2023届陕西省咸阳市实验中学高三上学期第四次模拟考试理科数学试题（WORD版）

04/1203/12/陕西省实验中学高2023届高三第四次模拟考试理科数学一、单项选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知i是虚数单位，复数，则复数的虚部为（???????）A． B． C． D．2．已知集合，，则（???????）A． B． C． D．3．的展开式中的系数为A．10 B．20 C．40 D．804．已知，，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（???????）A．相交 B．外切 C．内切 D．相离5．若，则（???????）A． B． C． D．6．如图，在正方体中，点E，F分别是棱，的中点，点G是棱的中点，则过线段AG且平行于平面的截而图形为（???????）A．等腰梯形 B．三角形 C．正方形 D．矩形7．函数的图象大致是（???????）A． B．C． D．8．某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：mg/L）与时间（单位：h）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤60%的污染物需要的时间最接近（???????）（参考数据：）A．3h B．4h C．5h D．6h9．在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（???????）A． B． C． D．10．某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为（???????）A．24 B．36 C．60 D．24011．已知双曲线C:，过右焦点F作C的一条渐近线的垂线l，垂足为点A，与C的另一条渐近线交于点B，若，则C的离心率为（??????????）A．2 B． C． D．12．已知，其中为自然对数的底数，则（???????）A． B．C． D．二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13．若，则__________．14．若直线是曲线和的公切线，则实数的值是______.15．已知抛物线上有两动点，，线段的中点到轴距离的是2，则线段长度的最大值为______.16．中国古代数学名着《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为_________，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为________．三、解答题（本题共6道小题，共70分，写出必要的文字说明与演算步骤）17．某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了60名男生和60名女生，通过调查得到如下数据：60名女生中有10人课间经常进行体育活动，60名男生中有20人课间经常进行体育活动.(1)请补全列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联；课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计男女合计(2)以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取4人，记其中课间经常进行体育活动的人数为，求的分布列、数学期望和方差.附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中.18．已知是数列的前项和，已知目，(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.19．如图，在四棱锥中，，，，是棱的中点，且平面(1)证明：平面；(2)若，求二面角的正弦值.20．已知椭圆C：的离心率为，的面积为2.(I)求椭圆C的方程；(II)设M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q.求证:△BPQ为等腰三角形.21．已知函数的极值为．(1)求p的值，并求的单调区间；(2)若，证明：．选做题（22题，23题选做一题，多做或做错，按照第一题计分）22．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）．(1)写出曲线的普通方程；(2)设为曲线上的一点，将绕原点逆时针旋转得到．当运动时，求的轨迹．23．已知函数.(1)若，求函数的定义域；(2)若，求证:.08/1207/12/1．B2．C3．C4．B5．D6．A7．A8．B9．B10．C11．C12．B13．##0.514．115．516．????????##17．(1)表格见解析，有关联(2)分布列见解析，数学期望为1，方差为【分析】（1）计算卡方，根据独立性检验方法求解即可；（2）根据二项分布的分布列与数学期望和方差公式求解即可【详解】（1）零假设为：性别与课间经常进行体育活动相互独立，即性别与课间是否经常进行体育活动无关，依题意，列出列联表如下：课间不经常进行体育活动课间经常进行体育活动合计男402060女501060合计9030120，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为性别与课间是否经常进行体育活动有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05（2）由题意得，经常进行体育活动者的频率为，所以在本校中随机抽取1人为经常进行体育活动者的概率为，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4，由题意得，所以，，，，，，的分布列为：01234的数学期望为，的方差为.18．(1)，.(2)，其中.【分析】对于（1），先由可得表达式，再由，其中.可得的通项公式；对于（2），由（1）可得，则，据此可得数列的前项和.【详解】（1）由题，又由，.可得，.故.则当，时，.又时，，故数列的通项公式是，.（2）由（1）可知，，则.则当为偶数时，.当为奇数时，.综上：，其中.19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，，，证明故面，，得到答案.（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，得到平面法向量和平面法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.【详解】（1）取中点，连接，，，，面，面，故面，面，，面面，平面平面，平面平面，故.，，，，故，，是中点，故，，平面，故面，，故面.（2）如图所示以为轴建立空间直角坐标系，，，，，，，设平面法向量为，，取，，设平面法向量为，，取，，，设二面角的平面角为，.20．(I)；(II)证明见解析【解析】(I)运用椭圆离心率公式和三角形面积公式，结合的关系，解方程可得，从而得到椭圆方程(II)设，直线的直线方程为直线的直线方程为，联解求出点坐标，同理求出坐标，,，只需证明,利用作差法可证明.【详解】(I)由题意得，解得，故椭圆的方程为.(II)由题意得,设点，则有，又直线的直线方程为，直线的直线方程为，，解得，点的坐标为.又直线的直线方程为，直线的直线方程为.，解得，点的坐标为.，.，，，△BPQ为等腰三角形.【点睛】圆锥曲线中的几何证明问题多出现在解答题中，难度较大，多涉及线段或角相等以及位置关系的证明等.通常利用代数方法，即把要求证的等式或不等式用坐标形式表示出来，然后进行化简计算等进行证明21．(1)；单调减区间为，单调增区间为；(2)证明见解析.【分析】（1）根据极值点处导数为零，以及函数的极值，列出方程求得参数；再利用导数判断函数单调性即可；（2）构造函数，根据其单调性，通过证明，即可证明结果.【详解】（1）设的极值点为，，则，解得，，经检验，时满足题意．所以，，当时，，当时，，所以的单调减区间为，单调增区间为．（2）不妨设，因为，由（1）知，，．设函数，，则，所以在上单调递减，所以，即，所以，即．又，，所以，即．由，得，又，所以所以，即，得证．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数由函数极值求参数，以及利用导数求函数单调性和证明不等式；第二问处理的关键是如何逆向思考，得到构造的思路，属综合困难题.22．(1)(2)【分析】(1)由参数方程消去参数方程可得其普通方程；(2)设，则，将的直角坐标代入对应的直角坐标方程可得其极坐标，再将其化为直角坐标方程可得.【详解】（1）∵，∴曲线的普通方程为；（2）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设，则，则点的直角坐标为，∴∴，∴，即，∴点的轨迹方程为．23．(1