2023年考研数学新版新编三真题及答案解析

2023考研数学(一)真题及答案解析考研复习最重要的就是真题,所以跨考教育数学教研室为考生提供2０2３考研数学一的真题、答案及部分解析,希望考生可以在最后冲刺阶段通过真题查漏补缺，快速有效的备考。一、选择题：1~８小题,每小题4分,共３2分，下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目规定的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1）设是数列下列命题中不对的的是()（A）若,则(B）若,则(C)若,则（D）若,则【答案】（D）(2)设是二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解，则（A)（B)（C）(Ｄ)【答案】(A)【解析】将特解代入微分方程,运用待定系数法,得出。故选A。（3）若级数在处条件收敛,则与依次为幂级数的（）（A）收敛点，收敛点(B）收敛点，发散点（Ｃ)发散点，收敛点（D)发散点,发散点【答案】（A)【解析】由于级数在处条件收敛,所以，有幂级数的性质，的收敛半径也为，即,收敛区间为，则收敛域为,进而与依次为幂级数的收敛点,收敛点,故选A。(4）下列级数发散的是()（Ａ)(B)(C）（Ｄ）【答案】(C）【解析】(A），，存在,则收敛。（B)收敛,所以(Ｂ）收敛。（Ｃ），由于分别是收敛和发散,所以发散，故选(Ｃ)。（D)，所以收敛。（5）设矩阵，若集合,则线性方程组有无穷多解的充足必要条件为(）（A）（B）(C）(Ｄ）【答案】(D）【解析】有无穷多解，即，从而当时，从而时有无穷多解当时，从而时有无穷多解所以选D.（6）二次型在正交变换下的标准形为,其中,若,在正交变换下的标准型为()（A）（B）（C)(Ｄ)【答案】（A）【解析】由已知得,，从而,其中,均为初等矩阵,所以选Ａ。（７)若为任意两个随机事件,则(A)(Ｂ）(C）(D）【答案】(C）【解析】排除法。若,则，而未必为0，故，故错。若,则,故错。(8）设总体为来自该总的简朴随机样本，为样本均值，则（A）（B）（C）(D）【答案】（B）【解析】二、填空题(9~14小题，每小题４分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上).（9)＿_＿__.【答案】【解析】(1０)______＿.【答案】【解析】(11)若函数有方程拟定，则_＿__＿__.【答案】【解析】对两边分别关于求偏导,并将这个代入，得到,所以。（12)设是由与三个坐标平面所围成的空间区域,则【答案】【解析】由对称性，其中为平面截空间区域所得的截面其面积为所以:(13)阶行列式【答案】【解析】按第一行展开得(14）设二维随机变量服从正态分布则【答案】．【解析】由故独立。三、解答题:１5—23小题,共9４分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算环节.（15）设函数若与在时为等价无穷小，求的值。【解析】由题意，(16)计算二重积分，其中。【解析】,其中，则。(17)已知函数曲线求在曲线上的最大方向导数【解析】由于沿着梯度的方向的方向导数最大,且最大值为梯度的模模为此题目转化为对函数在约束条件下的最大值,即为条件极值问题。本问题可以转化为对在约束条件下的最大值,构造函数故最大值为3.(１８）设函数在定义域上的导数大于0，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4,且,求的表达式。【解析】解得:分离变量可得:由于所以综上19、已知曲线的方程为,起点为,终点为计算曲线积分【解析】由题意假设参数方程（２0）向量组是的一个基,（Ⅰ)证明为的一个基；(Ⅱ)当k为什么值时，存在非零向量在基与基下的坐标相同,并求所有的.【解析】(Ⅰ）证明：是的一个基线性无关,即又＝3线性无关,为的一个基（Ⅱ)由已知设有非零解,所以从而(21)设矩阵相似于矩阵。求的值。求可逆矩阵,使为对角矩阵。【解析】（1)由由（1）得,其中特性值,当时，解方程的基础解系为；当时，解方程的基础解系为，从而，由于线性无关，所以令可逆，即，使得。设随机变量的概率密度为,对进行独立反复的观测，直到第２个大于3的观测值出现为止,记的观测次数。求的概率分布。求。【解析】(1），所以的概率分布为(2)令，，,设总体的概率密度为，其中为未知参数,为随机样本。求的矩阵估计量；(2)求的最大似然估计量。【解析】（1）。（2)设为观测值,则，,取。２0２３年考研数学二真题与解析一、选择题１—8小题．每小题4分,共３2分．１．当时,若，均是比高阶的无穷小，则的也许取值范围是(）（Ａ)（B）(C)（D）【详解】,是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知所以的也许取值范围是,应当选(Ｂ）．２.下列曲线有渐近线的是（Ａ）(B）(C)（Ｄ）【详解】对于,可知且,所以有斜渐近线应当选（C)3.设函数具有二阶导数，，则在上（）（A）当时,(B)当时,（C）当时，(Ｄ）当时，【分析】此题考察的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】假如对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话,可以直接做出判断．显然就是联接两点的直线方程．故当时,曲线是凹的,也就是，应当选(D)【详解2】假如对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且,故当时,曲线是凹的，从而,即，也就是，应当选(Ｄ)4．曲线上相应于的点处的曲率半径是（）（A)(B）(Ｃ）（Ｄ)【详解】曲线在点处的曲率公式，曲率半径．本题中，所以,,相应于的点处，所以,曲率半径．应当选（Ｃ)５．设函数，若，则(）（A）(Ｂ）（C)（D)【详解】注意(1）,（2)．由于．所以可知，,.6.设在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足及,则(）.ﻩ（A)的最大值点和最小值点必然都在区域D的边界上； (Ｂ)的最大值点和最小值点必然都在区域Ｄ的内部； （C)的最大值点在区域D的内部,最小值点在区域D的边界上; (D）的最小值点在区域D的内部,最大值点在区域D的边界上．【详解】在平面有界闭区域D上连续,所以在D内必然有最大值和最小值.并且假如在内部存在驻点，也就是，在这个点处,由条件,显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必然都在区域D的边界上.所以应当选(A).7．行列式等于(Ａ）(B）(Ｃ)(D）【详解】应当选(Ｂ）.8．设是三维向量,则对任意的常数，向量,线性无关是向量线性无关的(A)必要而非充足条件(B）充足而非必要条件（Ｃ)充足必要条件(D）非充足非必要条件【详解】若向量线性无关，则（，）,对任意的常数,矩阵的秩都等于2,所以向量，一定线性无关.而当时,对任意的常数，向量,线性无关,但线性相关；故选择(Ａ）．二、填空题(本题共6小题,每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)9．.【详解】．１0.设为周期为4的可导奇函数,且，则．【详解】当时,,由可知，即;为周期为4奇函数，故.１１．设是由方程拟定的函数,则．【详解】设,,当时,,,，所以.12.曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为.【详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处,,，则在点处的切线方程为,即13.一根长为1的细棒位于轴的区间上,若其线密度，则该细棒的质心坐标.【详解】质心坐标．14.设二次型的负惯性指数是1,则的取值范围是.【详解】由配方法可知由于负惯性指数为1,故必须规定,所以的取值范围是.三、解答题15．（本题满分10分)求极限．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后运用洛必达法则求未定型极限.【详解】16．（本题满分10分)已知函数满足微分方程,且,求的极大值和极小值.【详解】解：把方程化为标准形式得到，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：，由得，即．令,得,且可知;当时，可解得,,函数取得极大值;当时,可解得,,函数取得极小值．17．（本题满分10分）设平面区域.计算【详解】由对称性可得18.(本题满分１０分)设函数具有二阶连续导数，满足.若，求的表达式．【详解】设,则，;；由条件，可知这是一个二阶常用系数线性非齐次方程.相应齐次方程的通解为：其中为任意常数．相应非齐次方程特解可求得为．故非齐次方程通解为.将初始条件代入,可得.所以的表达式为.19.（本题满分１0分)设函数在区间上连续,且单调增长,,证明：;．【详解】(1)证明:由于，所以．即．（２）令,则可知，且，由于且单调增长，所以.从而,也是在单调增长,则,即得到．2０．(本题满分11分）设函数,定义函数列,,设是曲线，直线所围图形的面积.求极限．【详解】,，运用数学归纳法可得，.２1．（本题满分11分）已知函数满足，且,求曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积．【详解】由于函数满足，所以,其中为待定的连续函数.又由于,从而可知，得到.令,可得．且当时,．曲线所成的图形绕直线旋转所成的旋转体的体积为22.(本题满分11分）设,E为三阶单位矩阵.求方程组的一个基础解系；求满足的所有矩阵．【详解】（１)对系数矩阵A进行初等行变换如下:，得到方程组同解方程组得到的一个基础解系．(2）显然B矩阵是一个矩阵，设对矩阵进行进行初等行变换如下：由方程组可得矩阵B相应的三列分别为,,,即满足的所有矩阵为其中为任意常数．23．(本题满分１1分）证明阶矩阵与相似.【详解】证明:设，．分别求两个矩阵的特性值和特性向量如下:,所以Ａ的个特性值为;并且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化.且；所以Ｂ的个特性值也为;对于重特性值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵B相应重特性值的特性向量应当有个线性无关,进一步矩阵B存在个线性无关的特性向量,即矩阵B一定可以对角化，且从而可知阶矩阵与相似.2023年考研数学（三）真题填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分．把答案填在题中横线上）(1)若，则a=__＿_＿_,b=＿___＿_.（２）设函数f(u,v)由关系式f［xｇ(y),y］=x＋g(ｙ）拟定,其中函数g(y）可微,且ｇ(ｙ)0，则.(３)设,则.(4）二次型的秩为.(5)设随机变量服从参数为的指数分布,则＿＿____＿.(6)设总体服从正态分布，总体服从正态分布,和分别是来自总体和的简朴随机样本,则.二、选择题（本题共6小题，每小题４分,满分２４分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目规定，把所选项前的字母填在题后的括号内）(７)函数在下列哪个区间内有界.（A)(1,0)．ﻩﻩ(B)（0,1). （C)(1,2).ﻩ (Ｄ）(２,3）．[］(8)设f（ｘ)在(,+）内有定义,且,，则(A)ｘ=0必是g(x)的第一类间断点.ﻩ (Ｂ)x=0必是ｇ(ｘ)的第二类间断点.(C)ｘ=0必是g(x)的连续点.（D)g(ｘ)在点x=０处的连续性与a的取值有关.ﻩﻩ ﻩ［］(9)设f（ｘ）=｜x（１x)|,则(A)ｘ=0是f(ｘ)的极值点，但(0，0)不是曲线y=f(x）的拐点.（Ｂ）x=0不是f（x)的极值点，但(０,0)是曲线y=f（ｘ)的拐点．(C)ｘ=０是ｆ(x)的极值点，且(０，０)是曲线ｙ=ｆ(x)的拐点.（Ｄ)x＝0不是f（x)的极值点，(0,0）也不是曲线y=f（x)的拐点.ﻩﻩﻩ［](10)设有下列命题:ﻩ（1）若收敛，则收敛. (2）若收敛，则收敛.ﻩ(3）若，则发散.ﻩ(4)若收敛，则,都收敛.则以上命题中对的的是(A)(1)(2). ﻩ(B）(２）(3）.ﻩﻩ（C)(３)(4).ﻩ (D)(1）（4）．ﻩ [］(1１)设在[a,ｂ]上连续，且,则下列结论中错误的是ﻩ(Ａ）至少存在一点,使得>ｆ(a).ﻩ（B)至少存在一点,使得＞f(b).ﻩ(C)至少存在一点，使得． (D)至少存在一点，使得=0． ﻩ [Ｄ](１2）设阶矩阵与等价,则必有（A)当时，.(Ｂ）当时,.(C)当时,.（D)当时,.[］(1３)设阶矩阵的随着矩阵若是非齐次线性方程组的互不相等的解,则相应的齐次线性方程组的基础解系(A)不存在．(B)仅含一个非零解向量．(C)具有两个线性无关的解向量.(D）具有三个线性无关的解向量.ﻩﻩ [］(14）设随机变量服从正态分布,对给定的,数满足,若,则等于(Ａ).(Ｂ).(C）．(D).[]三、解答题(本题共9小题,满分９４分.解答应写出文字说明、证明过程或演算环节．)(15)(本题满分８分)ﻩ求.(１6）（本题满分8分) 求，其中D是由圆和所围成的平面区域(如图).(１7)（本题满分8分)ﻩ设f（ｘ）,ｇ（x）在［a，ｂ]上连续,且满足,x[a,ｂ），.证明:.（１8)(本题满分９分) 设某商品的需求函数为Ｑ=1005P,其中价格Ｐ(0,20)，Q为需求量. （I)求需求量对价格的弹性（>0);ﻩ(IＩ)推导(其中R为收益)，并用弹性说明价格在何范围内变化时，减少价格反而使收益增长.(19)(本题满分9分) 设级数的和函数为S（x)．求:(I）Ｓ(ｘ)所满足的一阶微分方程;(II)S(ｘ)的表达式．（2０）(本题满分13分)设,,,,试讨论当为什么值时,(Ⅰ)不能由线性表达；(Ⅱ）可由唯一地线性表达,并求出表达式;（Ⅲ）可由线性表达,但表达式不唯一,并求出表达式．(21)（本题满分1３分) 设阶矩阵.(Ⅰ)求的特性值和特性向量;(Ⅱ)求可逆矩阵，使得为对角矩阵.（22)(本题满分13分)ﻩ设,为两个随机事件，且,,,令求(Ⅰ)二维随机变量的概率分布;(Ⅱ）与的相关系数;(Ⅲ)的概率分布.(23)(本题满分13分）设随机变量的分布函数为其中参数.设为来自总体的简朴随机样本,(Ⅰ）当时,求未知参数的矩估计量；(Ⅱ)当时,求未知参数的最大似然估计量;（Ⅲ）当时，求未知参数的最大似然估计量.202３年考研数学(三)真题解析填空题(本题共６小题,每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）(1）若,则a＝,b=.【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.【详解】由于,且，所以,得a＝1.极限化为,得ｂ=4．因此，ａ=1，b=4.【评注】一般地,已知=A，(１)若g(x)０,则f(x)０；(２)若f（x）0，且Ａ0,则ｇ(x)０.（2)设函数f(u，ｖ)由关系式f［xg(y）,ｙ］=x+g(y)拟定,其中函数ｇ(ｙ）可微，且g(ｙ)0，则.【分析】令u=xg(y)，v=y,可得到f(u,v)的表达式,再求偏导数即可.【详解】令ｕ=xｇ(ｙ)，v=ｙ,则f(u,v)=， 所以，，．（３)设,则.【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元:ｘ1=t，再运用对称区间上奇偶函数的积分性质即可.【详解】令ｘ1=ｔ， =．【评注】一般地,对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解.(4)二次型的秩为2.【分析】二次型的秩即相应的矩阵的秩,亦即标准型中平方项的项数,于是运用初等变换或配方法均可得到答案.【详解一】由于于是二次型的矩阵为，由初等变换得,从而,即二次型的秩为2.【详解二】由于，其中.所以二次型的秩为２.(5)设随机变量服从参数为的指数分布，则.【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得对的答案.【详解】由于，的分布函数为 故.【评注】本题是对重要分布,即指数分布的考察,属基本题型．(６）设总体服从正态分布,总体服从正态分布,和分别是来自总体和的简朴随机样本,则.【分析】运用正态总体下常用记录量的数字特性即可得答案．【详解】由于,,故应填.【评注】本题是对常用记录量的数字特性的考察.二、选择题（本题共６小题,每小题4分,满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目规定，把所选项前的字母填在题后的括号内）(7）函数在下列哪个区间内有界.（A）(1,０).ﻩﻩ(B)(0，１）. ﻩ（C)(1,２).ﻩ (Ｄ)(2，3）.[Ａ]【分析】如f(x）在(a,b)内连续，且极限与存在,则函数ｆ(x）在(ａ,b）内有界．【详解】当x0,1,2时，ｆ(x)连续，而，，，,，所以，函数f(x)在(1,0)内有界,故选(A）.【评注】一般地，如函数f(x)在闭区间[a，ｂ]上连续，则ｆ(x)在闭区间[ａ,b］上有界；如函数ｆ(x)在开区间（a，b）内连续，且极限与存在，则函数ｆ(x）在开区间(a,b)内有界.(８）设ｆ(ｘ）在（，+）内有定义,且,ﻩ ，则（Ａ)x=０必是ｇ（x)的第一类间断点. (B)x=0必是g(x)的第二类间断点.(Ｃ)x＝0必是g(x）的连续点．(D)g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关. ﻩﻩ ﻩ[D]【分析】考察极限是否存在，如存在,是否等于g(0)即可，通过换元，可将极限转化为．【详解】由于=a(令)，又g(０)=０,所以,ﻩ当a=０时，，即g（x)在点x＝0处连续,当a0时,,即ｘ=0是g（x)的第一类间断点,因此，g（x)在点ｘ=０处的连续性与a的取值有关，故选(D).【评注】本题属于基本题型，重要考察分段函数在分界点处的连续性.（9)设f（x)＝|x(１x)|，则(A)x＝0是f（ｘ)的极值点,但(0,0)不是曲线ｙ=f(x)的拐点.(B）x=0不是ｆ（x)的极值点,但(0,０)是曲线ｙ=f(x)的拐点.（C）ｘ=0是f（x）的极值点，且(0，0)是曲线ｙ=f(ｘ)的拐点.（Ｄ)x＝0不是ｆ(ｘ)的极值点,(0,0)也不是曲线y＝ｆ(x)的拐点． ﻩ[Ｃ]【分析】由于f(x)在x＝0处的一、二阶导数不存在，可运用定义判断极值情况，考察f(x）在x=0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.【详解】设０<＜1，当x（,0)(0,)时，f（x)>0，而f(0)=0,所以x=０是f(x）的极小值点.ﻩ显然,ｘ=０是ｆ（x)的不可导点.当x(，0)时，f(x)=x（1ｘ),，ﻩ当ｘ(0,)时，ｆ(x)=ｘ(1x),,所以(0,０)是曲线y=f(x)的拐点. 故选(C）.【评注】对于极值情况，也可考察f(x)在x=0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断.(10)设有下列命题:ﻩ(1)若收敛,则收敛. (2）若收敛，则收敛.ﻩ(3)若，则发散.ﻩ(4）若收敛，则,都收敛.则以上命题中对的的是(A）(1)(2).ﻩﻩ(B)（2)(3）.ﻩﻩ(C）(３)(4).ﻩ (Ｄ)(1)(4).ﻩﻩ[B］【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的对的性.【详解】(1)是错误的,如令，显然,分散，而收敛.(2)是对的的，由于改变、增长或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.(3)是对的的,由于由可得到不趋向于零（ｎ）,所以发散.（4)是错误的,如令，显然，，都发散,而收敛.故选(Ｂ）.【评注】本题重要考察级数的性质与收敛性的判别法,属于基本题型.（１1）设在［a，b］上连续,且，则下列结论中错误的是ﻩ(A)至少存在一点,使得>ｆ(a).ﻩ（B)至少存在一点,使得＞ｆ（b).ﻩ(C)至少存在一点,使得． （D)至少存在一点,使得=0. ﻩﻩﻩﻩ[D］【分析】运用介值定理与极限的保号性可得到三个对的的选项,由排除法可选犯错误选项.【详解】一方面,由已知在[a,ｂ]上连续，且,则由介值定理，至少存在一点,使得； 此外，,由极限的保号性,至少存在一点 使得,即.同理,至少存在一点ﻩ使得.所以，(A）(B)(C）都对的,故选(Ｄ）．【评注】本题综合考察了介值定理与极限的保号性，有一定的难度.(12）设阶矩阵与等价，则必有(A)当时,．(B)当时,．（C)当时,.(D)当时,.[D]【分析】运用矩阵与等价的充要条件:立即可得.【详解】由于当时，,又与等价,故,即,故选(D).【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考察，属基本题型．(１3)设阶矩阵的随着矩阵若是非齐次线性方程组的互不相等的解,则相应的齐次线性方程组的基础解系(A)不存在.(B)仅含一个非零解向量．(Ｃ)具有两个线性无关的解向量.(Ｄ)具有三个线性无关的解向量. ﻩﻩ[B]【分析】要拟定基础解系含向量的个数，事实上只要拟定未知数的个数和系数矩阵的秩.【详解】由于基础解系含向量的个数=,并且根据已知条件于是等于或.又有互不相等的解,即解不惟一,故.从而基础解系仅含一个解向量,即选（Ｂ).【评注】本题是对矩阵与其随着矩阵的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考察.（１4)设随机变量服从正态分布,对给定的，数满足,若,则等于(A）.（B）.(Ｃ）.(D).[Ｃ］【分析】运用标准正态分布密度曲线的对称性和几何意义即得.【详解】由,以及标准正态分布密度曲线的对称性可得.故对的答案为(C).【评注】本题是对标准正态分布的性质,严格地说它的上分位数概念的考察.三、解答题（本题共９小题,满分９４分．解答应写出文字说明、证明过程或演算环节.)（15)（本题满分8分)求.【分析】先通分化为“”型极限，再运用等价无穷小与罗必达法则求解即可.【详解】 =.【评注】本题属于求未定式极限的基本题型,对于“”型极限，应充足运用等价无穷小替换来简化计算.(16）（本题满分8分)求，其中D是由圆和所围成的平面区域（如图)．【分析】一方面，将积分区域D分为大圆减去小圆ﻩ，再运用对称性与极坐标计算即可．【详解】令,ﻩ由对称性,.ﻩ.ﻩﻩ所以，.【评注】本题属于在极坐标系下计算二重积分的基本题型,对于二重积分,经常运用对称性及将一个复杂区域划分为两个或三个简朴区域来简化计算．(17)(本题满分８分) 设f(x),g（x)在[a,b]上连续,且满足，ｘ[a,b），．证明：.【分析】令F（ｘ)=f（x）g(x),，将积分不等式转化为函数不等式即可.【详解】令F(x)＝f(x)g(ｘ),， 由题设G(ｘ)0,x[a，ｂ]， G(a)=Ｇ（ｂ)＝0,． 从而，ﻩ由于Ｇ(x)0，x[ａ，b],故有ﻩﻩ，ﻩ即.ﻩ因此．【评注】引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.(1８）(本题满分9分）ﻩ设某商品的需求函数为Ｑ=1０05P，其中价格P(0，2０)，Q为需求量．ﻩ(Ｉ)求需求量对价格的弹性（>０)；ﻩ(II)推导（其中R为收益),并用弹性说明价格在何范围内变化时,减少价格反而使收益增长.【分析】由于>0,所以；由Ｑ=PQ及可推导.【详解】(I)． (IＩ)由R=PQ，得ﻩﻩ. 又由,得P＝10．ﻩ当10<P<２0时，>1，于是， 故当10<P<2０时，减少价格反而使收益增长.【评注】当>0时，需求量对价格的弹性公式为.ﻩ运用需求弹性分析收益的变化情况有以下四个常用的公式:ﻩ，,，(收益对价格的弹性）.(19）（本题满分9分) 设级数的和函数为S(ｘ）．求：(I)S(x)所满足的一阶微分方程;（IＩ)S(ｘ)的表达式.【分析】对S（ｘ)进行求导，可得到Ｓ(ｘ)所满足的一阶微分方程，解方程可得S(x）的表达式.【详解】(Ｉ)， 易见S(０)=０， ﻩﻩﻩ ﻩ ﻩﻩ. 因此S(ｘ)是初值问题ﻩﻩ 的解.ﻩ（ＩＩ)方程的通解为 ﻩ ，ﻩﻩ由初始条件ｙ(０)=０，得Ｃ=1.ﻩ故,因此和函数.【评注】本题综合了级数求和问题与微分方程问题，20２３年考过类似的题.(20)(本题满分１3分)设,,,，试讨论当为什么值时，(Ⅰ)不能由线性表达;(Ⅱ)可由唯一地线性表达,并求出表达式;（Ⅲ)可由线性表达,但表达式不唯一,并求出表达式.【分析】将可否由线性表达的问题转化为线性方程组是否有解的问题即易求解.【详解】设有数使得.(*）记.对矩阵施以初等行变换，有．(Ⅰ)当时，有.可知.ﻩ故方程组（*)无解,不能由线性表达.(Ⅱ)当,且时,有,ﻩ方程组(*)有唯一解:,,.此时可由唯一地线性表达,其表达式为.(Ⅲ)当时,对矩阵施以初等行变换,有,, 方程组(*)有无穷多解，其所有解为,,，其中为任意常数.ﻩ可由线性表达,但表达式不唯一,其表达式为.【评注】本题属于常规题型，曾考过两次(1991,20２３).(21)(本题满分1３分)ﻩ设阶矩阵．（Ⅰ)求的特性值和特性向量；(Ⅱ)求可逆矩阵,使得为对角矩阵.【分析】这是具体矩阵的特性值和特性向量的计算问题,通常可由求解特性方程和齐次线性方程组来解决．【详解】(Ⅰ)当时,=,得