2023版高中数学第三章概率3.2古典概型学案新人教B版必修3

3.2古典概型1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型.(难点)2.会用列举法求古典概型的概率.(重点)3.应用古典概型的概率计算公式求复杂事件的概率.(难点)[根底·初探]教材整理1古典概型阅读教材P102～P103“例1〞以上局部，完成以下问题.1.古典概型(1)古典概型的概念：同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的根本领件；②等可能性：每个根本领件发生的可能性是均等的.(2)概率的古典定义：在根本领件总数为n的古典概型中，①每个根本领件发生的概率为eq\f(1,n)；②如果随机事件A包含的根本领件数为m，由互斥事件的概率加法公式可得P(A)＝eq\f(m,n)，所以在古典概型中P(A)＝eq\f(事件A包含的根本领件数,试验的根本领件总数)，这一定义称为概率的古典定义.1.判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)假设一次试验的结果所包含的根本领件的个数为有限个，那么该试验符合古典概型.()(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上〞是根本领件.()(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型.()(4)一个古典概型的根本领件数为n，那么每一个根本领件出现的概率都是eq\f(1,n).()【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)【解析】根本领件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).【答案】C教材整理2概率的一般加法公式(选学)阅读教材P106～P107，完成以下问题.1.事件A与B的交(或积)：由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB).2.设A，B是Ω的两个事件，那么有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，这就是概率的一般加法公式.A，B是两个事件，且P(A∪B)＝0.2，P(A)＝P(B)＝0.3，那么P(AB)＝________.【解析】由概率的一般加法公式P(AB)＝－P(A∪B)＋P(A)＋P(B)＝0.3＋0.3－0.2＝0.4.【答案】0.4[小组合作型]根本领件和古典概型的判断(1)抛掷一枚骰子，以下不是根本领件的是()A.向上的点数是奇数B.向上的点数是3C.向上的点数是4D.向上的点数是6(2)以下是古典概型的是()A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为根本领件B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为根本领件C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D.抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止【精彩点拨】结合根本领件及古典概型的定义进行判断，根本领件是最小的随机事件，而古典概型具有两个特征——有限性和等可能性.【尝试解答】(1)向上的点数是奇数包含三个根本领件：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，那么A项不是根本领件，B，C，D项均是根本领件.应选A.(2)A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的根本领件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中根本领件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.【答案】(1)A(2)C1.根本领件具有以下特点：①不可能再分为更小的随机事件；②两个根本领件不可能同时发生.2.判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可.[再练一题]1.以下试验是古典概型的为________.①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小相等；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.【解析】①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.【答案】①②④根本领件的计数问题有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出以下事件所包含的全部根本领件：(1)试验的根本领件；(2)事件“朝下点数之和大于3”；(3)事件“朝下点数相等〞；(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.【精彩点拨】根据事件的定义，按照一定的规那么找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可.【尝试解答】(1)这个试验的根本领件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个根本领件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).(3)事件“朝下点数相等〞包含以下4个根本领件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个根本领件：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4).1.在求根本领件时，一定要按规律去写，这样不容易漏写.2.确定根本领件是否与顺序有关.3.写根本领件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法.[再练一题]2.列出以下各试验中的根本领件，并指出根本领件的个数(不考虑先后顺序).(1)从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验.【导学号：00732087】【解】(1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即根本领件.分别是(a，b)，(a，c)，(b，c)共3个.(2)从袋中取两个球的等可能结果为：球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，球3和球5，球4和球5.故共有10个根本领件.简单的古典概型的概率计算袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球.(1)写出所有不同的结果；(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(3)求至少摸出1个黑球的概率.【精彩点拨】(1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的根本领件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的根本领件，利用古典概型的概率计算公式求出.【尝试解答】(1)用树状图表示所有的结果为：所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球〞为事件A，那么事件A包含的根本领件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个根本领件，所以P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6，即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.(3)记“至少摸出1个黑球〞为事件B，那么事件B包含的根本领件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个根本领件，所以P(B)＝eq\f(7,10)＝0.7，即至少摸出1个黑球的概率为0.7.1.求古典概型概率的计算步骤：(1)确定根本领件的总数n；(2)确定事件A包含的根本领件的个数m；(3)计算事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).2.解决古典概型问题的根本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率.[再练一题]3.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求根本领件的个数，写出所有根本领件的全集，并计算以下事件的概率：(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球.【解】所有的根本领件个数n＝8个.全集I＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}.(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色〞.∵A中含有根本领件个数为m＝6，∴P(A)＝eq\f(m,n)＝eq\f(6,8)＝0.75.(2)记事件B为“三次颜色全相同〞.∵B中含根本领件个数为m＝2，∴P(B)＝eq\f(m,n)＝eq\f(2,8)＝0.25.(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球〞.∵C中含有根本领件个数为m＝4，∴P(C)＝eq\f(4,8)＝0.5.概率的一般加法公式(选学)甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.【精彩点拨】由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的，故此试验是古典概型，可以利用概率的一般加法公式求解.【尝试解答】设事件A为“甲跑第一棒〞，事件B为“乙跑第四棒〞，那么P(A)＝eq\f(1,4)，P(B)＝eq\f(1,4).记甲跑第x棒，乙跑第y棒，那么结果可记为(x，y)，共有12种等可能结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能：(1,4)，故P(A∩B)＝eq\f(1,12).所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)－eq\f(1,12)＝eq\f(5,12).概率的一般加法公式与概率的加法公式在限制条件上的区别为：1在公式PA∪B＝PA＋PB中，事件A、B是互斥事件；2在公式PA∪B＝PA＋PB－PA∩B中，事件A、B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助Venn图直观理解.[再练一题]4.在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果〞，记事件B为“该公司在进行短期销售预测〞，求P(A)，P(B)，P(A∪B).【解】P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又P(A∩B)＝30%＝0.3，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.[探究共研型]根本领件的特征探究1为什么说根本领件是彼此互斥的？【提示】根本领件是试验的最根本结果，这些根本结果不能用其他结果加以描述.在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个根本领件，如掷骰子试验中，一次试验只会出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即根本领件不可能同时发生，因而根本领件是彼此互斥的，但其他试验结果都可以用根本领件加以描述.探究2根本领件的表示方法有哪些？【提示】写出所有的根本领件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法，但不管采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏.古典概型的特征探究3古典概型有何特点？何为非古典概型？【提示】一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型.以下三类试验都不是古典概型：(1)根本领件个数有限，但非等可能；(2)根本领件个数无限，但等可能；(3)根本领件个数无限，也不等可能.探究4举例说明古典概型的概率与模型选择无关？【提示】以“甲、乙、丙三位同学站成一排，计算甲站在中间的概率〞为例，假设从三个同学的站位顺序来看，那么共有“甲乙丙〞、“甲丙乙〞、“乙甲丙〞、“乙丙甲〞、“丙甲乙〞、“丙乙甲〞六种结果，其中“甲站在中间〞包含“乙甲丙〞、“丙甲乙〞两个根本领件，因此所求事件的概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)；假设仅从甲的站位来看，那么只有“甲站1号位〞、“甲站2号位〞、“甲站3号位〞三种结果，其中“甲站在中间〞只有“甲站2号位〞这一种情况，因此所求概率为P＝eq\f(1,3).先后抛掷两枚大小相同的骰子.(1)求点数之和出现7点的概率；(2)求出现两个4点的概率；(3)求点数之和能被3整除的概率.【精彩点拨】明确先后掷两枚骰子的根本领件总数，然后用古典概型概率计算公式求解，可借图来确定根本领件情况.【尝试解答】如下图，从图中容易看出根本领件与所描点一一对应，共36种.(1)记“点数之和出现7点〞为事件A，从图中可以看出，事件A包含的根本领件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).故P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)记“出现两个4点〞为事件B，从图中可以看出，事件B包含的根本领件只有1个，即(4,4).故P(B)＝eq\f(1,36).(3)记“点数之和能被3整除〞为事件C，那么事件C包含的根本领件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).故P(C)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).1.在求概率时，假设事件可以表示成有序数对的形式，那么可以把全体根本领件用平面直角坐标系中的点表示，以便我们准确地找出某事件所包含的根本领件个数.2.数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便.[再练一题]5.同时抛掷两颗大小完全相同的骰子，求：(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率.【解】如图，根本领件共有36种.(1)记“点数之和是4的倍数〞的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的根本领件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P(A)＝eq\f(1,4).(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的根本领件共有20个.即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3).所以P(B)＝eq\f(5,9).1.同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，那么事件A包含的根本领件数是()A.3B.4C.5D.6【解析】事件A包含的根本领件有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1).【答案】D2.以下关于古典概型的说法中正确的选项是()①试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个根本领件出现的可能性相等；④根本领件的总数为n，随机事件A假设包含k个根本领件，那么P(A)＝eq\f(k,n).A.②④B.①③④C.①④D.③④【解析】根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确.【答案】B3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.1【解析】从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝eq\f(2,3).【答案】C4.据报道：2023年我国高校毕业生为749万人，创历史新高，就业压力进一步加