2022年暑假初升高数学第17讲：均值不等式的应用（学生版）

2022年暑假初升高数学第17讲：均值

不等式的应用

学习目标核心素养

1.熟练掌握利用均值不等式求函数1.通过均值不等式求最值，提升数学运

的最值问题.（重点）算素养.

2.会用均值不等式求解实际应用2.借助均值不等式在实际问题中的应

题.（难点）用，培养数学建模素养.

k新知初探广

已知X,y都是正数.

V2

（1）若x+y=S（和为定值），则当x=y时，积孙取得最大值了

（2）若肛=p（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2⑷.

上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大.

E初试

14

1.已知〃>0,b>0,a+b=2,则丁='十］的最小值是（）

79

A，2B.4C，2D.5

2

2.若QO,则x+J的最小值是.

3.设%,y£N*满足x+y=20,则孙的最大值为

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合作探究。提素养

HEZUOTANJIUTISUYANG

4若型1利用均值不等式求最值

【例1】(1)已知x<[,求y=4x—2+1;三的最大值；

(2)已知Oa<3，求丁=5(1—2x)的最大值.

规律方法

利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、

二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配

凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，

用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后

面第三章函数的基本性质的知识解决.

1.(1)已知x>0,求函数y=H>5x4的最小值;

(2)已知0<号，求函数y=x(l—3x)的最大值.

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4善型2利用均值不等式求条件最值

8i

【例2】已知x>0,y>0,且满足；+：=1.求x+2）'的最小值.

入y

［母题探究］

Q1Q1

若把"2+2=1"改为“x+2y=l"，其他条件不变，求的最小值.

xyxy

规律方法

1.本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出

满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形.

2.常见的变形技巧有：（1）配凑系数；（2）变符号；（3）拆补项.常见形式有y

=奴+§型和y=ox（Z?一"）型.

@跟踪训I练

2.已知〃>0,匕>0,a+2h=lf求的最小值.

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、券型3利用均值不等式解决实际问题

【例3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原

有的墙，其他各面用钢筋网围成.现有36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、

宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

规律方法

在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：

(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；

(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;

(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；

(4)正确写出答案.

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3.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层,

每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为何九210）层，则每平方米的

平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,

该楼房应建为多少层？注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均

购地总费用

购地费用=

建筑总面积

r~a11课堂小结m

1.利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，

三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通

过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情

境.

2.不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使

用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.

当堂达标。国亶基

DANGTAZGDABIACGUSHUAZGJI

1.思考辨析

（1）两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值.（）

(2)若。>0,b>0且a+b=4,贝IabW4.()

⑶当x>\时，函数y=x+T122x

所以函数y的最小值是

X—1

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2.若实数a,b满足a+A=2,则帅的最大值为（）

A.1B.272C.2D.4

3.已知0<r<l,则x（3—3x）取