2023年南宁市重点高三一诊考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1

1.已知实数集R,集合A={x[l<x<3},集合By=,则Ac(Ca)=()

,y/x-2.

A.{x\1<x<2}B.{x|1<x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|l<x<2}

2.设a,b,c为非零实数，且q>c,b>c,贝！1()

,a+b112

A.ci+b>cB.ab>c~9C.---->cD.-l—>—

2abc

3.已知随机变量X的分布列如下表:

X-101

Pabc

其中a,b,c>0.若X的方差O(X)<g对所有ae(0,l—8)都成立，贝(J()

22

A.h<—B.b<-C.b>-T).b>-

3333

暨厂>1,则/"2)]=(

4.已知函数/(x)=，)

A.1B.2C.3D.4

5.如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，则该几何体的体积是(

自0

1

1125

A.一B.-C.一D.

2336

6.(X?—2x—3)(x+2)5的展开式中，炉项的系数为()

A.一23B.17C.20D.63

7.已知向量2=(2,—4),5=(左,3),且3与E的夹角为135°，则4=()

A.-9B.1C.一9或1D.—1或9

8.在平面直角坐标系中，已知点A(O,—2),N(1,O),若动点M满足扁=友，则词.丽的取值范围是

()

A.[0,2]B.[。,2夜]

C.[-2,2]D.[-272,272]

9.已知圆C：(x—l)2+(y+l)2=l,圆。2：(x-4)2+(y-5)2=9,点M、N分别是圆G、圆C?上的动点，P

为x轴上的动点，则|PN|—|PM|的最大值是()

A.26+4B.9C.7D.2石+2

10.如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点。，E为AO的中点，若诙=之血+〃而(Z〃eR),则％+〃等

于().

22

2V(<0)

11.已知函数/(x)=《x，且关于X的方程/(x)+x-a=O有且只有一个实数根，则实数”的取值范围

Inx(x>0)

().

A.f0,+oo)B.(l,+oo)C.(0,+o))D.[-oo,l)

12.高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布N(85,^2),且尸(60<X<85)=0.3.从

中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为()

A.40B.60C.80D.100

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=xlnx-2a在点(1,/⑴)处的切线经过原点，函数g(x)=/(。的最小值为加，则

x

m+2a=.

14.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的10()0名学生的

成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在［250,400)内的学生共有一人.

x>y

15.设x，.V满足约束条件3x+y20,则目标函数z=2x+y的最小值为一.

3x-y<6

16.已知a=log030.2,。=log20.2,贝!ja+b.ab(填“>”或“="或“<”).

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数〃x)=|x-”一伙+2,a的最大值为3,其中加>0.

(1)求实数加的值；

(2)若a,b€R,ab>0,a2+1>2=，〃求证:山+

ha

18.(12分)已知函数/(x)=/一相x+21nx+4.

(1)当加=5时，求/(x)的单调区间.

(2)设直线/是曲线y=/(x)的切线，若/的斜率存在最小值・2,求〃z的值，并求取得最小斜率时切线/的方程.

(3)已知/(X)分别在玉，与(玉彳工2)处取得极值，求证：/(X,)+/(X2)<2.

19.(12分)已知函数/(x)=x|x+a|,aeR.

(1)若/(l)+/(—1)>1,求4的取值范围；

(2)若a<0,对Vx,ye(T»,-a],不等式/(x)4y+：3+y+]0恒成立，求。的取值范围.

20.(12分)如图，在矩形ABC。中，AB=4,4D=3,点E,E分别是线段。C8C的中点，分别将△D4E沿AE

折起，尸沿跖折起，使得。c重合于点G,连结AF.

(I)求证：平面GEF，平面GA/；

(II)求直线GE与平面G4E所成角的正弦值.

f,V3

21.(12分)已知曲线C的极坐标方程为夕=4cos6,直线/的参数方程为2Q为参数).

1

y--t

[2

(1)求曲线C的直角坐标方程与直线/的普通方程：

(2)已知点加(1,0),直线/与曲线C交于A、B两点,求—IMHI.

22.(10分)在平面直角坐标系X。)中，已知抛物线C：y2=2px(。＞0)的焦点F在直线x+y—l=0上，平行

于x轴的两条直线4，4分别交抛物线C于A,8两点，交该抛物线的准线于。，E两点.

(2)若产在线段AB上，尸是DE的中点，证明：AP//EF.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

可得集合以求出补集CM,再求出AC(CRB)即可.

【详解】

由Jx—2>0,得x>2,即8=(2,+co),

所以C*=(-oo,2],

所以AC(CR5)=(1,2].

故选:A

【点睛】

本题考查了集合的补集和交集的混合运算，属于基础题.

2.C

【解析】

取。=-1@=-1,。=一2,计算知谢错误，根据不等式性质知C正确，得到答案.

【详解】

a>c,b>c,故a+h>2c,故C正确；

取《=T*=T,c=-2,计算知谢错误；

故选：C.

【点睛】

本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.

3.D

【解析】

根据X的分布列列式求出期望，方差，再利用a+6+c=1将方差变形为D(X)=-1+1-仇从而可以利用二

次函数的性质求出其最大值为1-^<|，进而得出结论.

【详解】

由X的分布列可得X的期望为E[x}=-a+c,

又。+Z?+c=l,

所以X的方差£>(X)=(-l+4-C)-a+(Q—C)2〃+(l+a—c)2C

=(Q-C)2(Q+%+C)-2(Q-C)2+Q+C

=-(a-c)2+a+c

=一(2〃—1+〃)”+\—b

(1-^Y,

=-4A1a------I+11-/7,

因为ae(O,l-6),所以当且仅当。=一时,O(X)取最大值l—b,

又。(X)Wg对所有ae(0』一))成立，

所以l-bwg,解得63g,

故选:D.

【点睛】

本题综合考查了随机变量的期望、方差的求法，结合了概率、二次函数等相关知识，需要学生具备一定的计算能力,属于中

档题.

4.C

【解析】

结合分段函数的解析式,先求出/(-2)，进而可求出/[/(-2)].

【详解】

由题意可得/(一2)=3?=9,贝!j/[/(-2)]=〃9)=log2(9-1)=3.

故选:C.

【点睛】

本题考查了求函数的值，考查了分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题.

5.C

【解析】

根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.

【详解】

根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：

由图可知，该几何体是在棱长为1的正方体ABC。-中截去四棱锥4-ABC。所形成的几何体，

12

该几何体的体积为V=13„x/xl=—.

33

故选：C.

【点睛】

本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.

6.B

【解析】

根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得/的系数.

【详解】

(%+2)5的展开式的通项公式为1句=C；x5-r-2'..则

①(1―2x-3)出(-3),则3+2)5出炉,该项为：(-3)-C°-2°-xs=-3x5：

②#一2%一3)出(-2x),则3+2)5出该项为：(-2)-C；-2'-X5=-20X5；

@(x2-2x-3)Hix2.则(x+2)5出—该项为：•2?-5=40/；

综上所述：合并后的M项的系数为17.

故选：B

【点睛】

本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.

7.C

【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求攵的值.

【详解】

______t__oa-b2k-\2&

解：由题意可得cos135=———=—；=：~]=-----,

⑷•网74+16-^2+92

求得上=—9,或％=1,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题.

8.D

【解析】

设出M的坐标为(x,y),依据题目条件，求出点"的轨迹方程V+(y-2『=8,

写出点M的参数方程，贝U加:丽=2&cos。，根据余弦函数自身的范围，可求得。而•丽结果.

【详解】

设"(x,y),则

端SAg

二竹上="

旧+y?

：.x2+(y+l)2=2(x2+y2)

：.x2+(y-2>=8为点M的轨迹方程

尤=2&cos6

•••点A/的参数方程为厂(。为参数)

y=2+2>/2sin0

则由向量的坐标表达式有：

OM-ON=242cos0

又Teos6e[—1,1]

:.OMON=2V2cos0e[-272,272]

故选：D

【点睛】

考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,

属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法

9.B

【解析】

试题分析：圆£：(x—lp+(y+l)2=l的圆心E(l,-1),半径为1,圆。2：(》一4y+(y—5)2=9的圆心以4,5),半径

是3.要使|尸川-归根最大，需|PN|最大，且1PM最小，|PN|最大值为|尸目+3,|尸闾的最小值为|「耳-1,故

|PN|—|PM|最大值是(|PF|+3)-(|PE|-l)=|PF|-|JPE|+4；F(4,5)关于x轴的对称点尸(4,—5),

|PF|-1PE\=|PF'\~\PE\<\EF'\=7(4-l)2+(-5+l)2=5,故归目一|尸耳+4的最大值为5+4=9,故选B.

考点：圆与圆的位置关系及其判定.

【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需|PN|最大，且最小，|PN|最大值

为|P尸|+3,|的最小值为|阳一1,故|PN|-1最大值是(|PF|+3)-P目-1)=|PF|—|阳+4,再利用对称

性，求出所求式子的最大值.

10.A

【解析】

由平面向量基本定理，化简得DE=：AB-=AD,所以入=:，g=即可求解，得到答案.

【详解】

由平面向量基本定理，化简沃=5穴+@=嬴+；/=一演+:(氏月+AD)

1——3——131

=-AB--AD,所以九=_,口=__,即入+R=——,

44442

故选A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到阮是解答

44

的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题.

11.B

【解析】

根据条件可知方程fM+x-a=O有且只有一个实根等价于函数y=/(x)的图象与直线y=-*+。只有一个交点,

作出图象，数形结合即可.

【详解】

解：因为条件等价于函数y=/(x)的图象与直线丁=一X+。只有一个交点，作出图象如图，

由图可知，a>\,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题.

12.D

【解析】

由正态分布的性质，根据题意，得到P(X2110)=P(XK60),求出概率，再由题中数据，即可求出结果.

【详解】

由题意，成绩X近似服从正态分布N(85,<T2),

则正态分布曲线的对称轴为x=85,

根据正态分布曲线的对称性，求得P(X2110)=P(X<60)=0.5-0.3=0.2,

所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为500x0.2=100人，

故选:。.

【点睛】

本题考查正态分布的图象和性质，考查学生分析问题的能力，难度容易.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.0

【解析】

求出/'(x),r(i),/(i),求出切线点斜式方程，原点坐标代入，求出。的值，求g’(x),求出单调区间，进而求出极小

值最小值，即可求解.

【详解】

/(x)=l+lnx,⑴=1,/⑴=-2a,

切线4的方程：y+2a=x-\,

又4过原点，所以2a=-1,/(x)=xlnx+l,

,x,,1，/、11X—1

g(x)=lnx+—,g(x)=----=—z—.

xxxx

当xw(0,1)时，g'(x)<0；当xe(l,+oo)时，g'(x)>0.

故函数g(x)="»的最小值g⑴=1,所以加=1,m+2a=0.

x

故答案为:0.

【点睛】

本题考查导数的应用，涉及到导数的几何意义、极值最值，属于中档题.•

14.750

【解析】因为(。。。/+0,001+0.004+a+0.005+0.003)x50=1,得。=0.006,

所以1000x[(.0.004+0.006+0.005)x50]=750„

15.-1

【解析】

无Ny

根据x，)'满足约束条件卜x+y20,画出可行域，将目标函数z=2x+y,转化为y=-2x+z,平移直线y=-2x,

3x-y<6

找到直线y=-2X+Z在)，轴上截距最小时的点，此时，目标函数Z=2x+)，取得最小值.

【详解】

x>y

由％V满足约束条件3x+y>0,画出可行域如图所示阴影部分：

3x-y<6

将目标函数z=2x+y,转化为y=-2x+z,

平移直线y=—2X,找到直线y=-2x+Z在y轴上截距最小时的点A(l,-3)

此时，目标函数z=2x+y取得最小值，最小值为一1

故答案为：-1

【点睛】

本题主要考查线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.

16.>

【解析】

注意到。>1,人<0,故只需比较工+工与1的大小即可.

ab

【详解】

由已知，a>l,b<0,故有R?<0,a>Z?.又由!+'=logo,0.3+log()22=logo20.6<l,

ab

故有a+b>ab.

故答案为：>.

【点睛】

本题考查对数式比较大小，涉及到换底公式的应用，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)1；(2)证明见解析.

【解析】

(1)利用零点分段法将/(X)表示为分段函数的形式，由此求得/(X)的最大值，迸而求得〃?的值.

(2)利用(1)的结论，将4+之转化为1-2出?，求得ab的取值范围，利用换元法，结合函数的单调性，证得

baab

1313

———2ab>l9由此证得不等式L+幺成立.

abha

【详解】

(1),/m>0

-3m,x>m

/(x)=|x--|x4-2m|=*-2x-m,-2m<x<m

3m,x<-2m

**•当x=2〃z时，.f(x)取得最大值3

:.m=\

(2)证明:由(1)得，/+〃2=i,

a3b3a4+b4(a2+b2)2-2a2b2i

baababab

Q笳+bFab，当且仅当。=〃时等号成立，

:.0<ab<—

2

令h3=；_2t,0<r<|

则〃(x)在上单调递减

...当0<cib«—时，

2

———2ab>1

ab

./

..---F—21•

ha

【点睛】

本小题主要考查含有绝对值的函数的最值的求法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.

18.（1）单调递增区间为卜,；），（2,+8）；单调递减区间为［（2］；（2）m=6,2x+y—1=0；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由/'（X）的正负可确定/（X）的单调区间；

（2）利用基本不等式可求得X=1时，/'（X）取得最小值4-加，由导数的几何意义可知4-加=-2,从而求得m,

求得切点坐标（1,/（1））后，可得到切线方程；

（3）由极值点的定义可知%,当是2/一如+2=0的两个不等正根，由判别式大于零得到加的取值范围，同时得到

2

韦达定理的形式；化简/（玉）+/（%）为-（+6,结合加的范围可证得结论.

【详解】

（1）由题意得：“X）的定义域为（（）,+e）,

当机=5时，/(x)=x2-5x+21nx+4,

2（无一；卜一2）,

c22冗2—5X+2

=2无一5+—=----------

XXX

.•.当_1€（0,（）和（2,+00）时，r（x）>0；当时，

.•./（x）的单调递增区间为（2,+8）；单调递减区间为2）.

7I72

（2）vx>0,所以，（尢）=2x+——m>2J2x---m=4一机（当且仅当2x=—,即x=l时取等号）,

xVxx

••,切线/的斜率存在最小值-2,；.4=—2,解得：加=6,

.•./（1）=1-6+4=-1,即切点为

从而切线方程/：y+l=—2（x—1）,即：2x+y-l=0.

小\c,22x2-mx+2

（3）f（x）=2x+——m-----------,

xx

•••/（X）分别在为，X2（玉。刍）处取得极值，

",-#电)是方程2『一'"X+2=0,即2f—如+2=0的两个不等正根.

X

"I

贝！I△=M—16>0,解得：m2>16>且不+工2=耳>0，=1・

2

.•./■(%1)+/(x2)=Af+*—川石+七)+8+2111(毛尤2)=(%+x2)-2X,X2-m(x,+x2)+8+21n(x,x2)

=f—1-2xl-mx—+8+21nl=--+6,

⑴24

机2

m2>16»：.-----1-6<2»

4

即不等式,f（xj+/（马）<2成立.

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、导数几何意义的应用、利用导数证明不等

式等知识；本题中证明不等式的关键是能够通过极值点的定义将问题转变为一元二次方程根的分布问题.

19.(1)f—,+coj；(2)[-3,0).

【解析】

（D分类讨论aW—l,a>l,即可得出结果;

（2）先由题意，将问题转化为了。）,皿4（即可，再求出/（尤）“心，y+^+y+l的最小值，解

不等式即可得出结果.

【详解】

（1）由/（i）+/（—i）>i得|。+1卜|。-1|>1,

若。<一1,则一1一。+〃一1>1,显然不成立；

若一则1+〃+。一1>1,a>-即

292

若。之1,贝!]1+Q-Q+1>1,即2>1,显然成立，

综上所述，a的取值范围是（J，+8）.

3

（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需/（外,皿4（，+：+丁+|）哂,

当xe(-oo,—时，f(x)=-x(x+a),所以/(初皿HH

因为y+:+y+弱:

2Q

所以里《三—处,解得一3WaWl,结合a<0,

442

所以。的取值范围是［-3,0).

【点睛】

本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式

的性质即可，属于常考题型.

20.(I)详见解析；(n)还.

9

【解析】

(1)根据6石，64,GELGF,可得GE_L平面G4尸，故而平面GER，平面GAF.

(II)过尸作Ef/，AG于H,则可证FH_L平面G4E,故NFGH为所求角,在AAGE中利用余弦定理计算

cosNFGH,再计算sinNFG”.

【详解】

解：(I)因为GEJ_G4,GE工GF,GEC\GF=G,GEi平面G4F,GRu平面GAF

所以GEL平面G4F,

又GEi平面GEF,

所以平面GEF1平面GAF；

(II)过/作“LAG于H,则由GE_L平面G4/7,且FHu平面GAF知

GE1FH,所以切_L平面G4E,从而ZFG”是直线GF与平面G4E所成角.

3

因为AG=3,FG=-AF=

292

973

22n

G^+GF-AF_44=7

所以cos/AG尸=

2GAGF2.3--9

2

从而sinNFGH=sinZAGF=A/1-COS2ZAGF=生旦

9

G

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定，考查直线与平面所成角的计算，属于中档题.

21.(1)(x-2)2+/=4.y=^-x-^(2)百

【解析】

(1)根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解;

(2)设A6两点对应的参数分别为*t2,将直线/的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解.

【详解】

(1)对于曲线C的极坐标方程为0=4cos6,可得炉=4夕cos。,

X-OCOS0,,〜

又由《.八，可得Y+y2=4x,即(*-2)一+丁=4,

y-psmO

所以曲线C的普通方程为(X-2)2+/=4.

X=1H---1

2等即

由直线/的参数方程为a为参数)，消去参数可得y

1X-1

y=—t

2

-1),即丫=与士

直线/的方程为丫=

33

X=Id-----1

2

(2)设A8两点对应的参数分别为将直线［的参数方程(f为参数)代入曲线C：/+y2-4x=0

1

、2

(n1

中，可得1+工+-Z2-41+=0.

2J4

化简得：产一6.一3=0,则4+马=6.

所以||M4|-|知8||=||八|-|引=|4+