三角形的证明复习 课件

三角形的证明复习“原名”知多少定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义(definition).命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).

每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已事项推断出的事项.

正确的命题称为真命题(truestatement),不正确的的命题称为假命题(falsestatement).公理:公认的真命题称为公理(axiom).证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.

推理的过程称为证明.定理:经过证明的真命题称为定理(theorem).推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推论可以当作定理使用.

回顾思考1作为证明基础的

几条公理本套教材选用如下命题作为公理:1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,

那么这两条直线平行;2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;3、两边夹角对应相等的两个三角形全等;4、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;5、三边对应相等的两个三角形全等;6、全等三角形的对应边相等,对应角相等.提示:每一条公理或定理的三种语言要能相互渗透,转化.

回顾思考2怎么证明几何命题证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.提示:

要说明一个命题是假命题,通常可以举出一个例子,使之具备命题的条件,而不具备命题的结论,这种例子称为反例(counterexample).

回顾思考32.推论:

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合(三线合一).（1）∵AB=AC,∠1=∠2(已知).∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.（2）∵AB=AC,BD=CD(已知).∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）（3）∵AB=AC,AD⊥BC(已知).∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三线合一）

轮换条件：∠1=∠2,

AD⊥BC,BD=CD,可得三线合一的三种不同形式的运用.知识要点回顾1.定理:等腰三角形的两个底角相等简称:等边对等角A

CBD12

回顾思考44.等边三角形的判定：结论4:

等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶角的一半.结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.3.等腰三角形有关知识要点:结论1:等腰三角形两底角的平分线相等.结论2:等腰三角形两腰上的中线相等.结论3:等腰三角形两腰上的高相等；(3).有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.(1).三条边都相等的三角形是等边三角形.(2).三个角都相等的三角形是等边三角形.5.定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于300,那么

这个锐角所对直角边等于斜边的一半它的逆命题:∵∠ACB=900,∠A=300∴

在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于300.∵∠ACB=900,∴∠A=300ABC3006.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.它的逆定理:

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.7.直角三角形全等的判定定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.(简称“HL”)8.写出命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形.定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.9.线段的垂直平分线它的逆命题:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.∵MN垂直平分AB(MN⊥AB,AC=BC或P在AB的垂直平分线上)∴PA=PB∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上ACBPMN10.角平分线定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等.∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE∴∠1=∠2(OP是角平分线或P在∠AOB的平分线上)逆定理:

在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PEOCB1A2PDE11.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.12.定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.(这一点叫做三角形的外心)(这一点叫做三角形的内心)ABCP在本章中你学到了什么角的平分线通过探索,猜想,计算和证明得到定理与等腰三角形、等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论与一般的三角形有关的结论命题的逆命题及其真假尺规作图线段的垂直平分线

回顾思考5与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法.提示:能将证明的能力提升一个台阶的前提是:认识并掌握一定数量的基本图形.如：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等.

回顾思考6如：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.如：三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.如：……我能行不只是字面意义互逆定理与互逆命题在什么情况下互逆的命题才是互逆的定理?你能说出一对互逆的命题吗?一个命题的逆命题的真假性如何?

回顾思考7一个定理的逆命题的真假性如何?它们的真假性如何?基本作图作一条线段等于已知线段;已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三角形.作线段的垂直平分线;作已知角的平分线;作一个角等于已知角;作图题的一般步骤:

已知,求作,分析,作法,证明,讨论.做一做:

任意画一个角,利用尺规将其二等分,四等分.作图题的要求:能写出规范的作图步骤.

回顾思考8例1:在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB

求证:DC⊥AC21ACEF证明:取AB的中点E,连结DE∵DA=DB,AE=BE∴DE⊥AB(等腰三角形三线合一)∵AB=2AC,E为AB的中点∴AE=AC在ΔAED和ΔACD中,AE=AC,∠1=∠2,AD=AD∴ΔAED≌ΔACD(SAS)∴∠AED=∠ACD=900即AC⊥DC或用延长法:延长AC至F使CF=AC,连结DFDB21C

小试牛刀例1:在ΔABC中,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB

求证:DC⊥AC证明:延长AC至F使CF=AC,连结DF∵AB=2AC,AC=CF∴AB=AF∵∠1=∠2,AD=AD∴ΔADB≌ΔADF(SAS)∴DB=BF∵DA=DB∴DA=DF∵AC=CF∴DC⊥AF(等腰三角形三线合一)即DC⊥AC思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).

小试牛刀21ACFDB21C例2:如图,ΔABC,ΔCDE是等边三角形

(1)求证:AE=BDABCDE(2)若BD和AC交于点M,AE和CD交于点N,

求证:CM=CNMN(3)连结MN,猜想MN与BE的位置关系.并加以证明思路探究:通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等,这是一种常见的证明方法.本题我们应注意用到等边三角形的性质以及平行法的判定方法.当图形较复杂时,注意分清条件与图形中的对应关系

学无止境

在ΔABC中,∠C=900,∠B=300,AD是∠BAC的平分线,已知,求AD的长.ABCD解:∵∠C=900,∠B=300,

∴∠CAB=600∵AD是角平分线∴∠CAD=300设CD=x,那么AD=2x，在RtΔACD中，AD2=CD2+AC2∴解得：x=2∴AD=4思路探究：本题综合运用了勾股定理，含300角的直角三角形性质.它们都与直角有关,所以当问题中出现直角条件时,

要善于联想到这些性质.

我能行初露锋芒作业１、基础作业：

课本Ｐ33页复习题第1、2、3、4题2、预习作业：

课本P33页“回顾与思考”提高证明能力的源泉1、已知:如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,

DE∥BA,DF∥CA.

求证:∠FDE=∠A.ABCDEF

作业分析12、已知:如图,AD∥CB,AD=CB.

求证:△ABC≌△CDA.ABCD提高证明能力的源泉

作业分析23、已知:如图,AB=AC,∠ABD=∠ACE.

求证:(1)OB=OC;(2)BE=CD.ABCEDO提高证明能力的源泉

作业分析34、已知:如图,BD,CE是△ABC的高,且BD=CE.

求证:△ABC是等腰三角形.提高证明能力的源泉

作业分析45、已知:如图,在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比是1∶2∶3,.

求:AC的长.提高证明能力的源泉

作业分析56、已知:如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为

N,M,且OM=ON.