三角形中的边角关系命题与证明

单元测试(三)三角形中的边角关系、命题与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．题号12345678910答案DCADBCCBDA1．下列语句不是命题的是(D)A．两点之间线段最短 B．不平行的两条直线有一个交点C．同位角相等 D．如果x与y互为相反数，那么x与y的和等于0吗？2．下列长度的三条线段能组成三角形的是(C)A．2，2，7 B．4，12，16 C．3，5，6 D．2，3，53．如图，虚线部分是小刚作的辅助线，则你认为线段CD为(A)A．边AB上的高 B．边BC上的高C．边AC上的高 D．不是△ABC的高第3题图第7题图4．为了证明命题“任何偶数都是8的整数倍”是假命题，下列各数中可以作为反例的是(D)A．32 B．16 C．8 D．45．三角形的三个内角之比为2∶2∶5，则此三角形为(B)A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形6．已知a，b，c是△ABC的三条边长，则(a－b)2－c2的值是(C)A．正数 B．0 C．负数 D．无法确定7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠BDC等于(C)A．42° B．66° C．69° D．77°8．如图，将直角三角尺的直角顶点靠在直尺上，且斜边与这根直尺平行，那么在形成的这个图中与∠α互余的角共有(B)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第8题图第9题图第10题图9．如图，将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于(D)A．30° B．45° C．60° D．75°10．如图，在△ABC中，E，F分别在AB，AC上，则下列各式不能成立的是(A)A．∠5＝∠1＋∠4 B．∠2＝∠5－∠AC．∠BOC＝∠2＋∠6＋∠A D．∠1＝∠ABC＋∠4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图，图中x＝54．第11题图第13题图第14题图12．一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边长是7或9．13．如图所示，在△ABC中，BC边不动，点A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越来越大．若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的数量关系是α＝β＋γ.14．如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，DC＝2BD，点E是AC的中点，S△ABC＝15cm2，则S△ADE＝5cm2.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．指出下列命题的条件与结论．(1)等角的余角相等；(2)一次函数的图象是一条直线．解：(1)条件：两个角分别是另外两个相等的角的余角．结论：这两个角相等．(2)条件：一个函数是一次函数．结论：它的图象是一条直线．16．已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|；若a＝5，b＝4，c＝3，求这个式子的值．解：∵a，b，c是三角形的三边长，∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0.∴原式＝－a＋b＋c－b＋a＋c－c＋a＋b＝a＋b＋c.当a＝5，b＝4，c＝3时，原式＝5＋4＋3＝12.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，在△DBC中，BD⊥CD，BA平分∠DBC，∠BAC＝124°，求∠C的度数．解：在△ABD中，∠BAC＝∠D＋∠DBA.∵BD⊥CD，∴∠D＝90°.又∵∠BAC＝124°，∴∠DBA＝34°.∵BA平分∠DBC，∴∠DBC＝2∠DBA＝68°，∠C＝180°－(∠D＋∠DBC)＝22°.18．如图，D，E，F和A，B，C分别在同一直线上，若∠1＝∠2，∠ACE＝∠FDB.求证：∠CAF＝∠DFA.证明：设AF与EC的交点为H，∵∠1＝∠2，∠1＝∠AHC，∴∠2＝∠AHC.∴DB∥EC.∴∠ACE＝∠ABD.又∵∠ACE＝∠FDB，∴∠ABD＝∠FDB.∴DF∥AC.∴∠CAF＝∠DFA.五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．填写证明过程中的推理根据：如图所示，已知：∠ADE＝∠B，∠1＝∠2，FG⊥AB.求证：CD⊥AB.证明：∵FG⊥AB，∴∠5＝90°.(垂直定义)∵∠ADE＝∠B，∴DE∥BC.(同位角相等，两直线平行)∴∠1＝∠3.(两直线平行，内错角相等)又∵∠1＝∠2，(已知)∴∠2＝∠3.(等量代换)∴GF∥CD.(同位角相等，两直线平行)∴∠4＝∠5＝90°.(两直线平行，同位角相等)∴CD⊥AB.(垂直定义)20．(1)三角形内角和等于180°；(2)请证明以上命题．解：已知：如图，△ABC.求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.证明：过点A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C.(两直线平行，内错角相等)∵∠EAB＋∠BAC＋∠FAC＝180°，(平角定义)∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.(方法不唯一)六、(本题满分12分)21．如图，D，E是△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.证明：双向延长DE分别交AB，AC于点F，G.在△AFG中，AF＋AG＞FG，即AF＋AG＞DF＋DE＋EG；在△BDF中，BF＞BD－DF，同理CG＞CE－EG.故AF＋AG＋BF＋CG＞BD＋DE＋CE，即AB＋AC＞BD＋DE＋CE.七、(本题满分12分)22．认真阅读下面关于三角形内、外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°＋eq\f(1,2)∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠1＝eq\f(1,2)∠ABC，∠2＝eq\f(1,2)∠ACB.∴∠1＋∠2＝eq\f(1,2)(∠ABC＋∠ACB)．又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∴∠1＋∠2＝eq\f(1,2)(180°－∠A)＝90°－eq\f(1,2)∠A.∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)＝180°－(90°－eq\f(1,2)∠A)＝90°＋eq\f(1,2)∠A.探究2：如图2，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．探究3：如图3，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？(只写结论，不需证明)结论：∠BOC＝90°－eq\f(1,2)∠A．解：∠BOC＝eq\f(1,2)∠A.理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的平分线，∴∠OBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠OCD＝eq\f(1,2)∠ACD.又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD＝∠A＋∠ABC.∴∠OCD＝eq\f(1,2)(∠A＋∠ABC)＝eq\f(1,2)∠A＋∠OBC.∵∠OCD是△BOC的一外角，∴∠BOC＝∠OCD－∠OBC＝eq\f(1,2)∠A＋∠OBC－∠OBC＝eq\f(1,2)∠A.八、(本题满分14分)23．如图1，已知线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：(1)在图1中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；(2)在图2中，若∠D＝40°，∠B＝36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD，AB分别相交于M，N，利用(1)的结论，试求∠P的度数；(3)如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在怎样的数量关系？并说明理由．解：(2)∵∠D＝40°，∠B＝36°，∴∠OAD＋40°＝∠OCB＋36°.∴∠OCB－∠OAD＝4°.∵AP，CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线，∴∠BAM＝eq\f(1,2)∠OAD，∠PCB＝eq\f(1,2)∠OCB.又∵∠BAM＋∠P＝∠PCB＋∠B，∴∠P＝∠PCB＋∠B－∠BAM＝eq\f(1,2)(∠OCB－∠OAD)＋∠B＝eq\f(1,2)×4°＋36°＝38°.(3)2∠P＝∠B