测量误差理论与数据处理第二章

测量误差理论与数据处理第二章第一页，共一百二十五页，2022年，8月28日第一节

测量误差的基本概念

真值：一个量在被观测时，该量本身所具有的真实大小。测量误差：测量结果与真值不同，这个差别就是测量误差

。一、测量误差的定义

1、绝对误差：

2第二页，共一百二十五页，2022年，8月28日真值：可由理论给出或由计量学作出规定。实际值：满足规定准确度要求，用来代替真值使用的量值修正值C：与绝对误差大小相等，符号相反的量为修正值2、相对误差：反映测量的准确程度。

有大小和符号，没有量纲

3第三页，共一百二十五页，2022年，8月28日3、引用误差：反映测量误差与电表量程的关系。（1）引用相对误差（满度相对误差）

4第四页，共一百二十五页，2022年，8月28日(2)电工仪表的等级

等级用S表示，S表示仪表的引用相对误差所不超过的百分比，即

讨论

由于△x≤xm·S%，△xmax正比于xm，若测量真值x0很小，几乎与△xmax相等,那么就应该选较小满刻度值xm，xm不应比x大很多。

5第五页，共一百二十五页，2022年，8月28日

由于，x0≤xm，x0越接近于xm，rmax越小,测量越准确。

一般情况下，被测量的数值尽可能在仪表满刻度的三分之二以上。6第六页，共一百二十五页，2022年，8月28日二、测量误差的分类

1、系统误差：

（1）定义：在相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号保持恒定，或在条件改变时按某种确定规律变化的误差。

（2）特点：*测量条件一经确定，系统误差就获得了一个客观上的恒定值，多次测量取平均并不改变系统误差的影响。*测量条件改变时，系统误差按等进式的、周期性的或按复杂规律变化。*存在不随某些测量条件而变化的系统误差称为恒值系统误差。

7第七页，共一百二十五页，2022年，8月28日（3）造成系统误差的原因常见的有：测量设备的缺陷、测量仪器不准、测量仪表的安装、放置和使用不当等引起的误差，如电表零点不准引起的误差；测量环境变化，如温度、湿度、电源电压变化、周围电磁场的影响等带来的误差；测量时使用的方法不完善，所依据的理论不严密或采用了某些近似公式等造成的误差。8第八页，共一百二十五页，2022年，8月28日举例：测量电阻中的电压和电流Rx电压表电流表

Rx电压表电流表测量的电流大于真值解决方法：提高电压表的内阻测量的电压大于真值解决方法：降低电流表的内阻9第九页，共一百二十五页，2022年，8月28日2、随机误差：

（1）定义：在实际相同条件下多次测量同一量时，误差的绝对值和符号以不可预定的方式变化着的误差。

（2）特点具有有界性具有对称性具有抵偿性

10第十页，共一百二十五页，2022年，8月28日（3）测量数据的数学期望和方差

一次测量的随机误差没有规律，不可预定，不能控制也不能用实验的方法加以消除，但是对于大量的测量从统计的观点来看，随机误差表现出它的规律性，根据随机误差的特点，由于随机误差的存在，测量值在一定范围内摆动，不能预算测量值肯定为多少，只能对它的变化范围进行估计，因此测量值是一个随机变量。

11第十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日

随机变量特点：随机变量随着试验的结果而取不同的值,又由于试验的各个结果的出现有一定的概率，于是随机变量取值也有一定的概率。1、离散型随机变量X的概率分布或分布律：设离散型随机变量X，所有可能取的值为xk（k=1,2……），X取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概率为P{X=xk}=Pk，k=1，2……，即为X的概率分布特性：*Pk≥0，k=1、2……*∑Pk=1

补充：关于随机变量12第十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日

对应于某个取值的概率趋近于零（P（x）=0），只能说明随机变量所取的值落在一个区间内的概率P(x1＜X＜x2)。所以用概率密度来体现X的分布情况：

2、连续型随机变量X的分布3、一般情况下求随机变量分布情况很难，所以通常用

数学期望和方差体现随机变量的主要数学特征。

数学期望：多次测量的平均值M（X）方差：测量值与均值的偏离程度

σ2（X）补充完13第十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日

测量值为离散值时的数学期望和方差X：测量值xi：取值中一个ni：取xi值的次数n：总测量次数m：获得数据的个数测量值X的数学期望：反映测量值平均的情况。若测n次就得到n个测量值，即n=m,那么14第十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日测量值X的方差：反映测量值的离散程度。

σ2（X）亦可纪为D（X），σ（X）叫作标准偏差，亦叫均方根差。若测n次就得到n个测量值，即n=m,那么15第十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日

测量值为连续值时的数学期望和方差16第十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日3、粗大误差：（寄生误差）超出在规定条件下预期的误差。4、测量误差对测量结果的影响在确定条件下，对被测量x的第i次测量的绝对误差为

:系统误差，恒定值：第i次测量的随机误差(1)系统误差对测量结果的影响17第十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日当测量次数n→∞时，对n次测量的绝对误差取平均值则由于随机误差的抵偿性结论：系统误差使测量值的数学期望偏离被测量的真值。18第十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日由于第i次测量的随机误差(2)随机误差对测量结果的影响结论：随机误差使测量值偏离数学期望M(X)。19第十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日x只存在随机误差的情况x存在系统误差和随机误差的情况20第二十页，共一百二十五页，2022年，8月28日5、测量的正确度、精密度和准确度

（1）正确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。（2）精密度：用来表示测量结果中随机误差大小的程度。

21第二十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日x随机误差较小x随机误差较大等精密度测量：标准偏差σ（X）相同的测量。22第二十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日（3）准确度：测量结果中系统误差与随机误差大小的程度。x正确度高，精密度低x正确度低，精密度高准确度高x23第二十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日第二节测量误差的估计和处理

一、随机误差的影响及统计处理：研究问题：*随机误差使测量数据按什么规律分布。*多次测量的平均值在什么性质。*根据测量数据的分布情况，估计被测量的数学期望和方差以及被测量真值出现在一区间的概率。研究方法：概率论和数理统计法。24第二十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日中心极限定理：被研究的随机误差变量可以表示为大量独立的随机变量的和，其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用，则可认为这个随机变量服从

正态分布——高斯分布。

测量中随机误差的分布及在随机误差影响下测量数据的分布大多接近于服从正态分布。

1、中心极限定理在误差分析中的应用——测量数据的正态分布25第二十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日随机误差和测量数据的正态分布

随机误差的概率分布与测量数据的概率分布完全一样，一般只需讨论其中一种。

26第二十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日特点:*绝对值小的随机误差出现的概率大，而绝对值大的随机误差出现的概率小*测量数据的分散程度可由标准偏差σ(X)来表示（峰值大小体现）*绝对值很大时随机误差出现的概率趋近于零，即认为测量值有一个实际界限27第二十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日被测量总体的数学期望和标准偏差：在相同条件下对被测量进行无穷多次测量，由公式可求得被测量的数学期望和标准偏差M(X)及σ（X）。单次测量的标准偏差：根据某单次测量相同条件下的非常多个测量数据求得的标准偏差。随机样本：n次测量的带有随机性数据。样本容量：每个样本的包含的n个测量值，n为样本容量。

2、用有限次测量数据估计测量值的数学期望和标准偏差

28第二十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日（1）有限次测量值的算术平均值及其分布：

n次测量值的平均值的性质

一次测量数据：x1，x2，…xn二次测量数据：x1，x2，…xni次测量数据：x1，x2，…xn测量系统、测量条件和被测量不变的测量这一系列测量具有相同数学期望和标准偏差。

29第二十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日根据

n次测量值的算术平均值的数学期望和方差分别为：

结论：有限次测量值的算术平均值的数学期望就等于被测量X的数学期望。

30第三十页，共一百二十五页，2022年，8月28日物理意义：*各测量值由于随机误差的影响，分布在附近，那么对n次测量值算术平均后,必然还分布在附近。*在求平均的过程中，根据随机误差的抵偿性，所以

的分布就相对集中了，即比小。31第三十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日样本平均值的分布

无论被测量总体的分布是什么形状，随着测量次数的增多，测量值算术平均值的分布都越来越趋近于正态分布（中心极限定理）。

（2）用有限次测量的数据来估计测量值的数学期望

若用来作为未知参数y的估计值，那么估计量的评选标准为：

32第三十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日

符合第一个原则。*当样本容量n→∞时，若估计值依概率收敛于y，则称为y的一致估计值。

33第三十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日*若的数学期望等于y，则称为y的无偏估计值。

符合第二个原则

。结论：用

作为的估计值。34第三十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日（3）用有限次测量数据估计测量值的方差：

由贝塞尔公式：

:第i次测量值与平均值之差，称为残差或剩余误差。

35第三十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日证明从估计的一致性出发对n次测量的随机误差求和36第三十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日那么当独立测量次数n足够大时，由于随机误差的对称性37第三十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日38第三十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日无偏估计性39第三十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日3、测量结果的置信问题

（1）置信概率与置信区间对于测量值，不仅要得到近似值，还要估计误差，也就是估计近似值的精确程度（求真值所在范围），估计出一个范围，知道这个范围包含测量值X真值的可靠程度。

由以前分析知我们想知道未测得的数据X可能处于区间内概率有多大？40第四十页，共一百二十五页，2022年，8月28日在同样条件下测得多个x值后，数学期望可能处于X附近，某确定区间内概率有多大？置信概率:由于M(X)的值客观上是确定的，即它不是随机变量，所以以上说的概率称为置信概率。置信区间:以上所对应的区间称为置信区间。41第四十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日内的概率是完全等价的，这两种置信概率是相等的。测量值X处于区间内的概率和求M(X)处于区间42第四十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日（2）服从正态分布的测量值在对象区间的置信概率若某测量值X服从正态分布，它的概率密度为

则测量值X处于区间内的置信概率为可查附录表43第四十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日二、用统计学方法剔除异常数据：

1．可疑数据：对于误差绝对值较大的测量数据，可以列为可疑数据。2．分析产生可疑数据原因：（1）正常分散性（2）测量仪器、测量方法条件、人员错误3.统计学的方法处理可疑数据的基本思想：

找出相应的区间，凡是在这个区间内以外的数据，就视为异常数据,一般情况下当时就将数据xi剔除不用。44第四十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日4．判别异常数据的界限：一个可疑数据是否被剔除，与我们给C大小有关。

（1）过小，可能把正常测量值当作异常值剔除，过大，可能对异常数据判别不出来。（2）解决以上矛盾，在测量中设法提高测量的精密度，即设法减小

。

45第四十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日(a)置信概率过小(b)置信概率过大(c)减小有利于异常数据的剔除46第四十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日5．莱特准则：在测量数据为正态分布的情况下，如果

测量次数足够多(一般样本容量n>10，习惯上取作为判别异常数据的界限。6．肖维纳准则：在区间内的数据剔除,根据测量次数n,通过查表获得ch的值。7.格拉布斯准则在区间内的数据剔除,根据测量次数n和置信概率，通过查表获得g的值。47第四十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日三、处理系统误差的一般方法：

1、系统误差的判别

恒值系统误差：

变值系统误差：从理论上找出误差与某个测量条件间的解析关系式。

测量条件成线性关系的变值系差，又叫累进性系差残差测量条件测量条件残差48第四十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日随测量条件而变的周期性系差

残差测量条件常用判别变值系统误差的具体方法等精度测量n次，测量条件发生变化依次产生相应的残差1、2、…n。49第四十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日当n为偶数时当n为奇数时如果,那么可认为有累进性系差。马利科夫判据50第五十页，共一百二十五页，2022年，8月28日阿卑——赫梅特判据阿卑——赫梅特判据常用来判别周期性系统误差当则可认为测量中存在变值系差。2、尽力消除产生系统误差的来源

51第五十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日3、消除或减弱系统误差的典型测量技术（1）零示法

检流计指针示零时

52第五十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日（2）零示法（置换法）

+-ABCDER3RxR2R1I+-G当电桥平衡后，用一个可变标准电阻R0代替Rx，再次调节电桥平衡，那么Rx＝R053第五十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日设被测量为x，和它相近的标准量为B，被测量与标准量之微差为A，A的数值可由指示仪表读出。

则：标准量的相对误差

：指示仪表的相对误差

：相对微差

（3）交换法（对照法）

（4）微差法

54第五十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日第三节测量不确定度及测量结果的表征一、测量不确定度及其分类评定（一）测量不确定度1、测量不确定度的定义测量不确定度是表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。不确定度实际上就是可疑程度。测量结果具有不确定性，使得测量值只能理解为根据测量数据对被测量的最佳估计值，与它联系的不确定度则用来描述它的分散性。55第五十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日2、测量不确定度的表示方法不确定恒为正值。它可用标准偏差或其倍数来表示，也可以用对应一定置信概率之区间的半宽度U表示。◆标准不确定度当用标准偏差表示不确定度时，称为标准不确定度，这是不确定度最基本、最常用的表示方法。◆范围不确定度或延伸不确定度当规定一个区间，被测之值的分布大部分可望含于此区间时，可把此区间定为扩展不确定度，又称为范围不确定度或延伸不确定度。◆合成标准不确定度当测量结果是由若干个其他量的值求得时，根据其他各量的分散性算得该量的标准不确定度称为合成标准不确定度。56第五十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日3、测量不确定度产生的原因导致测量不确定度产生的原因主要有：被测量的定义不完整、测量方法不理想、对环境的认识和控制不完善、仪器性能的局限性和引用参数、取样方法、假设和近似条件及测试人员等方面的缺陷均可造成测量值的分散性。57第五十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日（二）测量不确定度的分类评定1、国际权威机构提出的统一准则《测量不确定度表示指南》（GUM），给出了权威的评定与表示测量不确定度的原则、方法和简要步骤。2、按GUM文件，不确定度的评定方法可分为不确定的A类评定和B类评定。它们一般都用标准偏差（或称标准差）u表示，这时的不确定度称为标准不确定度。58第五十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日观测列中任一个测量结果的标准不确定度等于该结果的实验标准偏差，即在A类评定中◆A类评定（又称为A类不确定度评定）用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度称为不确定度的A类评定在A类评定中，除用到任一次测量结果的标准不确定度外，更常用到平均值的标准不确定度59第五十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日◆B类评定（又称为B类不确定度评定）用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度的B类评定不确定度的B类评定则主要基于经验或其他信息，据此用假定的概率分布进行估算。B类不确定度对应的数据概率分布密度往往更加多种多样。即使是同一类因素的影响，数据的分布形状也可能不同。60第六十页，共一百二十五页，2022年，8月28日3、“随机效应导致的不确定度”和“系统效应导致的不确定度”不能把A类和B类不确定度与随机效应和系统效应导致的不确定度等同起来。4、A类评定与B类评定的区别A类评定的标准不确定度，即它的实验标准偏差与测量次数有关，例如n个测量结果平均值的实验标准偏差是单个测量值标准偏差的，而B类不确定度往往没有这个效果，例如一个出厂时说明有1%误差的电阻，对该电阻多次测量取平均值后并不能削弱电阻阻值不准带来的B类不确定度61第六十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日二.服从正态分布有限次测量值的扩展不确定度设随机变量当测量值X服从正态分布时，它的平均值也服从正态分布。由于不服从正态分布，使随机变量t不再服从正态分布，而服从于t分布，又叫斯丢顿(Student)分布或“学生”氏分布。62第六十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日■t分布的概率密度63第六十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日■t分布的特点t分布的图形是关于t=0对称的，并且类似于标准正态分布的图形。但应该注意，t分布图形不只和随机变量t有关，而且和自由度v有关(也就是说和测量次数n有关)。当数据个数n很大，例如n>20时，通常可以认为t分布曲线已将很接近正态分布了。■t分布置信概率问题知道了t分布的概率密度后，就可以用积分的方法求得t在对称区间内的概率（是一个类似于c的系数），也就是处于附近对称区间内的置信概率64第六十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日对t分布来说，由于从有限次的测量不能知道数学期望及标准偏差的确切数值，因此置信问题通常是讨论M(X)处于随机变动的的置信区间内的置信概率问题。65第六十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日若在附近各阶偏导数存在，则可把展为台劳级数（一）测量误差的合成1、误差传递公式设某量由两个分项、合成66第六十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日：分项的误差；：分项的误差。由于则台劳级数中的高阶小量可以略去，则总合的误差67第六十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日同理，当总合y由m个分项合成时，可得即68第六十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日用间接测量法测电阻消耗的功率，若电阻、电压和电流的测量相对误差分别为、和,问所求功率的相对误差为多少？[解][例]方案1：用公式则算得功率的相对误差为69第六十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日方案2：用公式则算得功率的相对误差为70第七十页，共一百二十五页，2022年，8月28日方案3：用公式则71第七十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日设72第七十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日2、系统误差的合成由误差传递公式，很容易求得确定性系统误差的合成值。若测量中各随机误差可以忽略，则总合的系统误差可由各分项系统误差合成73第七十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日3、随机误差的合成若各分项的系统误差为零，则可求得总合的随机误差总合方差的公式74第七十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日（二）测量不确定度合成1.由分量求合成量的最佳估计值不确定度是讨论测量值在最佳估计值附近的分散性，而最佳估计值就是平均值（包括后面要介绍的加权平均值），并不涉及真值。即当并进行了次测量时，y的最佳估计值为75第七十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日2．求合成不确定度不论是A类还是B类不确定度分量都是贡献给了分散性，并且均用标准偏差u来表示，使用标准偏差合成的几何合成法或称均方根合成法。合成标准不确定度的平方（即方差）为——合成标准不确定度；——y及各最佳估计值处的偏导数；——第j个影响量(分项)的标准偏差；——影响量即分项的个数。76第七十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日相对合成标准不确定度当若系数K本身的不确定度可以忽略，可得77第七十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日78第七十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日总误差：不管某项误差是由若干因素产生的还是由于间接测量产生的，只要某项误差与若干分项有关，这项误差就叫总误差。分项误差（部分误差）：各分项的误差。要求考虑的两个问题：（1）如何根据各分项误差来确定总误差，即误差合成问题；（2）当技术上对某量的总误差限定一定范围以后，如何确定各分项误差的数值，即误差的分配问题。79第七十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日一、非等权（等精度）测量与加权平均非等权（等精度）测量：当测量条件不同时，测量结果、的精密度不同。等精密度测量：标准偏差σ（X）相同的测量。1、测量结果的权（weight)精密度高的测量结果可靠些，受重视程度大。精密度的测量结果可靠程度低，受重视程度小。权:通常用数值表示第j个测量结果受到重视的程度，称数值为第j次测量值的“权”。第三节加权平均与回归分析

80第八十页，共一百二十五页，2022年，8月28日权的定义式单位权，单位权的方差81第八十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日2、加权平均如果对某量X进行了m次非等精密测量，得到了m个数据X1、X2、…Xm它们对应的权分别为。怎样根据m次非等精密测量求估计值??基本思想：将每个权为的测量值看成次等精密度测量的平均值。

把m次非等精度测量等效为次等精度测量。

82第八十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日是各值在加权情况下的平均值——加权平均值。

83第八十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日3、加权平均值的方差

84第八十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日三、最小二乘法与回归分析1、最大似然估计设被测量X的概率分布密度为，其中为需要估计的参数。若对X有n个独立测量数据，其中的概率分布密度为，则n次测量值恰为的概率分布密度为85第八十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日若n次测量值恰为的概率密度最大，即L最大，说明这一事件最可能发生，就把这时的等值作为它的估计值。用这种方法来进行估计叫最大的似然估计，意思是说这种估计有最大的可能是真的。概率分布密度L称为最大似然函数。86第八十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日2、最小二乘原理在自然科学中，大量存在变量y与变量x函数关系的情况，同时在函数关系中常常还包含有若干个常数参量等等。即假设测量中不包含误差，则只要对应n个不同的值，测量出n个不同的值，就可以用联立方程解出这n个未知参数。87第八十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日在实际测量中，总存在一定的误差。即使在没有系统误差的情况下，同时也考虑自变量本身的误差，但是测量中不可避免地要存在随机误差，这就使得实测值与由函数关系式求出的数值之间含有一定的随机误差不能再用个联立方程准确地解出等个未知参数了，但是可以根据最大似然估计的方法对未知参数进行估计。88第八十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日在残差服从正态分布的情况下，残差平方的加权和为最小时，满足最大似然估计条件。同时应把满足这个条件的各参数值作为该参数的估计值。

最大似然估计的条件为用上式确定估计值的方法称为最小二乘法。89第八十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日若上述次测量为等精度测量，可设最大似然估计的条件变为90第九十页，共一百二十五页，2022年，8月28日对某量X分别进行了m次测量，其测量值及相应的权分别为及，用最小二乘法求X的估计值。例：从最小二乘原理出发91第九十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日必有

解得说明根据最小二乘原理求得的估计值与前面把非等精度测量等效为等精度测量所得的估计值相同。92第九十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日3、曲线拟合和回归分析

关系曲线的意义在自然科学中，实际上很多量之间并没有严格的函数关系，而只是存在一种不完全确定的相关关系。针对具体情况，这种相关关系也可以用一个表达式来近似地描述，为了寻找表达式中变量和之间的关系，人们常常通过实测的方法在不同的值测出相应的值，然后根据测得数据画出变量之间的关系曲线。93第九十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日如果能对应每个测足够多（理论上为无穷多）个，并求出当时它的数学期望，则消除了随机误差的影响，选取不同的，求出对应的，用与的关系画出的曲线或找出的关系式将是比较理想的。这样作出的曲线称为对的回归曲线，描述该曲线的方程叫回归方程。回归方程94第九十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日当对应每个只测一次或有限次的情况下，随机误差就不可避免了。这时应该运用最小二乘法原理来估计回归方程中的参数,根据一组测量数据，用最小二乘法找到的回归方程的参数，只是依赖于样本的一种估计值，分析结果受抽样误差或者说测量误差的影响。这样的回归方程应叫样本回归方程，在下面的讨论中为简单起见，仍叫它回归方程。样本回归方程95第九十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日求回归方程的具体作法

确定数学表达式即回归方程的类型；确定回归方程中的常参数及常数项等的数值。根据最小二乘法原理，对于等精度测量，应满足96第九十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日解下面的联立方程就可以求出等的估计值此方程式称为正规方程97第九十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日（2）系统误差是有规律的，当测量条件不变时，系统误差即为足够多次测量平均值与真值之差；当测量条件变化时，可能产生变值系差，变值系差可用一些判据来发现。对待系统误差，主要采取一定的技术措施来处理，如测量消除误差源，测量设法消除或减弱某些误差源的影响，测量后设法对系统误差进行修正等等。本章的主要内容总结、归纳（1）根据测量误差的性质和特点，可将它们分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。98第九十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日（3）随机误差影响下的测量值是分散的，对有限次测量，数学期望的估计值为

或

方差的估计值可用贝塞尔公式求出，即99第九十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日平均值的方差比总体方差小n倍，可用或100第一百页，共一百二十五页，2022年，8月28日（6）在测量数据处理中，除运用前面介绍的误差知识外，还要掌握有效数字的概念、数字的含入规则和处理非等精度测量数据的方法。在了解最小二乘原理的基础上应能初步掌握回归分析的方法。（4）对包含粗大误差的坏值应予剔除。超出一定置信区间的数据被认为是异常数据，对异常数据的处理应取慎重态度。（5）测量误差的合成方法主要有代数合成法和几何合成法。误差分配主要有等准确度、等作用或考虑主要误差项等几种原则，应根据具体情况决定误差的合成及分配方法。101第一百零一页，共一百二十五页，2022年，8月28日例28用一套测量系统测电压，根据以往多次使用情况，系统不确定度≤±1%，按测量时间先后记录了11个测量数据如下，分析测量误差并给出被测电压的数值。解（1）求平均值及标准偏差估计值102第一百零二页，共一百二十五页，2022年，8月28日（2）检查有无异常数据根据格拉布斯准则，由附录III查得在置信概率为95%，测量次数n=11时，g=2.23。若则认为为异常数据。例中V6为坏值，将其剔除。

在余下的10个数据中重复上述步骤，算得103第一百零三页，共一百二十五页，2022年，8月28日在置信概率为95%、n＝10的条件下，由格拉布斯准则表查得g=2.18，在10个数据中不再存在异常数据。

（3）判别有无随时间变化的变值系差

判别有无累进性系差马利科夫判据M很近于零，其绝对值明显小于较大的残差绝对值，因而未发现累进性系差。104第一百零四页，共一百二十五页，2022年，8月28日判别有无周期性系差