2022年新高考数学总复习：柱、锥、台和球的侧面积和体积

2022年新高考数学总复习：柱、锥、台和球的侧面积和体积

侧面积体积

圆柱S侧=2兀尸〃

7c

忆=；s底%=gah几户yp一户

圆锥SWJ~Ttfl

r=；（S上+S上S下）•〃=；兀（亦+，专+"2）〃

圆台S侧=兀（/」+r2）/

直棱柱S侧=ghV=_Sj^h_

c1p=gs底ft

正棱锥S侧=尹

正棱台S侧=2（c+c'）h'i.+5E+^SI.-5F）/J

4

/=§7依

球S球面=4兀A、

»例1（1）（2021•北京模拟）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是

A.2+小

C.2+24

（2）（2021•安徽江南十校联考）已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边

长为1,则该几何体的表面积为（B）

A.78—竽

D.45■-竽

C.78-TT

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（3）（理）（2021•山东潍坊期末改编）等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一

边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（1+也）兀或也口.

（文）（2021•内蒙古联考山东百所名校联考）将一个斜边长为4的等腰直角三角形以其一直

角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为8（1+、1）兀.

［解析］（1）由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三

棱锥（S/_L平面/8C）,如图所不，由三视图中的数据可计算得SA/8cX2=2,S&SAC=

g义小乂1=坐，SAS"=^X小X1=乎，SASBC=；X2义小=小，所以S表国秋=2+24.故选

C.

n:~।

□=

故选B.

（3）（理）若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为兀+也兀；若绕斜边旋转

一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为也兀，故填（1+啦）兀或也兀

（文）由题意易知几何体是底面半径为2啦，母线长为4的圆锥，故其表面积为（2啦产无

+?tX2gX4=8兀+8&兀=8（1+也）兀

名抑点被

空间几何体表面积的求法

（1）旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用.

（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.

（3）已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再

根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积.

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〔变式训练1〕

（2020•河南开封二模）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出

［解析］由三视图得几何体如图所示，该几何体是一个三棱锥，底面是一个底和高均为

2的等腰三角形，一个侧面是一个底和高均为2的等腰三角形,

另外两个侧面是腰长为47=/8=百乔=小,

底边/。长为2啦的等腰三角形，

其高为叱下)2—(6)2=小,

故其表面积为S=2X1X22+2X|X2V2XV3=4+2V6.

故选C.

»例2（1）（2021•浙江金色联盟百校联考）一个空间几何体的三视图（单位：cm）如图

所示，则该几何体的体积为（单位：cnP）.（人）

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n.1-兀J

A-6+3B.J+6

八兀I1c兀I1

C.%+%D.3+3

（2）（2021・云南师大附中月考）如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几

何体的体积是（D）

（3）（2021・湖北武汉部分学校质检）某圆锥母线长为4,其侧面展开图为半圆面，则该圆锥

体积为呼.

—2.----

（4）（2020•江苏省南通市通州区）如图，在正四棱柱ABCD-A向CD中，P是侧棱CG

上一点，且GP=2PC设三棱锥p—的体积为匕,正四棱柱45CD—小以。。］的体

1

积为匕则2的值为=

V

-_6

［解析］（1）由三视图可知该几何体是由底面半径为1cm,高为1cm的半个圆锥和三棱

锥S-ABC组成的，如图，三棱锥的高为SO=1cm,底面△48C中，AB=2cm,AC—1cm,

ABLAC.故其体积/=品3无乂12乂1+33义2><1乂1=e+；）加3.故选人.

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n:~i

□=i

(2)由题意三视图对应的几何体如图所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个

三棱锥的体积，

即片=23—2X；xg><2X2X2=号，故选D.

(3)该圆锥母线为4,底面半径为2,高为2小，

XKX22X2小=8*兀

(4)设正四棱柱一小81Gz)|的底面边长/B=BC=a,高AA、=b,

=

则VABCD-A\B\C\D\S国边形力BCQ火力小

2

VP-DiDB=VB-DlDP=^SADiDPBC=^X^ab-a=^ab,

.一VP—DQB_」匕」

"VABCD-A\B\C\D\~(>'1V~6-

［引申］若将本例Q)中的俯视图改为耳，则该几何体的体积为表面积为

［解析］几何体为如图所示的正三棱锥(棱长都为2啦).

48

K=8—4X-=~,

s=4X当X(2何=8小.

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名师直被

求体积的常用方法

直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算

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首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把

割补法不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，

便于计算

一选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥

等体积法

的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换

注：若以三视图的形式给出的几何体问题，应先得到直观图，再求解.

〔变式训练2〕

（1）（2020•海南）已知正方体/BCD—小田GA的棱长为2,"、N分别为8以、/8的中点，

则三棱锥—NMDi的体积为｛.

（2）（2021・开封模拟）如图所示，正三棱柱/8C—481G的底面边长为2,侧棱长为小，D

为8c的中点，则三棱锥/-80G的体积为（C）

（3）（2017•浙江）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）

（4）（2021・浙北四校模拟）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单

位：53）是（B）

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A.8

C.16D.16兀

［解析］(1)如图，•・•正方体431GA的棱长为2,

M、N分别为BB\、45的中点,

.".Sw“=3X1X1=；,

；.VA-NMDi=VDi—AMN=gx；X2=g,

故答案为今

(2)如题图，在正△/BC