河北省唐山市第十八中学2021年高三数学文测试题含解析

河北省唐山市第十八中学2021年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B略2.已知函数在上是减函数，且对任意的总有则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.命题“存在，为假命题”是命题“”的（

）A．充要条件

B．必要不充分条件C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A4.在等差数列{an}中，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是（

）A．21

B．20

C．19

D．18参考答案：B因为，，所以，，从而d，,所以当时取最大值，选B.5.已知命题p：?x≥0，2x≥1；命题q：若x＞y，则x2＞y2．则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧￢q D．￢p∨q参考答案：B【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断命题p，q的真假，结合复合命题之间的关系进行判断即可．【解答】解：命题p：：?x≥0，2x≥1为真命题，命题q：若x＞y，则x2＞y2为假命题，（如x=0，y=﹣3），故￢q为真命题，则p∧￢q为真命题．故选：B．【点评】本题主要考查命题真假的判断，根据复合命题之间的关系是解决本题的关键．6.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、葵等十个符号叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支．如：公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年．则公元2047年农历为（

）A．乙丑年

B．丙寅年

C.丁卯年

D．戊辰年参考答案：C记公元1984年为第一年，公元2047年为第64年，即天干循环了十次，第四个为“丁”，地支循环了五次，第四个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年.故选C.

7.已知函数的部分图象如图所示，则函数的一个单调递增区间是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D

8.在上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】CF：几何概型．【分析】利用三角函数的辅助角公式求出的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由得2sin（x+）≥1，即cosx≥，∵0≤x≤2π，∴x的取值范围是0≤x≤或≤x≤2π，则“”发生的概率P==，故选：B．9.设命题p：?x∈R，ex≥x+1，则￢p为（）A．?x∈R，ex＜x+1 B．?x0∈R，ex0＜x0+1C．?x0∈R，ex0≤x0+1 D．?x∈R，ex0≥x0+1参考答案：B【考点】2J：命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：?x∈R，ex≥x+1，则￢p为?x0∈R，ex0＜x0+1，故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．10.设，则a，b，c的大小关系是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C；二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和为

_____参考答案：【答案解析】4

解析：函数与的图象有公共的对称中心，作出两个函数的图象，

当1＜x≤4时，≥，而函数在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在(2，)上是单调增且为正数函数，在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在(，3)上是单调减且为正数，∴函数在x=处取最大值为2≥，而函数在（1，2）、（3，4）上为负数与的图象没有交点，所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（-2，1）上也有两个交点（图中A、B），并且：xA+xD=xB+xC=2，故所求的横坐标之和为4，故答案为4.【思路点拨】的图象关于点中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数的图象的一个对称中心也是点，故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2,即可得到结果.12.定义一个对应法则，现有点与，点是线段上一动点，按定义的对应法则，当点在线段上从点的开始运动到点结束时，则点的对应点所形成的轨迹与x轴围成的面积为

参考答案：413.已知是抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中点为，则的面积为

参考答案：214.下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图的形状相同的是

。

参考答案：②④15.函数的反函数________________．参考答案：解：∵，∴，由得，故16.函数的减区间为

，增区间为

参考答案：[1,3],[-1,1]略17.函数的单调递增区间为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，动点到两点，的距离之和等于，设的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于，两点．（1）求曲线的轨迹方程；（2）是否存在△面积的最大值，若存在，求出△的面积；否则，说明理由.参考答案：解.（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为的椭圆．……………2分故曲线的方程为．…………………4分（Ⅱ）存在△面积的最大值.…………………5分因为直线过点，可设直线的方程为或（舍）．则整理得．…………………6分由．设．解得

，．则．因为

．………9分设，，．则在区间上为增函数．所以．所以，当且仅当时取等号，即．所以的最大值为．………………12分19.（12分）在直三棱柱中，（1）求证：（2）求二面角的大小；（3）求点

参考答案：解析：（1）∵平面是正方形，∴又∵∴由三垂线定理的：

………………4’（2）过点C做过点∴在直角△中，∴在Rt△CHD中，∴二面角

………………8’（3）∵，∴点。设，则

………12’

20.（本小题满分12分）如图示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=1，AD=2，是线段EF的中点．（1）求证：；（2）设二面角A—FD—B的大小为，求的值；（3）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥P—BFD的体积的最小值．参考答案：．解：（1）易求得，从而，又，所以平面ABF，所以

…………4分（2）易求得，由勾股的逆定理知设点A在平面BFD内的射影为O，过A作，连结GO，则为二面角A—FD—B的平面角。即，在中，由等面积法易求得，由等体积法求得点A到平面BFD的距离是，所以，即

…………8分（3）设AC与BD相交于O，则OF//CM，所以CM//平面BFD。当点P在M或C时，三棱锥P—BFD的体积最小，…………12分

21.已知O为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为F1，F2，F2点又恰为抛物线的焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C仅有两个公共点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与D相交于A、B两点，记点A、B到直线的距离分别为，，．直线l与C相交于E、F两点，记，的面积分别为S1，S2．（ⅰ）证明：的周长为定值；（ⅱ）求的最大值．参考答案：（1）；（2）（i）详见解析；（ii）．【分析】（1）由已知求得，可得，又以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点，知，从而求得与的值，则答案可求；（2）由题意，为抛物线的准线，由抛物线的定义知，，结合，可知等号当且仅当，，三点共线时成立．可得直线过定点，根据椭圆定义即可证明为定值；若直线的斜率不存在，则直线的方程为，求出与可得；若直线的斜率存在，可设直线方程为，，，，，，，，，方便联立直线方程与抛物线方程，直线方程与椭圆方程，利用弦长公式求得，，可得，由此可求的最大值．【详解】解：（1）因为为抛物线的焦点，故所以又因为以为直径的圆与椭圆仅有两个公共点知：所以，所以椭圆的标准方程为：（2）（ⅰ）由题知，因为为抛物线的准线由抛物线的定义知：又因为，等号当仅当，，三点共线时成立所以直线过定点根据椭圆定义得：（ⅱ）若直线的斜率不存在，则直线的方程为因为，，所以若直线的斜率存在，则可设直线，设，由得，所以，设，，由得，则，所以则综上知：的最大值等于【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．22.已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）．（1）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；（2）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值；（3）当a≠0时，若f（x）在区间（﹣1，1）上不单调，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．【分析】（1）先求导数，再根据x=1是f（x）的极值点得到：“f′（1）=0”，从而求得a值；（2）先根据切线方程为x+y﹣3=0利用导数的几何意义求出a值，再研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值．（3）由题意得：函数f（x）在区间（﹣1，1）不单调，所以函数f′（x）在（﹣1，1）上存在零点．再利用函数的零点的存在性定理得：f′（﹣1）f′（1）＜0．由此不等式即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1∵x=1是f（x）的极值点，∴f′（1）=0，即a2﹣2a=0，解得a=0或2；（2）∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上．∴f（1）=2∵（1，2）在y=f（x）上，∴又f