2023版高考数学考点47条件概率与二项的分布试题解读与变式

考点47条件概率与二项的分布【考纲要求】了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题.【命题规律】条件概率与二项的分布问题在选择题、填空题以及解答题中都会考查，在解答题中出现时难度较大.【典型高考试题变式】〔一〕二项分布例1.【2023课标II】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，那么.【答案】【变式1】随机变量X服从二项分布B(n，p)，假设E(X)＝30，D(X)＝20，那么p＝________.【答案】【解析】由E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np〔1－p〕＝20，))解得.【变式2】设事件A在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，假设事件A至少发生一次的概率为eq\f(63,64)，那么事件A恰好发生一次的概率为________．【答案】【解析】假设事件A在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X～B(3，p)，那么有1－(1－p)3＝eq\f(63,64)，得p＝eq\f(3,4)，那么事件A恰好发生一次的概率为Ceq\o\al(1,3)×eq\f(3,4)×＝.〔二〕条件概率例2.(2023·课标Ⅱ)某地区空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6.某天的空气质量为优良，那么随后一天的空气质量为优良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【解析】设“一天的空气质量为优良〞为事件A，“连续两天为优良〞为事件AB，那么某天的空气质量为优良，随后一天的空气质量为优良的概率为P(B|A)．由条件概率可知，P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)＝eq\f(0.6,0.75)＝eq\f(4,5)＝0.8，应选A.【名师点睛】计算条件概率有两种方法．(1)利用定义P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)；(2)假设n(C)表示试验中事件C包含的根本领件的个数，那么P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).【变式1】先后掷骰子〔骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点〕两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x、y，设事件A为“x+y为偶数〞，事件B为“x、y中有偶数，且x≠y〞，那么概率P(B|A)=〔〕A．B．C．D．【答案】B【变式2】甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现目标被击中，那么它是被甲击中的概率为()A．0.45B．0.6【答案】D【解析】设目标被击中为事件B，目标被甲击中为事件A，那么由P(B)＝0.6×0.5＋0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.8，得P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(PA,PB)＝eq\f(0.6,0.8)＝0.75.【数学思想】〔1〕函数方程思想.〔2〕转化与化归思想.【温馨提示】〔1〕条件概率的问题中：①事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法．②当根本领件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的根本领件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的根本领件数，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n〔AB〕,n〔A〕).〔2〕注意二项分布满足的条件：①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．③注意弄清楚超几何分布与二项分布的区别与联系.【典例试题演练】1.〔黑龙江省大庆第一中学2023届高三下学期第二阶段考试数学〔理〕试题〕先后掷骰子〔骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点〕两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x、y，设事件A为“x+y为偶数〞，事件B为“x、y中有偶数，且x≠y〞，那么概率P(B|A)=〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】事件A为“为偶数〞所包含的根本领件数有,，，，共18种，事件AB为“x、y中有偶数，且x≠y，x+y为偶数〞，所包含的根本领件数有，共6种，由条件概率计算公式可得P(B|A)=.2.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数〞，事件B＝“取到的2个数均为偶数〞，那么P(B|A)＝()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,2)【答案】B【解析】P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，又A⊇B，那么P(AB)＝P(B)＝eq\f(1,10)，所以P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)＝eq\f(P〔B〕,P〔A〕)＝eq\f(1,4).3.(eq\a\vs4\al(2023·新课标Ⅱ))某地区空气质量监测资料说明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，某天的空气质量为优良，那么随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0【答案】A4.【2023年第一次全国大联考〔新课标卷Ⅱ〕】甲、乙、丙、丁四名同学报名参加四项体育比赛，每人限报其中一项，记事件“4名同学所报比赛各不相同〞，事件“甲同学独报一项比赛〞，那么〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，应选A．5.某运发动投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，假设他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，那么E(X)，D(Y)分别为()A.0.6，60B.3，12C.3，120D.3，1【答案】C【解析】X～B(5，0.6)，Y＝10X，所以E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2.D(Y)＝100D(X)＝120，应选C.6.假设ξ～B(n，p)，且＝6，＝3，那么P(ξ＝1)的值为()A.B.C.D.【答案】C【解析】np＝6，npq＝3，∴q＝eq\f(1,2)，p＝1－q＝eq\f(1,2)，n＝12.∴p(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,12)·＝3·2－10，应选C.7.设随机变量X服从正态分布N(3,4)，假设P(X＜2a－3)＝P(X＞a＋2)，那么aA．3B.eq\f(5,3)C．5D.eq\f(7,3)【答案】D【解析】因为X服从正态分布N(3,4)，P(X＜2a－3)＝P(X＞a＋2)．所以2a－3＋a＋2＝6，a＝eq\f(7,3).8.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，那么从2号箱取出红球的概率是()A.eq\f(11,27)B.eq\f(11,24)C.eq\f(16,27)D.eq\f(9,24)【答案】A9.随机变量X服从二项分布B(n，p)，假设E(X)＝30，D(X)＝20，那么p＝________.【答案】5【解析】由E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np〔1－p〕＝20，))解得p＝eq\f(1,3).10.甲袋中有2个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球.现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋，然后从乙袋中随机地取出一球，那么取出的球是白球的概率是________.【答案】【解析】设A表示事件“从甲袋放入乙袋中的球是白球〞，B表示事件“最后从乙袋中取出的球是白球〞.所以P(A)＝eq\f(2,6)，P(A)＝eq\f(4,6)，P(B|A)＝eq\f(2,4)，P(B|A)＝eq\f(1,4).P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝eq\f(2,6)×eq\f(2,4)＋eq\f(4,6)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,3).11.如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内〞，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影局部)内〞，那么P(B|A)＝________．【答案】【解析】依题意得，P(A)＝eq\f(\r(2)×\r(2),π)＝eq\f(2,π)，P(AB)＝eq\f(\f(1,2)×1×1,π)＝eq\f(1,2π)，那么由条件概率的意义可知，P(B|A)＝eq\f(P〔AB〕,P〔A〕)＝eq\f(1,4).12.【2023安徽阜阳二模】一企业从某生产线上随机抽取件产品，测量这些产品的某项技术指标值，得到的频率分布直方图如图.〔1〕估计该技术指标值平均数；〔2〕在直方图的技术指标值分组中，以落入各区间的频率作为取该区间值的频率，假设，那么产品不合格，现该企业每天从该生产线上随机抽取件产品检测，记不合格产品的个数为，求的数学期望.【解析】〔1〕，〔2〕由频率分布直方图可知，所以，所以13.【2023江西师大附中、临川一中联考】某理科考生参加自主招生面试，从7道题中〔4道理科题3道文科题〕不放回地依次任取3道作答.〔1〕求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；〔2〕规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，假设每题答对得10分，否那么得零分.现该生已抽到三道题〔两理一文〕，求其所得总分的分布列与数学期望.【解析】〔1〕记“该考生在第一次抽到理科题为事件A〞，“该考生第二次和第三次均抽到文科题为事件B〞，那么，.所以该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次抽到文科题的概率为.〔2〕的可能取值为0，10，20，30，那么，，，.所以的分布列为0102030所以，的数学期望.14.甲乙两班进行消防平安知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对那么为本队得1分，答错不答都得0分，甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是．设每人答复正确与否相互之间没有影响，用表示甲队总得分．〔1〕求随机变量的分布列及其数学期望E；〔2〕求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．【解析】〔1〕的可能取值为0，1，2，3;;;,所以的分布列为0123,15.【2023年第一次全国大联考〔山东卷〕】某社区为丰富居民节日活动，组织了“迎新春〞象棋大赛，由1,2,3号三位男性选手和4,5号两位女性选手组成混合组参赛.象棋大赛共有三轮，设三位男性选手在一至三轮胜出的概率依次是；两名女性选手在一至三轮胜出的概率依次是.〔1〕假设该组五名选手与另一组选手进行小组淘汰赛，每名选手只比赛一局，共五局比赛，求该