流体的运动幻

流体的运动幻1第一页，共一百二十五页，2022年，8月28日

重点：1、掌握理想流体、稳定流动的概念、连续性方程和伯努利方程的物理意义及熟练应用；2、理解层流、湍流和雷诺数的概念，掌握牛顿黏滞定律和泊肃叶定律的物理意义及应用；3、理解黏性流体伯努利方程和斯托克司定律的物理意义。2第二页，共一百二十五页，2022年，8月28日难点：2、牛顿黏滞定律和泊肃叶定律的物理意义及应用。1、连续性方程和伯努利方程的应用；3第三页，共一百二十五页，2022年，8月28日液体和气体统称为流体(fluid)

。流动性——液体和气体内部的各个部分之间很容易产生相对移动的特性。流体——凡具有流动性的物体。流体的运动在物理学中是属于流体力学研究的范畴。4第四页，共一百二十五页，2022年，8月28日气流－－－流动的气体。液流－－－流动的液体。流动性是流体最基本的特征。5第五页，共一百二十五页，2022年，8月28日（2）流体动力学

——

研究流体运动规律以及运动着的流体与位于其中的物体之间的相互作用的学科。（1）流体静力学——研究静止流体规律的学科；流体力学分为两大类：流体静力学；流体动力学。6第六页，共一百二十五页，2022年，8月28日

第一节理想流体稳定流动一、理想流体理想流体——完全没有内摩擦力(黏滞性)和绝对不可压缩的流体。7第七页，共一百二十五页，2022年，8月28日任何实际流体都具有可压缩性和黏滞性(黏性)。1、可压缩性－－－指流体的体积和密度随压强的不同而发生改变的性质。实际流体的可压缩性很小。例如：

对水施加的压强，水的体积仅仅缩小5％左右。8第八页，共一百二十五页，2022年，8月28日对水每施加一个大气压的压强，水的体积只缩小二万分之一。

对气体来说，看起来气体的可压缩性很大，但气体的流动性却很好。

因此，在一般情况下液体是可以近似看着是不可压缩的。9第九页，共一百二十五页，2022年，8月28日总之实际流体和流动中的气体都可近似地看着是不可压缩性的。

因此，在研究气体流动时也可以把气体看成是不可压缩的。

当气体处于流动状态时，只要有很小的压强差就可以使气体迅速流动起来，这种流动所引起的气体体积和密度的变化都很小。10第十页，共一百二十五页，2022年，8月28日2、黏滞性(黏性)－－－当流体流动时，由于其内部各流层之间流速不同而具有相对运动，相邻两层间存在着内摩擦力(或称为黏滞力)的性质。实际流体流动时，其内部分子之间总存在着内摩擦力。但不同的流体其黏性不同，甚至差异很大。11第十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日

在讨论水、酒精和气体等流体的运动时，其内摩擦力很小，可以忽略不计。例如：

油类、糖浆、甘油－－－黏性很大；水、酒精、气体－－－黏性很小。12第十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日除此之外，流体的运动可能不稳定，流速经常发生变化等等，所有这些因素都给流体运动规律的分析带来了困难。为了突出与流体运动密切相关的主要因素－－－流动性这一基本特征，特引入理想流体模型来进行讨论。理想流体——完全没有内摩擦力(黏滞性)和绝对不可压缩的流体。13第十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日二、稳定流动

研究流体流动时，可以先将流体分割成很多无限小的体积元－－－流体粒子来研究其运动规律，从而得到整个流体的运动规律。14第十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日1、拉格朗日法(Lagrange)

——以流体的各个流体粒子为研究对象，根据牛顿定律跟踪并研究每个流体粒子的运动状态随时间的变化规律。研究流体运动通常有两种方法：2、欧拉法(Euler)

——研究各个流体粒子在空间各点的速度、压强、密度等物理量随时间变化的规律，即以场的观点，从整体上来把握流体的运动的方法。15第十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日

根据欧拉法，在流体流动空间的每一个点上都具有一定的流速，对应着一个流速矢量，其函数表达式为：流场——流体的流速随空间的分布称为流体的速度场。1、

稳定流动16第十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日流体绕过不同障碍物时流场的变化17第十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日流线(streamline)——在任一时刻，可在流场中划出一系列假想的曲线，使这些曲线上每一点的切线方向与流经该点的流体粒子的速度方向一致，这样的曲线就称为这一时刻流体的流线。

流体在流动时，流体粒子的速度是随时间和空间变化的。18第十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日流线19第十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日

如果流场中各点的流速都不随时间变化，则流场中各点上流速的函数表达式为：

如果流场中各点的流速随时间而变，则流线的形状也随时间变化。这样的流动称为稳定流动。20第二十页，共一百二十五页，2022年，8月28日稳定流动(定常流动)(steadyflow)——流场中任意点的流速不随时间变化的流动。稳定流动流线的特点：稳定流动的流场中每一点上都只有惟一确定的流速，所以流线不能相交。且流线的形状保持不变，此时流线与流体粒子的运动轨迹相重合。21第二十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日22第二十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日流管——在稳定流动的流体中任取一个小截面S，并通过它的周边各点作出许多流线，由这些流线所组成的管状体。23第二十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日图3-2流管24第二十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日稳定流动时，流管的形状不随时间变化。图3-2流管25第二十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日

三、连续性方程在此流管中任意选取二个与流管垂直的小截面S1、

S2，并设S1、

S2处的流速和流体的密度分别为υ1、ρ1

、υ2、ρ2。图3-2流管26第二十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日

同时通过S2流出该段流管的流体质量为在时间内，通过S1流入该段流管的流体质量为：27第二十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日根据质量守恒原则及稳定流动的特点，有ｍ１＝ｍ２，即上式对于同一流管中任意两个与流管垂直的横截面都是成立的。28第二十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日上式表明流体作稳定流动时，同一流管中任一截面处的流体密度、流速和该截面面积的乘积为一常量。故上式可写成：这个关系式称为流体作稳定流动时的连续性方程(equationofcontinuity)。29第二十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日连续性方程又称为质量流量守恒定律。ρSυ是单位时间内通过任一截面S的流体质量，常称为质量流量。质量流量的单位为:30第三十页，共一百二十五页，2022年，8月28日如果研究的流体是不可压缩的流体，此时有ρ1=ρ2，则有上式表明，不可压缩的流体作稳定流动时，同一流管中任一截面处的流速和截面面积的乘积为一常量，此式称为不可压缩的流体作稳定流动时的连续性方程。31第三十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日故上式又称体积流量守恒定律。Sυ是单位时间内通过任一截面S的流体体积，常称为体积流量。对于不可压缩的流体来说，不仅质量流量守恒，体积流量也是守恒的。32第三十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日Q——指单位时间内通过流管中任一截面的流体体积，其单位为（m3·s-1）。体积流量又简称为流量，用Q来表示：33第三十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日上式表明，当不可压缩的流体在流管中作稳定流动时，流速和横截面积成反比。截面积S较大处流速较小，截面积S较小处流速较大。34第三十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日

可见，流管中流线的稀密反映了流管中流体流速在空间的分布。

由于通过同一流管中各个截面的流线条数保持不变，因此流管粗的地方流线较稀疏，流速较小；流管细的地方流线较密集，流速较大。35第三十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日四、血流速度在血管中的分布血液在循环系统中流动时可近似看作是不可压缩的液体在血管中作稳定流动。下面应用连续性方程来了解血流速度在各种血管中的分布情况。36第三十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日37第三十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日人体各类血管的总截面积和血液的平均流速间的关系38第三十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日第二节伯努利方程39第三十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日

丹尼尔·伯努利D．(Bernoulli，Daniel1700－1782)：数学、物理学、医学家；1738年他出版了一生中最重要的著作《流体动力学》(Hydrodynamica)40第四十页，共一百二十五页，2022年，8月28日伯努利方程反映了理想流体在重力场中作稳定流动时，流体在流管中各处的流速、压强和高度之间的关系。一、伯努利方程功能原理

“系统机械能的增量等于外力和非保守内力做功的代数和。”41第四十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日42第四十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日43第四十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日∴两力所作的总功为：∵Ｘ面的位移是υ1Δｔ，Ｙ面的位移是υ2Δｔ。作负功

则：作正功44第四十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日

根据功能原理，设ＸＸ′段流体的机械能为Ｅ1，ＹＹ′段流体的机械能为Ｅ2，ＸＸ′和ＹＹ′段流体的质量相等并用ｍ表示，因此机械能的变化(增量)ΔＥ为：由功能原理得：则：45第四十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日则：

移项得：以Ｖ除各项得:46第四十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日上二式称为伯努利方程，它表明理想流体在同一流管中作稳定流动时，流体单位体积的动能、重力势能以及该点的压强三者可以互相转换，但其总和为一常量。对同一流管中的任一垂直截面来说有47第四十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日

从能量的角度来讲，伯努利方程实质上就是能量守恒定律在理想流体稳定运动中的具体表现形式。物理意义：流体力学中的能量转换与守恒48第四十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日从压强的角度来讲，上式中的三项都具有压强的量纲，其中：1/2ρυ2项与流速有关，常称为动压强；ρｇｈ项与流速无关，常称之为位压强，Ｐ叫做静压强。伯努利方程则又可表述为：理想流体在给定流管中作稳定流动时，其动压、位压和静压三者可以互相转换，但其总和保持不变。49第四十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日伯努利方程适用条件:理想流体同一流管稳定流动50第五十页，共一百二十五页，2022年，8月28日对一细流管而言，υ、h、Ρ均指流管横截面上的平均值。

当S1→0，S2→0，细流管就变成了一根流线，伯努利方程此时反映的是同一曲线上不同点的υ、h、Ρ的关系。51第五十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日

例题3-1设有流量为0.12m3·s-1的水流过如图所示的管子。A点的压强为２×１０5Pa，Ａ点的截面积为100cm2,Ｂ点的截面积为60cm2。假设水的黏性可以忽略不计，求Ａ、Ｂ点的流速和Ｂ点的压强。52第五十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日

解：已知Ｑ=0.12m3·s-1,ＳＡ＝100cm2=10-2m2,ＳＢ=６0cm2=６０×10-4m2,ＰＡ=2×10-5Ｐａ,ｈＡ=0ｍ,ｈＢ=2ｍ。根据连续性方程有：53第五十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日又根据伯努利方程可得：54第五十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日压强与流速有关，也与高度有关。

二、伯努利方程的应用55第五十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日

1、压强与流速的关系结论：在水平管中流动的流体，流速小的地方压强较大，流速大的地方压强较小。即动压较大的地方静压较小，动压较小的地方静压较大。设流体在水平管中流动（h1=h2），则56第五十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日(1)空吸作用(水流抽气机)：原理：空气57第五十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日

流速计是一种测流体流速的装置。

(2)流速计

58第五十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日比较c、d两处的压强可得：式中，说明流体的动压强在滞止区全部转换为静压强。59第五十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日

(3)一种测量流体流速的装置皮托管60第六十页，共一百二十五页，2022年，8月28日则皮托管中Ａ孔、Ｍ孔两处的压强差为：则流速为：根据流速计中

c、d两处的压强公式得:61第六十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日另外：Ａ孔、Ｍ孔两处的压强差还可表示为：则流速为：62第六十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日流体的流量可用文丘里流量计来测量。例题3-2、流量计63第六十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日装置与原理：解：根据伯努利方程有：又由连续性方程有：64第六十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日将上二式联立求解，并将Ｐ１-Ｐ２＝ρｇｈ代入可得则液体的流量为：65第六十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日结论：高处的压强较小，而低处的压强则较大。

若流体在高度不同的等截面管中流动，其流速不变，由伯努利方程得：2、压强与高度的影响

66第六十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日

压强与高度之间的关系，可用来解释体位因素对血压的影响。67第六十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日分析：则：补充：小孔流速结论：与其从高度为h处自由下落时的速度相等。上式称为“托里折利公式”。68第六十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日第一作业：

习题三3-2、3-4、3-7。69第六十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日第三节

黏性流体的流动70第七十页，共一百二十五页，2022年，8月28日

黏性——实际流体在流动过程中总具有内摩擦力，表现出黏滞性，简称黏性。黏性流体在运动时主要具有层流、湍流和过渡流三种运动形态。因而它在流动过程中需要克服内摩擦力作功而消耗能量。黏性流体－－－具有内摩擦力的流体。71第七十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日

1、层流（片流）一、层流和湍流其定义：流体分层流动的状态。72第七十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日73第七十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日流体作层流时，相邻两个流层之间存在着切向的相互作用力，称为内摩擦力，或叫黏滞力（黏性力)。黏滞力(viscousforce)是由流体分子之间的相互作用力引起的。74第七十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日层流的特点

————流体分层流动，且其流动稳定。当流体作层流时，流体中相邻两层流体之间只作相对滑动，流层间没有横向混杂，不形成旋涡。75第七十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日

a.定义——当流体流动的速度超过一定数值时，在垂直于管轴的方向上将产生分速度，流体将可能向各个方向运动，外层的流体粒子不断卷入内层，各流层将混淆起来，并有可能形成旋涡，整个流动就显得杂乱而不稳定，这样的流动形态称为湍流。２、湍流76第七十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日77第七十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日显然流体作湍流时，所消耗的能量比层流多，所以，湍流区别于层流的特点之一是它能发出声音。b.特点————流体杂乱、无规则流动,且能发出声音。78第七十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日判断湍流的三要点：1、随机性－－－流动的细节不可重复；2、混合性；3、有旋性－－－流动不规则。79第七十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日

流体作层流时，各流层的流速不等的现象，可用来解释小血管中红细胞的轴流现象。80第八十页，共一百二十五页，2022年，8月28日

3、过渡流动(了解)

定义－－介于层流与湍流间的流动状态，该流动状态很不稳定。81第八十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日二、

牛顿黏滞定律82第八十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日与黏滞力大小相关的因素流体作层流时，其速度分布可用下图表示。83第八十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日在层流中，黏滞力的大小与流体从一层过渡到另一层时流速变化的快慢程度有关。0x84第八十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日当两流层无限接近（Δx→０）时，比值Δυ/Δx的极限为dυ/dx，表示垂直于流速方向x处的速度变化率，称为x处的速度梯度。梯度－－通常是指一个物理量的空间变化率。用数学语言来描述，就是这个物理量对空间坐标的微商。85第八十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日速度梯度－－－在和流体流动相垂直的方向上，流体速度的空间变化率称为流体在该方向上的速度梯度。86第八十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日上图表明速度梯度的大小表示流动的流体由一层过渡到另一层时速度变化的快慢程度－－－剧烈程度。87第八十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日

实验表明：流体中相邻两流层间内摩擦力f的大小与两流层的接触面积S以及接触处的速度梯度dυ/dx成正比，即上式称为牛顿黏滞定律，又称为牛顿层流关系式。式中比例系数η称为流体的黏滞系数，简称黏度。88第八十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日液体：气体：温度对流体黏度的影响：

η值的大小表示流体黏性的强弱程度，它是流体黏性的量度。η值取决于流体本身的性质，并和流体的温度有关。89第八十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日它表明，流体的黏滞系数η在数值上等于：流体两层间的速度梯度为1时，单位面积流体层上所受到的内摩擦力。在国际单位制中，η的单位是。90第九十页，共一百二十五页，2022年，8月28日91第九十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日在生物力学中牛顿黏滞定律又常写成：式中表示作用在流层单位面积上的内摩擦力，即切应力。速度梯度是在单位时间内的切变，称为切变率。92第九十二页，共一百二十五页，2022年，8月28日非牛顿流体——凡是不服从牛顿黏滞定律的流体。牛顿流体——凡是服从牛顿黏滞定律的流体。其黏度在一定的温度下具有一定的数值，即切应力与切变率成正比。其黏度不是常量。即切应力与切变率不呈正比关系。93第九十三页，共一百二十五页，2022年，8月28日一般来讲，只含有相同物质的均匀流体大多为牛顿流体；而含有悬浮物质或弥散物的液体则多为非牛顿流体。例如，水和血浆都是牛顿流体。例如，血液中含有血细胞，所以严格来讲它不是牛顿流体。它的黏度也不是常量，但在正常生理条件下其值变化不大。94第九十四页，共一百二十五页，2022年，8月28日

实际上血液是一种具有黏弹性的非牛顿流体。

分析血液的黏性，对于某些疾病的诊断具有重要的参考价值，这种方法称为血液流变学。血液流变学－－－研究血液流动和变形的科学。95第九十五页，共一百二十五页，2022年，8月28日三、雷诺数判断层流或湍流的依据96第九十六页，共一百二十五页，2022年，8月28日Re称为雷诺数，它是一个无量纲的量。雷诺提出了一个判别流体在圆管内是作层流还是湍流的关系式，即

粘性流体的流动状态是层流还是湍流，除与速度υ有关外，还与流体的密度ρ、黏度η以及管子的半径r有关。97第九十七页，共一百二十五页，2022年，8月28日Re愈大，流动状态愈不稳定。（3）1000<Re<1500时，称为过渡流。（2）Re>1500时，流体作湍流；（1）Re<1000时，流体作层流；实验结果表明，当：98第九十八页，共一百二十五页，2022年，8月28日从上式可看出，流体的黏度愈小，密度愈大，Re愈大，就愈容易发生湍流，管子愈细愈不容易出现湍流。

发生湍流的可能性还与管子的弯曲程度有关。99第九十九页，共一百二十五页，2022年，8月28日

如果管子是弯曲的，即使Re较小

也可能发生湍流。

管子弯曲程度愈大，Re的临界值就愈低。

所以流体在流动时，凡有急弯或分支的地方，就愈容易发生湍流。100第一百页，共一百二十五页，2022年，8月28日雷诺还通过大量实验证实了雷诺数这个无量纲的纯数是一个描述黏性流体运动的相似性参数,从而发现了流动的相似性原理------即雷诺数相等的流场具有相同的流动状态和性质,也称为雷诺相似准则。流动的相似性原理,在流体力学工程的模拟实验中得到广泛的应用。补充:101第一百零一页，共一百二十五页，2022年，8月28日第四节

粘性流体的运动规律102第一百零二页，共一百二十五页，2022年，8月28日一、黏性流体的伯努利方程实际流体由于存在内摩擦力，所以流体在流动中必须克服内摩擦力作功，从而使系统的机械能不断减少。

消耗的能量就转变为系统的热能。103第一百零三页，共一百二十五页，2022年，8月28日104第一百零四页，共一百二十五页，2022年，8月28日

当流体从截面处流到截面处时，伯努利方程可修正为：

上式即为黏性流体作稳定流动时的伯努利方程。式中表示流体在流动过程中克服内摩擦力作功而损失的能量。105第一百零五页，共一百二十五页，2022年，8月28日

上式实际上是把热能考虑在内的更加广泛的能量守恒定律在黏性流体流动中的特殊表达形式。应用黏性流体的伯努利方程来解决具体问题时，其关键是怎样确定流体流动过程中所造成的能量损失。

影响的因素很多，一般由实验来确定。106第一百零六页，共一百二十五页，2022年，8月28日

当黏性流体在粗细均匀的水平管中稳定流动时，有107第一百零七页，共一百二十五页，2022年，8月28日

可以看出有P1>P2，这表明黏性流体在水平管中流动时，管的两端必须维持一定的压强差，才能使黏性流体在水平管中作稳定运动。108第一百零八页，共一百二十五页，2022年，8月28日109第一百零九页，共一百二十五页，2022年，8月28日若流体在高度不同但截面相同的明渠中作稳定流动，由于有υ1＝υ2，P1=P2=P0(大气压)，则有即表示必须有一定的高度差才能维持流体在其中做稳定的流动。110第一百一十页，共一百二十五页，2022年，8月28日111第一百一十一页，共一百二十五页，2022年，8月28日二、泊肃叶定律112第一百一十二页，共一百二十五页，2022年，8月28