2023届江苏省某中学数学九年级上册期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题3分，共30分）

’1一、1

x——（4a-2）<—

422y—ay—4

1.若关于X的一元一次不等式组1:的解集是xWa,且关于y的分式方程上丁-^—=1有非负整

3x-l-y-11-y

数解，则符合条件的所有整数a的和为（）

A.（）B.1C.4D.6

4

2.在RtZkABC中，ZC=90°,sinA=）,则cosB的值等于（）

343J5

A.-B.-C.-D.—

5545

3,若关于x的一元二次方程（％-l）f+6x+3=0有实数根，则实数A的取值范围为（）

A.k<4,且ZwlB.%<4,且左

C.%<4D.k<4

4.如图，在△A5C中，DE//BC,5E和相交于点尸，且SAEFC=3SAEFD,则SAME:SZUBC的值为（）

5.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）

6.先将抛物线y=（x-1>+3关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（）

A.y=-（%—1）"+3B.y=-（x+lJ+3C.y=-（x-l）2-3D.y=-（x+l）2-3

7.已知两个相似三角形的面积比为4：9,则周长的比为（)

A.2：3B.4：9

C.3：2D.V2：A/3

8.下列图形中，是中心对称的图形的是（

A.直角三角形B.等边三角形C.平行四边形D.正五边形

9.如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内。0上的一点，若

B.60

C.65。

D.70

10.如图，已知OO的直径ABJ_弦CD于点E,下列结论中一定正确的是（）

A.AE=OEB.CE=DEC.OE=-CED.ZAOC=60°

2

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.在用ZVLBC中，ZC=90°,ZA=45°,AC=4,则AB的长是.

12.如图，将AA5C绕着点C按顺时针方向旋转20。1点落在B位置4点落在4位置，若则NA4C的度数是

Af

A

B'，

3

13.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点4（〃?,6）在第一象限，与x轴所夹的锐角为a,且sina=j,

则m的值是.

14.如图，在AABC中，NA=30。，N8=45。，BC=网cm,则A5的长为

15.一个盒中装有4个均匀的球，其中2个白球，2个黑球，今从中任取出2个球，“两球同色”与“两球异色”的可

能性分别记为a、b,则。与〃的大小关系为.

16.如图是二次函数y=ax?+bx+c的图象，其对称轴为x=l,下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+cV0；

④若（一〉3川，（1与0，yJ是抛物线上两点，贝!ly«yz,其中结论正确的是________.

23

17.关于x的一元二次方程（。一5）/-4x—1=（）有实数根，则实数。的取值范围是.

18.已知反比例函数丫=*。工0）的图象经过点（2,3）,若点（-3,〃）在此反比例函数的图象上，则〃=.

X

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，在AA8C中，是8C上的高.tanB=cos4DAC.

求证：AC=30.

A

20.(6分)如图1,将边长为2的正方形。4BC如图放置在直角坐标系中.

(D如图2,若将正方形Q43C绕点。顺时针旋转30。时，求点A的坐标;

(2)如图3,若将正方形OABC绕点。顺时针旋转75。时，求点B的坐标.

21.(6分)如图，在矩形A8C。中，AB=4,BC=6,点M是5c的中点.

(1)在4M上求作一点E,使AAOES/XMAB(尺规作图，不写作法);

(2)在(1)的条件下，求AE的长.

22.(8分)解方程:⑴2/+l=3x

⑵(x-3『+4x(x-3)=0

23.(8分)如图，四边形A5C。为圆内接四边形，对角线AC、50交于点£延长C5交于点尸.

(1)求证：

(2)如果80平分NAOC,BD=5,BC=2,求OE的长；

(3)如果NC4O=60。，DC=DE,求证：AE=AF.

D

D

（备用图）

24.（8分）随着技术的发展进步，某公司2018年采用的新型原料生产产品.这种新型原料的用量y（吨）与月份x之

间的关系如图1所示，每吨新型原料所生产的产品的售价z（万元）与月份x之间的关系如图2所示.已知将每吨这种

新型原料加工成的产品的成本为20万元.

（1）求出该公司这种新型原料的用量y（吨）与月份x之间的函数关系式;

（2）若该公司利用新型原料所生产的产品当月都全部销售，求哪个月利润最大，最大利润是多少？

图1图2

25.（10分）如图，在等腰直角三角形MNC中，CN=MN=y/i，将AMNC绕点C顺时针旋转60。，得到△48C,连

接AM,BM,3M交AC于点O.

（l）NNCO的度数为；

（2）求证：AC4M为等边三角形；

⑶连接4N,求线段4V的长.

M

26.（10分）如图，已知抛物线y=-x2+历c+c经过AAHC的三个顶点，其中点A（0,3）,点B（—12,15）,AC//x

4

轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P且与)，轴平行的直线/与直线A3、AC分别交与点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求点P的

坐标;

(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点。，使得以C、P、。为顶点的三角形与AABC相似,

若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、B

x-：(4a-2),,；

【解析】先解关于x的一元一次不等式组。:乙，再根据其解集是x《a,得a小于5；再解分式方程,

3x-l-

-----<x+2

[2

根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求和即可.

1、、1

x—(/4a—2)„一(

【详解】解：由不等式组。;42，解得：X,a「

3x-lcx<5

-----<x+2I

I2

\•解集是xWa,

.\a<5；

由关于的分式方程包——”=1得得2y-a+y-4=y-l

y-\1-y

又•.•非负整数解，

...a2-3,且a=-3,a=-l（舍，此时分式方程为增根），a=l,a=3它们的和为1.

故选：B.

【点睛】

本题综合考查了含参一元一次不等式，含参分式方程的问题，需要考虑的因素较多，属于易错题.

2、B

4

【解析】在RtAA3C中，ZC=90°,ZA+ZB=90°,则cos5=sinA=）.故选B.

点睛：本题考查了互余两角三角函数的关系.在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等.

3、A

【解析】•.•原方程为一元二次方程，且有实数根，

...k-lWO且△=6?-4X（k-1）X3=48-12k20,解得kW4,

,实数k的取值范围为kW4,且kWL

故选A.

4、C

【分析】根据题意，易证凡同理可证△AOEsaABC,根据相似三角形面积比是对应边比例的平方即

可解答.

【详解】VS^EFC=3S^DEF>

：.DF：FC=1：3（两个三角形等高，面积之比就是底边之比），

'：DE//BC,

:.△DEFs^CBF,

:.DE：BC=DF：FC=1：3

同理△AOEs/XASG

:♦SAADE:S^AHC=1:9,

故选：C.

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比是对应边比例的平方.

5、D

【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义即可得解.

【详解】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，此项错误

B、是中心对称图形，也是轴对称图形，此项错误

C、不是中心对称图形，是轴对称图形，此项错误

D、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此项正确

故选：D.

【点睛】

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心

对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

6、C

【分析】根据平面直角坐标系中，二次函数关于x轴对称的特点得出答案.

【详解】根据二次函数关于X轴对称的特点：两抛物线关于X轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为相反

数，可得：抛物线y=(x—1)2+3关于》轴对称的新抛物线的解析式为〉=-(》-1)2-3

故选：C.

【点睛】

本题主要考查二次函数关于x轴对称的特点，熟知两抛物线关于x轴对称，二次项系数，一次项系数，常数项均互为

相反数，对称轴不变是关键.

7、A

【分析】由于相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知了两个相似三角形的面积比，即可求出它们的相似比；再

根据相似三角形的周长比等于相似比即可得解.

【详解】•••两个相似三角形的面积之比为4：9,

，两个相似三角形的相似比为2：1,

,这两个相似三角形的周长之比为2：1.

故选A

【点睛】

本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

8、C

【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断.

【详解】解：A.直角三角形不是中心对称图象，故本选项错误；

B.等边三角形不是中心对称图象，故本选项错误；

C.平行四边形是中心对称图象，故本选项正确；

D.正五边形不是中心对称图象，故本选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180。后能够重合.

9、D

【分析】根据圆周角定理求出/DOB,根据互余求出/物的度数，再根据等腰三角形性质即可求出答案.

【详解】解：连接OD,

NDAB=25，

NBOD=2^DAB=50。，

"COD=90-50°=40,

•;OC=OD,

NOCD=NODC=g（180。—NCO。）=70。.

故选D.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质等知识.熟练应用圆周角定理是解题的关键.

10、B

【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧求解.

【详解】解：•••直径ABL弦CD

/.CE=DE

故选B.

【点睛】

本题考查垂径定理，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握垂径定理，即可完成.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、4x/2

【分析】根据COSA=K可求得AB的长.

ArA历

【详解】解：由题意得，cosA=-----,Acos45°=——=——，解得43=4夜.

ABAB2

故答案为：4&-

【点睛】

本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

12、70°

【解析】由旋转的角度易得NACAM20。，若AC_LA'B',则NA\NACA，互余，由此求得NACA，的度数，由于旋转

过程并不改变角的度数，因此NBAC=NA，，即可得解.

【详解】解：由题意知：NACA，=20。；

若ACJ_A'BT则NA，+NACA，=90。，

得：NA'=90°-20°=70°；

由旋转的性质知：ZBAC=ZAr=70°；

故NBAC的度数是70°.

故答案是：70。

【点睛】

本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转

角相等.要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度.

13、8

【分析】过A作ABLx轴，根据正弦的定义和点A的坐标求出AB,OA的长，根据勾股定理计算即可.

【详解】如图，过A作AB_Lx轴，

,3

Vsin«=—,

5

AB3

:.——=-,

OA5

VA,6),

r.AB=6,

.—*10,

根据勾股定理得：0B=\l0#—AB。=加-守=8,

即m=8,

故答案为8.

【点睛】

本题考查的是锐角三角函数的定义、坐标与图形的性质，掌握直角三角形中，锐角的正弦是其对边与斜边的比是解题

的关键.

14、3+V3

【分析】根据题意过点c作CD_LAB,根据NB=45。，得CD=BD,根据勾股定理和BC=痛得出BD,再根据NA

=30。，得出AD,进而分析计算得出AB即可.

【详解】解；过点C作CDLAB,交AB于D.

,.,ZB=45°,

.,.CD=BD,

VBC=V6»

：.BD=y/3,

VZA=30°,

CD

.*.tan30o=——

AD

V3

CD

/.AD==3,

3Z30°

T

.,.AB=AD+BD=3+V3.

故答案为：3+-73•

【点睛】

本题考查解直角三角形，熟练应用三角函数的定义是解题的关键.

15、a<b

【分析】分别求出“两球同色”与“两球异色”的可能性，然后比较大小即可.

【详解】根据盒子中有2个白球，2个黑球

可得从中取出2个球，一共有6种可能：2白、2黑、1白1黑（4种）

21

•••“两球同色”的可能性为。=一=一

63

42

“两球异色”的可能性为6=一=一

63

.12

•一〈一

33

:・a<b

故答案为：a<h.

【点睛】

本题考查了概率的问题，掌握“两球同色”与“两球异色”的可能性是解题的关键.

16、②④

【解析】由抛物线开口方向得到a<0,有对称轴方程得到b=-2a>0,由二•抛物线与y轴的交点位置得到c>0,则可

对①进行判断；由b=-2a可对②进行判断；利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点为（3,0）,则可判

310

断当x=2时，y>0,于是可对③进行判断；通过比较点yj与点（一，y2）到对称轴的距离可对④进行判断.

23

【详解】：•••抛物线开口向下，

.,.a<0,

•.•抛物线的对称轴为直线x=-2=i,

2a

:.b=-2a>0,

•••抛物线与y轴的交点在x轴上方，

.,.c>0,

/.abc<0,所以①错误；

Vb=-2a,

...2a+b=0,所以②正确；

•••抛物线与x轴的一个交点为（-1,0）,抛物线的对称轴为直线x=L

•••抛物线与x轴的另一个交点为（3,0）,

.,.当x=2时，y>0,

.,.4a+2b+c>0,所以③错误；

310

•••点（―,yi）到对称轴的距离比点（一，y2）对称轴的距离远，

23

.,.yi<y2,所以④正确.

故答案为：②④.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax?+bx+c（aWO）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大

小，当a>0时，抛物线向上开口；当aVO时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位

置：当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即abVO）,对称轴在y轴右；常数项c决定

抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0,c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有

2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=bJ4acV0时，抛物线与x轴没有交点.

17、且"5

【解析】根据根的判别式AK）且二次项系数（）求解即可.

【详解】由题意得，

16-4（a-5）x（-1）之0,且a-5H0,

解之得

a>\且"5.

故答案为：且a05.

【点睛】

本题考查了一元二次方程a3+Bx+cR（存0）的根的判别式A="-4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式

解答本题的关键.当△>（）时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，一元二次方程有两个相等的实数根；当

△<0时，一元二次方程没有实数根.

18、-2

k+]

【分析】将点（1,3）代入y=——即可求出A+1的值，再根据Jt+l=xy解答即可.

x

【详解】•.•反比例函数的图象上有一点（1,3）,

:.fc+l=lX3=6>

又点（一3,〃）在反比例函数的图象上，

.*.6=-3Xn,

解得："=—1.

故答案为：一1.

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式.反之，只要满足函

数解析式就一定在函数的图象上.

三、解答题（共66分）

19、证明见解析.

【分析】根据三角形的定义表示出tan8及cos/ZMC,根据=即可证明.

【详解】•.•4）是8。上的高，；.4。_13。，

ZADB=90°,ZADC=90°,

在RtAABZ）和RMADC中，

cAD小…AD

tanB=，cos/DAC=-----,

BDAC

且tanB=cosZDAC,

ADAD

"~BD~~AC'

AC=BD.

【点睛】

此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义.

20、（1）1）；（2）B（V6,—\/2j

【分析】（1）作AO_Lx轴于点D,则NAQD=30。，AO=2,求得AD=1,根据勾股定理求得OD=g,即可得出

点A的坐标；

（2）连接BO,过点3作轴于点E,根据旋转角为75。，可得NBOE=30。，根据勾股定理可得08=20，

再根据RtABOD中，BE=；OB=6,OE=瓜,可得点B的坐标.

【详解】解：（1）如图1,作轴于点。，则NA8=30°,AO=2

.■.AD=1,OD=』*-l=C

二点A的坐标为（百,-1）.

(2)如图2,连接0B,过点8作BE_Lx轴于点E,则NAOE=75。，ZBOA=45°/.ZBOE=30°

在用中，QB=20

在&ABOE中，BE==0B=O,0E=在

2

二点B的坐标为（遥，-夜）.

图2

【点睛】

本题主要考查了旋转变换以及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：正方形的四

条边都相等，四个角都是直角.

12

21、（1）过。作O及LAM于E,△ADE即为所求；见解析；（2）AE=—.

【分析】（1）根据题意作出图形即可；

（2）先根据矩形的性质，得到AO〃8C,则N〃4E=N4MB,又由NOEA=NB,根据有两角对应相等的两三角形相

似，即可证明出根据相似三角形的对应边成比例，即可求出OE的长，根据勾股定理即可得到结论.

【详解】解：（1）过。作OEJLAM于E,AADE即为所求；

（2）I•四边形ABCQ是矩形，

：.AD//BC,

:.NDAE=NAMB,

又：NOEA=N5=90°,

：.DE：AD=AB:AM,

TM是边BC的中点，BC=6,

又；43=4,ZB=90°,

：.AM=5,

：.DEt6=4：5,

考核知识点：相似三角形判定和性质.根据相似三角形判定和性质求出线段比，利用勾股定理进一步求解是关键.

13

22、(1)Xj=1,x2=—；(2)%=3,x2=-

【分析】(1)先移项，再利用配方法求解即可.

(2)合并同类项，再利用配方法求解即可.

【详解】(1)2X2+1=3X

2X2-3X+1=0

(2x-l)(x-l)=0

解得％=1,x2=—

(2)(尤-3p+4x(x-3)=0

(x-3+4x)(x-3)=0

(5x-3)(x-3)=0

3

解得玉=3,x=-

2-5

【点睛】

本题考查了一元二次方程的计算，掌握利用配方法求方程的解是解题的关键.

21

23、(1)见解析；(2)—；(3)见解析

【分析】(1)可得出NADB=NACB,NAFC=NBFD,则结论得证；

BeBD

(2)证明△BECs/iBCD,可得——=——，可求出BE长，则DE可求出；

BEBC

(3)根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明AB=AF；根据等腰三角形的判定与性质和圆周角定理

可证明AE=AB,则结论得出.

【详解】(1)证明：VZADB=ZACB,ZAFC=ZBFD,

/.△FBD^AFAC；

(2)解：,.・BD平分/ADC,

.*.ZADB=ZBDC,

VZADB=ZACB,

.•.ZACB=ZBDC,

VZEBC=ZCBD,

.,.△BEC^ABCD,

.BCBD

••=f

BEBC

._2__2

••一9

BE2

4

，BE=一，

5

421

/.DE=BD-BE=5--=—；

55

(3)证明：VZCAD=60°,

/.ZCBD=60o,NACD=NABD,

,:DC=DE,

：.NACD=NDEC,

VZABC+ZADC=ZABC+ZABF=180°,

二ZFBD=180°-60°=120°,

.,.ZABF=ZADC=120°一/ABD

=1200-NACD

=120°-ZDEC

=120°-(60°+ZADE)

=60°-NADE,

而NF=60。-NACF,

VZACF=ZADE,

.,.ZABF=ZF,

，AB=AF.

•四边形ABCD内接于圆，

D

.♦.NABD=NACD,

XVDE=DC,

/.ZDCE=ZDEC=ZAEB,

/.ZABD=ZAEB,

；.AB=AE.

/.AE=AF.

【点睛】

本题是圆的综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质,

角平分线的性质，三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

10x+40(L,x<6]

24、(1)y=<;（2）四月份利润最大，最大为1920元

100(7领k12)

【分析】（1）根据图象利用待定系数法确定函数的解析式即可;

（2）配方后确定最值即可.

【详解】解：（1）1-6月份是一次函数，设丫=1«+1>,

把点（1,50）,（6,100）代入，得:

k+b=50

6k+b=l00'

氏=10

解得：〈

0=40’

10%+40(1,,x<6)

•••y=<

100(7领k12)

(2)设利润为w元，当7WxS12时，w=100x35=3500元.

当1WXS6时,

w=(x-20)y=-30x2+240x+1440=-30(x-4)2+1920,

故当x=4时，w取得最大值1920,

即四月份利润最大，最大为1920元.

【点睛】

本题考查了二次函数的实际问题中最大利润问题，解题的关键是求出函数解析式，熟悉二次函数的性质.

25、(1)15°；(2)证明见解析；(3)6-1

【解析】分析：(1)由旋转可得NACM=60。，再根据等腰直角三角形MNC中，NMCN=45。,运用角的和差关系进

行计算即可得到NNCO的度数；

(2)根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形进行证明即可；

(3)根据△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，判定△ACNg再根据Rt^ACD

中，AD=GCD=6,等腰RtAMNC中，DN=；CM=1,即可得到AN=AD-ND=6-1.

详解：(1)由旋转可得NACM=60。.

又；等腰直角三角形MNC中，NMCN=45。,：.NNCO=60。-45°=15°；

故答案为15°；

(2)VZACM=f>0°,CM=CA,.♦.△CAM为等边三角形；

(3)连接AN并延长，交CM于D.

•.•△MNC是等腰直角三角形，△ACM是等边三角形，：.NC=NM=y/2>CM=2,AC=AM=2.在A4CN和

△AMN中，

NC=NM

V<ACAM,:.AACNgAAMN(SSS),:.NCAN=NMAN,：.AD±CM,CD=-CM=1,ARtAACD

AN=AN一

中，AD=y/jCD=y/3,等腰RtZkMNC中，DN=gcM=l,：.AN=AD-ND=yJj-1.

点睛：本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：有

一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形.

26、(1)y=；f+2x+3；(2)P(-