2023届河南省开封市高三第一次模拟考试理科数学试题

18/1817/18/开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A B. C. D.2.设命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，3.若是纯虚数，则复数可以是（）A. B. C. D.4.已知中，为边上一点，且，则（）A. B. C. D.5.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A.4 B.2 C. D.7.已知则x＋2y的最大值为（）A.2 B.3 C.5 D.68.设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知数列的前项和，若，则（）A.8 B.16 C.32 D.6410.已知点到点和点的距离之和为4，则（）A.有最大值1 B.有最大值4 C.有最小值1 D.有最小值11.如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；③直线与所成的角为；④直线与平面所成的角为．A.1 B.2 C.3 D.412.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数的一个零点为，则______．14.已知点，，为轴上一点，若，则______．15.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为______cm．16.在数列中，，．记是数列的前项和，则______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）若，求．18.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为．（1）求值；（2）记“星队”在两轮活动中猜对成语的总数为，求的分布列与期望．19.如图，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分别是，的中点，．（1）证明：平面；（2）求二面角余弦值．20.已知函数，．（1）若是上的单调递增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求在上的最小值；（3）证明：．21.如图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且．当滑标在滑槽内做往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处进行作图，当和时分别得到曲线和．如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．（1）求曲线和的方程；（2）已知直线与曲线相切，且与曲线交于A，B两点，记的面积为，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上一点的坐标．（1）将曲线参数方程化为普通方程；（2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A，B，以直线的斜率为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．［选修4—5：不等式选讲]（10分）23.已知函数．（1）当时，求的最小值；（2）若，时，对任意使得不等式恒成立，证明：．开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C2.设命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D3.若是纯虚数，则复数可以是（）A. B. C. D.【答案】D4.已知中，为边上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】A5.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】B6.如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等，则甲同学成绩的方差为（）A.4 B.2 C. D.【答案】B7.已知则x＋2y的最大值为（）A.2 B.3 C.5 D.6【答案】C8.设是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则满足的的取值范围是（）A B. C. D.【答案】D9.已知数列的前项和，若，则（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】C10.已知点到点和点的距离之和为4，则（）A.有最大值1 B.有最大值4 C.有最小值1 D.有最小值【答案】A11.如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（）①∥平面；②平面平面；③直线与所成的角为；④直线与平面所成的角为．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若函数的一个零点为，则______．【答案】14.已知点，，为轴上一点，若，则______．【答案】515.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为______cm．【答案】16.在数列中，，．记是数列的前项和，则______．【答案】三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.在中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求的值；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由三角形内角和的关系将代换，再由正弦定理将边化角，求得角A，B的关系，解出的值；（2）由第一问求得的的值，根据余弦定理公式展开列方程求解即可.【小问1详解】因为，所以，得，因为，由正弦定理，可得，又，所以，又因为A，B均为三角形内角，所以，即，又因为，即，即，又，得；【小问2详解】若，则，由（1）知，由余弦定理可得，即，所以或，当时，，则，即为等腰直角三角形，又因为，此时不满足题意，所以．18.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为．（1）求的值；（2）记“星队”在两轮活动中猜对成语总数为，求的分布列与期望．【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式，列式求解（2）猜对谜语的总数为0，,1，2，3，4，结合独立事件概率乘法公式，列举出这四种情况下的概率，即可列表求解.【小问1详解】“星队”在第一轮活动中猜对1个成语的概率为，所以，解得．【小问2详解】设表示事件“甲在两轮中猜对个成语”，表示事件“乙在两轮中猜对个成语”，根据独立性假定，得，，，，，，的可能取值为0，1，2，3，4，所以，，，，，的分布列如下表所示：01234．19.如图，是正三角形，在等腰梯形中，，．平面平面，M，N分别是，的中点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明平面平面，原题即得证；（2）取的中点，连接，．求出，取的中点，连接，以为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图所示．利用向量法求解.【小问1详解】解：取的中点，连接，，∵M，N分别是，的中点，∴，，又∵平面ABC，平面ABC，∴平面．又，∴，同理可得，平面．∵平面MND，平面MND，，∴平面平面．∵平面MND，∴平面．【小问2详解】取的中点，连接，．由已知得，∴是平行四边形，∴．∵是正三角形，∴，∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴．设，．在Rt中，由，解得，即，取的中点，连接，则，以为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图所示．则，，，，，，由已知易得，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则即取，则平面的一个法向量为∴，∵二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．20.已知函数，．（1）若是上的单调递增函数，求实数的取值范围；（2）当时，求在上的最小值；（3）证明：．【答案】（1）（2）0（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数法得单调递增等价于的恒成立问题；（2）由导数法求最值即可；（3）由（2）可得在上恒成立，由导数法证恒大于0，则，令，，，…，不等式左右累加即可证.【小问1详解】由已知可得：，即恒成立，又则有．【小问2详解】由已知可得：，，令，在上单调递减，又因为，，，所以存在使得，则有正负递增递减又有，，所以在上，则在上单调递增，所以最小值为．【小问3详解】由（2）可得在上恒成立，令，在上，所以单调递增且，所以，，从而当时，令，，，…，得到，，，…，，相加得：．21.如图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且．当滑标在滑槽内做往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处进行作图，当和时分别得到曲线和．如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．（1）求曲线和的方程；（2）已知直线与曲线相切，且与曲线交于A，B两点，记的面积为，证明：．【答案】（1），（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据，设，，，利用向量等式关系确定坐标转化关系，由，即得，按照坐标代换可得所满足的方程，最后取和，即可得曲线和的方程；（2）根据直线与曲线相切，且与曲线交于A，B两点，讨论直线的方程情况，按照面积公式分别求证即可.【小问1详解】解：由题意，，设，，，所以，，，由解得又因为，所以，则，将和分别代入，得，，【小问2详解】解：①直线斜率不存在时，，代入方程得，所以；②直线斜率存在时，设，与曲线相切，所以，即，联立可得，由得，所以，于是得，，因为所以，，综合①②可证，．（二）选考题：共10分．请考生在22~23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为曲线上一点的坐标．（1）将曲线的参数方程化为普通方程；（2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线交于点A，B，以直线的斜率为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程，并化为普通方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据曲线的参数方程为（为参数），消去参数求解；（2）设的斜率为，方程为，则的方程为：，分别与抛物线方程联立，求得A，B的坐标，再利用中点坐标求解.【小问1详解】解：因为曲线的参数方程为（为参数），消去参数可得：，将点代入可得，所以曲线的普通方程为：；【小问2详解】由