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文档简介

主讲王娜第四章特征值与特征向量特征值与特征向量的求法2.特征值与特征向量的概念1.知识点1--特征值与特征向量的概念与求法A=

n阶方阵

非零向量

特征值

特征向量对应一、特征值与特征向量的概念如，即A=

，则=1为矩阵

的特征值，为A的属于=1的特征向量。

A=

(A–E)=0|A–E|=0

特征方程|A–E|=

a11–

a12…a1n

a21

a22–…a2n…………

an1

an2…ann–

特征多项式A–

E

特征矩阵

特征值

特征向量(非零)

A：n阶方阵(2)一个特征向量不能属于不同的特征值。(1)矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；注意若为A的属于的特征向量，则k（k≠0）也是A的属于的特征向量。即A的属于的特征向量不唯一。若1，2为A的属于的特征向量，则k11+k22≠0（k1，k2不全为零）也是A的属于的特征向量。(A–E)=0(1)0为A的特征值|A–0E|=0.(2)为A的对应于0特征向量(A–0E)=0.1.理论依据2.步骤计算|A–E|

求|A–E|=0的根求(A–E)x=0的基础解系二、特征值与特征向量的求法思考对角矩阵的特征值为_________上三角矩阵的特征值为_________求特征值就是求一元n次方程的根；求特征向量就是求解相应的齐次线性方程组的非零解.例1

求矩阵的特征值与特征向量.的特征方程为的特征值为解所以即求特征方程的根解齐次线性方程组一个基础解系为于是，属于的全部特征向量为

（）.即求齐次线性方程组的全部非零解例2

求矩阵的特征值与特征向量.的特征方程为所以的特征值为解对于，求解齐次线性方程组解得一个基础解系为于是，属于的全部特征向量为（)行初等变换对于，求解齐次线性方程组解得一个基础解系为于是，属于的全部特征向量为例3

设，求的特征值与的特征向量.的特征方程为所以的特征值为解所有元素均为1对于，求解齐次线性方程组解得一个基础解系为于是，属于的全部特征向量为（不全为零）.基础解系不唯一，进而属于某一特征值的线性无关的特征向量不唯一对于，求解齐次线性方程组解得一个基础解系为于是，属于的全部特征向量为求方阵特征值与特征向量的步骤：

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