2023年山西省柳林县联盛高三一诊考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知正四面体ABCD的棱长为1,O是该正四面体外接球球心，且=x而+y/+z正，x,y,zeR,则

x+y+z-()

2.一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两

个小球时，记取出的红球数为。；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；2,则（）

A.明<%,D&<D&2B.圆=%,呢

C.唠*,D&i<D42D.碣〉砥，

3.已知将函数/（x）=sin（s+。）（0<。<6,-3<8<3）的图象向右平移g个单位长度后得到函数g（x）的图

7T

象，若/（X）和g（x）的图象都关于尤=一对称，则下述四个结论:

4

/（x）

①0=3②0=7③/=V2④点卷人为函数的一个对称中心

~~2

其中所有正确结论的编号是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

4.已知命题p：若a>l,b>c>\,则log7,a<log,a；命题q：*(0,+8),使得2“<log?/"，则以下命题为真

命题的是()

A.pzqB.p/\(F)C.(-77)AqD.(-/7)

5.已知向量a=(l,2),b-(4Z,-1)»且a_L/j，则丸=()

\_

C.1D.2

24

6.等腰直角三角形ABE的斜边A3为正四面体A8CD侧棱，直角边绕斜边A8旋转，则在旋转的过程中，有下

列说法：

（1）四面体E-BCD的体积有最大值和最小值；

（2）存在某个位置，使得他_1%>;

（3）设二面角O-9―E的平面角为6,则82ND4E；

（4）AE的中点M与AB的中点N连线交平面5CD于点尸，则点尸的轨迹为椭圆.

其中，正确说法的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

7.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是（）

8.已知。=log374,b=log2m,c=1-,若a>b>c,则正数m可以为（）

A.4B.23C.8D.17

9.已知平面a,夕，直线/满足/ua,则“/"!万”是“a,尸”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分也不必要条件

10.根据如图所示的程序框图，当输入的x值为3时，输出的>值等于（）

11.从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图:

频率

0.040--------------------------------------1---------

0.020----------------------------1-----------------------------

0005二।

°14015（）160170180190200身高/cm

根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为

A.171.25cmB.172.75cm

C.173.75cmD.175cm

22_______

12.设耳人是双曲线鼻一马■=l（a>0,b>0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P,使（而+%）•哥=0

（。为坐标原点），且西=6飓,则双曲线的离心率为（）

A.^±1B.V2+1C.D.百+1

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数x、,满足y42x-l,且可行域表示的区域为三角形，则实数机的取值范围为,若目标函数

z=x-y的最小值为-1,则实数加等于.

14.双曲线C:反-£=1的左右顶点为48,以A3为直径作圆。，P为双曲线右支上不同于顶点8的任一点，连

43

接PA交圆。于点Q，设直线的斜率分别为3％2,若匕=〃：2,则4=.

15.(a+x)(l+x)4的展开式中，若x的奇数次塞的项的系数之和为32,则。=

y>x

16.已知实数x,y满足2x-y20,则z=上一的最大值为_____.

「x+2

x+y<5

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数FOO=】nx-R(aeR).

(I)求函数/*)的单调区间；

(U)当。>0时，求函数Ax)在［1,2］上最小值.

18.(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为〈(f为参数)，以坐标原点。为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为夕2-4夕cos。=3.

(1)求直线/的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)直线/与圆C交于A,B两点,点P(2,l),求|科卜|尸8|的值.

x=2g+at

19.(12分)在平面直角坐标系xOy中，直线/的的参数方程为〈「(其中［为参数)，以坐标原点。为极

y=4+J3/

点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A的极坐标为直线/经过点A.曲线C的极坐标方程为

psin20=4cos6.

(1)求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程;

(2)过点P(6,o)作直线/的垂线交曲线。于两点(。在X轴上方)，求

20.(12分)已知数列｛4｝是各项均为正数的等比数列(〃eN*),q=2,且2q,%，34成等差数列.

(I)求数列伍“｝的通项公式；

(II)设勿=1鸣4,s“为数列也｝的前〃项和，记<=1+!+/+……+=,证明：L,(<2.

21.(12分)已知函数/(x)=ei-ln(x+a)(a>0).

(1)证明：函数/'(X)在(0,+8)上存在唯一的零点;

(2)若函数.f(x)在区间(0,+oo)上的最小值为1,求。的值.

22.(10分)唐诗是中国文学的瑰宝.为了研究计算机上唐诗分类工作中检索关键字的选取，某研究人员将唐诗分成7

大类别，并从《全唐诗》48900多篇唐诗中随机抽取了500篇，统计了每个类别及各类别包含“花”、“山”、“帘”字的

篇数，得到下表：

爱情婚姻咏史怀古边塞战争山水田园交游送别羁旅思乡其他总计

篇数100645599917318500

含，，山，，字的

5148216948304271

篇数

含“帘”字的

2120073538

篇数

含“花，，字的

606141732283160

篇数

(1)根据上表判断，若从《全唐诗》含“山”字的唐诗中随机抽取一篇，则它属于哪个类别的可能性最大，属于哪个类

别的可能性最小，并分别估计该唐诗属于这两个类别的概率；

(2)已知检索关键字的选取规则为：

①若有超过95%的把握判断“某字”与“某类别”有关系，则“某字”为“某类别”的关键字；

②若“某字”被选为"某类别''关键字，则由其对应列联表得到的K?的观测值越大，排名就越靠前；

设“山，”，帘，，”花，，和“爱情婚姻，，对应的心观测值分别为占，&，&•已知K«0.516,k2«31.962,请完成下面列联

表，并从上述三个字中选出“爱情婚姻”类别的关键字并排名.

属于“爱情婚姻''类不属于“爱情婚姻”类总计

含“花”字的篇数

不含“花”的篇数

总计

2

2n(ad-bc)

附：K=---------------,其中〃=a+6+c+d.

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.050.0250.010

k3.8415.0246.635

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

3

如图设4尸，平面BCD,球心。在Ab上，根据正四面体的性质可得&。==AE,根据平面向量的加法的几何意义,

4

重心的性质，结合已知求出x+y+2的值.

【详解】

如图设AbJ_平面BCD,球心。在AE上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，

旦,在直角三角形R9B中，

3

OB2=OF2+BF2=>OA2=（乎-AO）2+（^）2

A.O----,

4

3_.__

AO=-AF,AF^AB+BF>AF-AD+DF>AFAC+CF＞因为E为重心，因此“+定+应5=0，则

4

一\13

3AF=AB+AC+AD>因此於二（而+而-rA。），因此x=y=z=—,则x+y+z=—,故选A.

'44

A

c

【点睛】

本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义,考查了重心的性质，属于中档题.

2.B

【解析】

分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系.

【详解】

。可能的取值为0』,2；&可能的取值为0，1，

4144

尸信=。)=§，「值=2)=5,尸值=i)=i一§

99

24xOx一4

故七5=§,D^,=02X-+22

9999

尸©=。)=言=!，。©=1)=2x1x22

DXND3x23

42

故E&=g，"2=。2xl+Px2.

33995

故E。=E^2,•故选B.

【点睛】

离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值

情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.

3.B

【解析】

首先根据三角函数的平移规则表示出g(X),再根据对称性求出①、(P,即可求出.f(x)的解析式，从而验证可得;

【详解】

解：由题意可得g(x)=sin|

\3?

71.71

-CO-\-（p-k]7TT——

7T42仅匕eZ）,

又."⑶和山)的图象都关于：对称，

71冗，万'

—CO--CD+（p=k27l+—

•••解得大0=（a-&）乃（4，七eZ）,即<w=3化）（人eZ）,又0<6,二<y=3,（P—~~

汽、

.,./（x）=sin：.f=sin0,

6>

①③④正确，②错误.

故选：B

【点睛】

本题考查三角函数的性质的应用，三角函数的变换规则，属于基础题.

4.B

【解析】

先判断命题P，4的真假，进而根据复合命题真假的真值表，即可得答案.

【详解】

,1,111

•og/7a=------,log(.a=------,因为。>1,b>c>\,所以0<108/<108“方，所以----->-----即命题p

log„blog“clogaclog,力

为真命题；画出函数y=2'和.v=log3X图象，知命题g为假命题，所以〃△(「外为真.

本题考查真假命题的概念，以及真值表的应用，解题的关键是判断出命题〃国的真假，难度较易.

5.A

【解析】

根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得2的值.

【详解】

由于向量£=(1,2),3=(44-1),S.aib,所以lx4/l+2x(—l)=0解得;1=：.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.

6.C

【解析】

解：对于(1),当平面ABE,且E在A3的右上方时，E到平面的距离最大，当C0J_平面A5E,且E在

AB的左下方时，E到平面BCD的距离最小，

二四面体E-8CO的体积有最大值和最小值，故(1)正确；

对于(2),连接OE,若存在某个位置，使得AEJ_3£),又则AE_L平面8OE,可得AE_LZ>E,进一步可得

AE=DE,此时E-AB。为正三棱锥，故(2)正确；

对于（3）,取AS中点0,连接OO,EO,则NOOE为二面角O-AB-E的平面角，为0,

直角边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，。6[0,兀），

7T

ZDAEG[—,7t）,所以aNZME不成立.（3）不正确；

对于（4）AE的中点M与A3的中点N连线交平面BC。于点P,尸到BC的距离为：dp.Bc,

IpBI

因为上上<1,所以点尸的轨迹为椭圆.（4）正确.

+-BC

故选：C.

点睛：该题考查的是有关多面体和旋转体对应的特征，以几何体为载体，考查相关的空间关系，在解题的过程中，需

要认真分析，得到结果，注意对知识点的灵活运用.

7.B

【解析】

该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体，其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形，圆锥的高为4,

底面半径为2,贝!!其体积为V=,x4x4x2+Lx」x万x4x4,

223

ir8

=16d"一兀.

3

故选B

点睛：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正

视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.

8.C

【解析】

首先根据对数函数的性质求出。的取值范围，再代入验证即可；

【详解】

解：•.•3=log327<a=k>g374<log381=4,.,.当加=8时，6=1（峪2，"=3满足4>6>0,，实数m可以为8.

故选：c

【点睛】

本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.

9.A

【解析】

仅是相交平面，直线/u平面a,贝!)"/•!4”=反之a工0,直线/满足/ua,贝!j/_L〃或〃/4

或/u平面仅，即可判断出结论.

【详解】

解：已知直线/u平面a,贝ij“/_!_，”=>“a_!_，”，

反之a,力，直线/满足/ua,贝或〃/4或/u平面夕，

△”是“a_L力”的充分不必要条件.

故选：A.

【点睛】

本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力.

10.C

【解析】

根据程序图，当x<()时结束对x的计算，可得y值.

【详解】

由题x=3,x=x-2=3-l,此时x>0继续运行，x=l-2=-l<0,程序运行结束，得y=,故选C.

【点睛】

本题考查程序框图，是基础题.

11.C

【解析】

由题可得(0.005x2+a+0.020x2+0.040)xl0=l,解得。=0.010,

贝!!(0.005+0.010+0.020)x10=0.35,0.35+0.040x10=0,75>0.5,

所以这部分男生的身高的中位数的估计值为170+铮=祟xl0=173.75(cm),故选C.

10x0.040

12.D

【解析】

利用向量运算可得•£》=(),即砺J,£A,由0A为APG居的中位线，得到尸片,尸工，所以

|Pf；|2+|P^|2=(2C)2,再根据双曲线定义即可求得离心率.

【详解】

取尸F2的中点A，则由(而+西)•哥=0得2方•亏=0,

即砺，哥；

在耳工中，Q4为△2£亮的中位线，

所以「耳上?名，

所以|PK『+|尸乙「=(2c『；

由双曲线定义知1mHp周二2a,且|P|=6|P闾，所以(G—l)c=2a,

解得e=6+1，

故选：D

【点睛】

本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质，难度一般.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.m>2m=5

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合目标函数z=x-y的最小值，利用数形结合即可得到

结论.

【详解】

作出可行域如图，

则要为三角形需满足3(1,1)在直线x+y=m下方，即1+1<机，m>2；

目标函数可视为y=X-Z,贝k为斜率为1的直线纵截距的相反数,

该直线截距最大在过点A时，此时zmin=-1,

直线Q4：y=x+l,与A3：丁=2%-1的交点为4（2,3）,

该点也在直线AC：x+y=m±_,故加=2+3=5,

故答案为：加＞2；m-5.

【点睛】

本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属

于基础题.

3

14.——

4

【解析】

2q

根据双曲线上的点的坐标关系得即-=^—=-,Q4交圆。于点Q,所以PALQB,建立等

2

Xo+2%-2x0-44

式kpA-kQB=-l,两式作商即可得解.

【详解】

设P（X0,%）,A（—2,0）3（2,0）

与T=】，卜汨-4）

kk=%%=）＞=3

PAPB4

5+2Xo-2V-4

Q4交圆。于点。，所以PAJ.Q5

'3

=&kpAkpB-~kpB23

易知:彳4=＞-^=z=一一

11

kPA-kQB=-1Q

k,3

即{

3

故答案为：-二

【点睛】

此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系,涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题

可以简化计算.

15.3

【解析】

试题分析：由已知得(1+4=1+4X+6X2+4?+X4,故(a+x)(l+x)4的展开式中x的奇数次幕项分别为4ax,

4a?,x,6/，其系数之和为4a+4a+1+6+1=32,解得a=3.

考点：二项式定理.

10

16.—

11

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，将目标函数理解为点(x,y)与(-2,0)构成直线的斜率，数形结合即可求得.

【详解】

不等式组表示的平面区域如下所示:

510

数形结合可知，当且仅当目标函数过点83'T时，斜率取得最大值,

10

故z的最大值为J一=件

-+211

3

故答案为：耳.

【点睛】

本题考查目标函数为斜率型的规划问题，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(I)见解析；(II)当0<a<ln2时，函数.f(x)的最小值是/(为小=一。；当a21n2时，函数f(x)的最小值是

Jf(\xz)m.in=In2-2^

【解析】

(1)求出导函数，并且解出它的零点X=,再分区间讨论导数的正负，即可得到函数f(X)的单调区间；

(2)分三种情况加以讨论，结合函数的单调性与函数值的大小比较，即可得到当0VaVln2时，函数f(x)的最小

值是-a；当aKn2时，函数f(x)的最小值是In2-2a.

【详解】

(1)函数fM的定义域为(0,+oo).

/(%)=--«=—

XX

因为a>0,令/次x)=,-a=(),可得x=

xa

当0<x<l时，/(x)=^^>0：当时，f(x)=_L^E<(),

axax

综上所述：可知函数/的单调递增区间为(0,：］,单调递减区间为15,+8

(2)(i)当0<工41,即“N1时，函数f(x)在区间［1,2］上是减函数，

a

/(X)的最小值是/⑵=In2—2a

①)当,22,即时，函数f(x)在区间［1,2］上是增函数，

a2

・•・/(x)的最小值是八1)=-a

(历)当1<5<2,即;<a<l时，函数f(x)在上是增函数，在(J2］上是减函数.

又•.•/⑵—f(l)=ln2-a,

当g<a<In2时，的最小值是,/(1)=—a；

当ln2<a<l时，f(x)的最小值为/(2)=ln2—2a

综上所述，结论为当0<a<In2时，函数/(%)的最小值是,/(x)inin=一。；

当a2In2时，函数/(x)的最小值是/口焉=In2-2。.

【点睛】

求函数/(x)极值与最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数/'(X)；(3)解方程/'(x)=0,求出函数定义域

内的所有根；（4）列表检查了'（X）在r（x）=o的根%左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么/（X）在瓦

处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么/（X）在•%处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极

值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小

18.（1）直线/的普通方程x+y-3=0,圆C的直角坐标方程：X2+/-4X-3=0.（2）6

【解析】

（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系式即可求解.

【详解】

fV2

X=2H-----1

2

（1）直线，的参数方程为:。为参数），转换为直角坐标方程为x+y-3=0.

圆C的极坐标方程为p2-4pcos0=3,转换为直角坐标方程为J^+J2-4x-3=0.

2

（2）把直线/的参数方程为〈（f为参数），代入圆的直角坐标方程/+'2-4厂3=0,

得到『一万-6=0,

所以必||尸8|=|，曲|=6.

【点睛】

本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

19.（1）y=y/3x-2,y2=4x；（2）；

【解析】

X=OCOS0

⑴利用代入法消去参数可得到直线/的普通方程，利用公式.八可得到曲线C的直角坐标方程;（2）设直线。石

y-夕sinJ

X=—--ti

的参数方程为2a为参数），

代入y2=4x得产+86.一166=0,根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.

【详解】

x=2>/3+at,

(1)由题意得点A的直角坐标为(百』)，将点A代入，得

y=4+y/3t，t

则直线I的普通方程为y=>/3x-2.

由夕sin?。=4cosB得夕〈in?。=4夕cos。，即y2=4x.

故曲线C的直角坐标方程为

X—\/3-----ty

(2)设直线r>E的参数方程为2a为参数)，

1

Iy=T2

代入y2=以得r+8G/_i6G=0.

设。对应参数为f1,£对应参数为则4+马=一8西，隼2=-1函，且4>0,/2<0.

.J_____1__J___l__j_1_r,+r2_1

一两一两=「同丁丁7r=/.

【点睛】

参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如cos2a+sin2a=1等三角恒等式)消去参数化为普通方程，通过选取相

’222

X-pcosdA+｝-P

应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式,八，等可以把极坐标方程与直角坐标方

y=psin£—=tan

程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题.

20.(I)%=2","eN*；(II)见解析

【解析】

(I)由卬=2,且2%,%,3出成等差数列，可求得g,从而可得本题答案；

(II)化简求得"，然后求得!，再用裂项相消法求7,，即可得到本题答案.

【详解】

(I)因为数列｛%｝是各项均为正数的等比数列(〃eN*),q=2,可设公比为q,q>0,

又24，4，34成等差数列，

2

所以2%=2a]+3a2,即2x2q=4+3x2g,

解得4=2或q=-g(舍去)，则%=4qi=2",neN*;

(II)证明：2=log2an=log22"=〃，

1121>

Sn--n(n+l),—=-----=2-------,

2Sn〃(〃+1)I〃rt+1J

贝!I毒=♦+/+!+……+!=2(1_彳+1-；+——+，一一—)=2(1一一—),

S2s3Sn223nn+\n+\

因为0<」一«L,所以1K2(1-一]]<2

n+12In+\)

即14(<2.

【点睛】

本题主要考查等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考查学生的运算求解能力和推理证明

能力.

21.(1)证明见解析；(2)-

2

【解析】

(1)求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明/(X)在(0,田)上存在唯一的零点即可；

(2)根据导函数零点判断出/(x)的单调性，从而/(耳讪可确定，利用/(x)1nhi=1以及y=4-lnx的单调性,

X

可确定出天,“之间的关系，从而。的值可求.

【详解】

(1)证明：V/(x)=e'i-ln(x+a)(a>0),:.f\x)=ex~a———.

X+Q

•；e'F在区间(0,+s)上单调递增，」一在区间(0,+8)上单调递减，

x-\-a

・•・函数/'(x)在(0,+oo)上单调递