2023届江西省南昌二中等三校高三上学期1月第二次联考数学（理）试题

南昌市三校2023届高三上学期1月第二次联考数学试卷（理科）考试时长：120分钟试卷总分：150分一?选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）1.已知复数满足，则（）A.B.3C.D.2.若集合，集合，则等于（）A.B.C.D.3.已知正项等比数列满足为与的等比中项，则（）A.B.C.D.24.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.5.在等边中，为重心，是的中点，则（）A.B.C.D.6.若实数满足约束条件则的最大值为（）A.10B.3C.6D.7.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.8.函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位得到函数的图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（）A.函数的最小正周期为B.函数的一条对称轴为直线C.函数的一个对称中心坐标为D.再向左平移个单位得到的函数为偶函数9.钝角的内角的对边分别是，若，则的面积为（）A.B.C.D.或10.已知函数，对于实数，使成立的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.或11.已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.12.已知函数，若，则的取值范围为（）A.B.C.D.二?填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若向量，且，则实数的值是__________.14.抗击新冠疫情期间A，B，C，D共4名医学专家被分配到甲?乙?丙?丁四所医院指导抗疫工作，每所医院只去1人，其中专家A不去甲医院也不去乙医院，专家B与专家C不去甲医院也不去丁医院，如果专家B不去乙医院，则去丁医院的是专家__________.15.已知定义在实数集上的函数满足，且当时，，若，则的最小值为__________.16.已知，则__________.三?解答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17.已知各项为正数的数列的前项和为，若.（1）求数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证：.18.如图在四棱锥中，底面，且底面是平行四边形.已知是中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19.某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛.比赛规则如下：在A，B两个不同的地点投篮.先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在B处投篮两次，如果连续两次投中得3分，仅投中一次得1分，两次均没有投中得0分.小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p，在B处投篮投中的概率为.假设小明同学每次投篮的结果相互独立.（1）若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为，求p；（2）若，记小明同学一次比赛结束时的得分为X，求X的分布列及数列期望.20.已知椭圆，倾斜角为的直线过椭圆的左焦点和上顶点B，且（其中A为右顶点）.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，且，求实数m的取值范围.21.设，（1）当时，求证：对于任意；（2）设，对于定义域内的，有且仅有两个零点求证：对于任意满足题意的，.（二）选做题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）若直线的极坐标方程为，设，的交点为，求的面积.23.已知的最小值为.（1）求的值；（2）若正实数满足，求的最小值.南昌市三校2023届高三上学期1月第二次联考数学（理科）试卷参考答案及评分标准一?选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）序号123456789101112答案DCBBAABDCCBD二?填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）14.A14.A15.16.三?解答题（本题共5小题，每小题12分，共60分）17.【答案】（1）（2）证明见解析（1）当时，，解得；当时，由，得，两式相减可得，，又，，即是首项为，公差为的等差数列，因此，的通项公式为；（2）证明：由可知，所以，，因为恒成立，所以，又因为，所以单调递增，所以，综上可得.18.【答案】（1）证明见解析（2）（1）面，且，.∵是中点，所以.同理可证：.又面，面，，平面.∵面，∴平面平面.（2），.以A为原点，分别为x，y，z轴正方向建系，如图：则.设平面的法向量则，得，不妨取，则.由（1）得是平面的一个法向量，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.19.【答案】（1）（2）分布列见解析；（1）设小明在A处投篮为事件A，在处投篮分别为已知小明同学恰好投中2次，分三种情况A中中不中；A中不中中；A不中中中；其概率为：，解得：.（2）由题意可得得分的可能取值分别为，，，，；；；；.综上所述可得的分布列为5321020.【答案】（1）（2）（1）由题可知解得故椭圆的方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，设，，，由，，得，同理，当，时，得，所以，当直线l的斜率存在时，即时，设直线的方程为，联立消去y得.因为直线l与椭圆C交于不同的两点P?Q，所以，即①.设，则②，则，由，得③，③代入②得，化简整理得④，将④代入①得，化简得，解得或.综上，m的取值范围为.21.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（1）证明：当时，，令所以所以因为，所以所以在上单调递增所以所以对于任意，（2）由当时，当时，所以依题有且仅有2个零点，当，不满足题意所以在两段上各有一个零点或者在第二段上有两个零点.①两段上各有一个零点，令.则，得，得因此：令，恒成立，所以在单调递减.要证：即证：即证：即证：因为所以所以成立，因此，成立②若均在同一段：上，则必有所以对于任意满足题意的，.22.【答案】（1）（2）（1）已知圆，得，因为，所以为圆的极坐标方程.（2）方法一：代入，可得，解得或，∴，又因为半径，则