选ppt解析(1)如图,∵AB⊥BC,∴∠B=90°.在Rt△ABC中,α=20°,AB=

≈20÷

=55(cm).

(3分)(2)如图,延长FE交DG于点I,∵DG⊥GH,FH⊥GH,EF∥GH,∴IE⊥DG,∴四边形GHFI是矩形,∴IG=FH,∴DI=DG-FH=100-72=28(cm).

(4分)在Rt△DEI中,sin∠DEI=

=

=

,∴∠DEI≈69°.

(5分)∴β=180°-69°=111°≠100°.∴此时β不符合科学要求的100°.

(6分)精选ppt11.(2016湖北鄂州,21,9分)为了维护海洋权益,新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度.

一天,我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻,同时发现一艘不明国籍的船

只停在C处海域.如图所示,AB=60(

+

)海里,在B处测得C在北偏东45°的方向上,在A处测得C在北偏西30°的方向上,在海岸线AB上有一灯塔D,测得AD=120(

-

)海里.(1)分别求出A与C及B与C的距离AC,BC.(结果保留根号);(2)已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群,我在A处海监船沿AC前往C处盘查,途中有无触

礁的危险?(参考数据:

=1.41,

=1.73,

=2.45)

精选ppt解析(1)过C作CE⊥AB于E,设AE=x海里,

则在Rt△ACE中,∠CAE=60°,则CE=

x海里,AC=2x海里.在Rt△BCE中,∠CBE=45°,则BE=CE=

x海里,BC=

x海里,由AB=AE+BE,可得x+

x=60(

+

),解得x=60

,所以AC=120

海里,BC=120

海里.精选ppt(2)过D作DF⊥AC于F,

在Rt△AFD中,DF=ADsin60°=

AD,∴DF=

×120(

-

)=60(3

-

)(海里).∵60(3

-

)=106.8>100,∴无触礁危险.精选ppt12.(2016山西,21,10分)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国

普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑

角钢,太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同,均为300cm,AB的倾斜角为30°,BE=CA=50cm,

支撑角钢CD,EF与底座地基台面接触点分别为D,F,CD垂直于地面,FE⊥AB于点E.两个底座地

基高度相同(即点D,F到地面的垂直距离相同),均为30cm,点A到地面的垂直距离为50cm,求支

撑角钢CD和EF的长度各是多少cm(结果保留根号).

精选ppt解析如图,设G为射线AG与线段CD的交点.则∠CAG=30°.在Rt△ACG中,CG=AC·sin30°=50×

=25(cm).由题意,得GD=50-30=20(cm),∴CD=CG+GD=25+20=45(cm).连