2023届广东省惠州市惠东燕岭学校数学九年级上册期末综合测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）

A.点PB.点D

C.点MD.点N

X

2.若x=2y,则一的值为（）

y

1

A.2B.1C.-D.-

23

3.已知关于X的一元二次方程f-x+J,"-1=0有实数根,则m的取值范围是（)

4

A.m>2B.m<5C.m>2D.m<5

4.书架上放着三本古典名著和两本外国小说，小明从中随机抽取两本，两本都是古典名著的概率是（

4931

A.—B.—c.D.—

2525To10

5.方程（-—2）=0的解是（）

A.x=lB.x=2c.x=l或x=2D.x=-l或％=—2

6.反比例函数V=K在第一象限的图象如图所示，则k的值可能是（）

X

A.3B.5C.6D.8

7.在反比例函数y=——的图象的每个象限内，y随％的增大而增大，则k值可以是（）

A.-1B.1C.2D.3

AB2

8.如图，h〃b〃13,直线a,b与h、12、h分别相交于A、B、C和点D、E、F.若——=—,DE=4,则EF的长是

BC3

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10.设机是方程f+5x=O的一个较大的根，，?是方程尤2—3x+2=O的一个较小的根，贝!1加+〃的值是（）

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是A（2,2）,3（5,5）,若二次函数y=o?+法+。的图象过A,6

两点，且该函数图象的顶点为M（x,y）,其中x,）'是整数，且0<x<7,0<y<7,则。的值为

14.如图，在矩形ABC。中，AD=U,以点C为圆心，以C8的长为半径画弧交AO于E，点E恰好是AO中点,

则图中阴影部分的面积为.（结果保留万）

15.如图，正三角形AFG与正五边形A3CQE内接于。0,若。。的半径为3,则台尸的长为

-------

16.如图，正方形ABC。中，点E为射线BD上一点,ZEAD=15°,砂，AE交8C的延长线于点/，若BF=6,

则AB=

17.若抛物线.丫=始：2+云+，的开口向下，写出一个。的可能值

18.如图，在边长为2的正方形ABC。中，动点尸，E分别以相同的速度从。，C两点同时出发向。和3运动（任何

一个点到达停止），在运动过程中，则线段CP的最小值为.

DFC

三、解答题（共78分）

19.（8分）已知，抛物线y=ax?+ax+b（aWO）与直线y=2x+m有一个公共点M（1,0）,且aVb.

（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式；

（3）a=-l时，直线y=-2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平

移t个单位（t>0）,若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围.

20.（8分）如图，在四边形A8C。中，AD//BC,AC与8。交于点E,点E是8。的中点，延长CZ）到点F,使

DF=CD,连接Ab,

3c

（1）求证：四边形43。尸是平行四边形；

（2）若4B=2,AF=4,NF=30°,求四边形A8CF的面积.

21.（8分）某校有一露天舞台，纵断面如图所示,AC垂直于地面,AB表示楼梯,AE为舞台面，楼梯的坡角NABC=45。,坡

长AB=2m,为保障安全,学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD,使NADC=30。

⑴求舞台的高AC（结果保留根号）

⑵楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处的文化墙PM是否要拆除?请说明理由.

I/

MDBC

22.（10分）若关于x的方程f+（0+2）x+6—8=0有两个相等的实数根

（1）求b的值；

（2）当b取正数时，求此时方程的根，

24.（10分）已知：点A（—I,-4）和P是一次函数y=kx+b与反比例函数y=—图象的连个不同交点，点P关于y轴

X

的对称点为P',直线AP以及AP?分别与x轴交于点M和N.

（1）求反比例函数y=%的表达式；

3

（2）若PP2—MN,求k的取值范围.

2

5

4

3

2

1

■।।1।।।।।।

-5-4-3-2-1012345.r

-1

25.（12分）如图，甲分为三等分数字转盘，乙为四等分数字转盘，自由转动转盘.

（1）转动甲转盘，指针指向的数字小于3的概率是；

（2）同时自由转动两个转盘，用列举的方法求两个转盘指针指向的数字均为奇数的概率.

1/3

用转盘乙转盘

26.某中学准备举办一次演讲比赛，每班限定两人报名，初三（1）班的三位同学（两位女生，一位男生）都想报名参

加，班主任李老师设计了一个摸球游戏，利用已学过的概率知识来决定谁去参加比赛，游戏规则如下：在一个不透明

的箱子里放3个大小质地完全相同的乒乓球，在这3个乒乓球上分别写上A、B.C（每个字母分别代表一位同学，

其中A、8分别代表两位女生，C代表男生），搅匀后，李老师从箱子里随机摸出一个乒乓球，不放回，再次搅匀后

随机摸出第二个乒乓球，根据乒乓球上的字母决定谁去参加比赛。

（1）求李老师第一次摸出的乒乓球代表男生的概率；

（2）请用列表或画树状图的方法求恰好选定一名男生和一名女生参赛的概率.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、A

【解析】试题分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心.即位似中心一定在对应点的

连线上.

解：•.•位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直线上,

因为点P在直线MN上，

所以点P为位似中心.

故选A.

考点：位似变换.

2、A

x

【解析】将x=2y代入一中化简后即可得到答案.

y

2V

【详解】将x=2y代入一X得：x一=2=2,

yyy

故选：A.

【点睛】

此题考查代数式代入求值，正确计算即可.

3、B

【分析】根据一元二次方程根的情况即可列出不等式，从而求出m的取值范围.

【详解】解：•••关于x的一元二次方程+有实数根，

4

Ab2-4ac=l-4（-m-\）>0,

4

解得：m<5

故选：B.

【点睛】

此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与△的关系是解决此题的

关键.

4、C

【分析】画树状图（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说）展示所有20种等可能的结果数，找出

从中随机抽取2本都是古典名著的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】解：画树状图为：（用A、B、C表示三本古典名著，a、b表示两本外国小说），

共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是古典名著的结果数为6,

所以从中随机抽取2本都是古典名著的概率=*京.

故选：C.

【点睛】

本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图或表格，然后用符合条件的情况数除以所有等

可能发生的情况数n即可，即P=巴.

n

5、C

【解析】方程左边已经是两个一次因式之积，故可化为两个一次方程，解这两个一元一次方程即得答案.

【详解】解：•••（-2）=0,

Ax—1=0或X—2=0,

解得：x=l或x=2.

故选：C.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握分解因式解方程的方法是关键.

6、B

【分析】根据点（1,3）在反比例函数图象下方，点（3,2）在反比例函数图象上方可得出k的取值范围，即可得答

案.

【详解】•••点（1,3）在反比例函数图象下方，

.\k>3,

•.•点（3,2）在反比例函数图象上方，

•k

・・一<29即ank<6,

3

.\3<k<6,

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象的性质，熟记k=xy是解题关键.

7、A

【解析】因为y的图象，在每个象限内，y的值随x值的增大而增大,

X

所以k—kO,

即kvl.

故选A.

8、C

【分析】根据平行线分线段成比例可得丝=匹，代入计算即可解答.

BCEF

【详解】解：

.ABDE

••=,

BCEF

24

即Bn-=--->

3EF

解得：EF=1.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟悉定理是解题的关键.

9、A

【解析】解：•••二次函数y=ax2-bx+2的图象开口向上，

.,.a>0；

b

••,对称轴x=——<0,

2a

.,.b<0；

因此-a<0,b<0

二综上所述，函数y=-ax+b的图象过二、三、四象限.

即函数y=-ax+b的图象不经过第一象限.

故选A.

10、C

【分析】先解一元二次方程求出m,n即可得出答案.

【详解】解方程/+5x=O

得x=0或x=-5,

则=0,

解方程》2一3%+2=0,

得x=l或x=2,

则〃=1,

：.m+n—l,

故选：C.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键.

11、B

【分析】根据俯视图是从上面看到的图形可得俯视图为正方形以及右下角一个三角形.

【详解】从上面看，是正方形右边有一条斜线，如图：

故选B.

【点睛】

考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键.

12、A

h2a

【解析】(a-—)--

aa-b

_八万a

aa-b

(a+力)(a-b)a

~---------------------•-------

aa-b

=a+b=2.

故选A.

二、填空题(每题4分，共24分)

13、±19i-

3

b7a]

【分析】先将A,B两点的坐标代入y=存2+笈+。，消去c可得出b=L7a,c=10a,得出XM=•k二—^,

2。2a

4-/7f*—h~-0/7~+14〃一1

y、产=.方法一:分以下两种情况：①a>0,画出示意图，可得出yM=O,l或2,进而求出a的

4。4。

7。一1

值；②a<0时，根据示意图可得，yM=5,6或7,进而求出a的值；方法二：根据题意可知-----=0,1,2,3,4,5,6或7①,

2a

-0/7*2+14/7-1

=0,12,3,4,5,6或7②，由①求出a的值，代入②中验证取舍从而可得出a的值.

4a

【详解】解：将A,B两点的坐标代入+c得，

2=4a+2b+c(D

<5=25a+5b+c@，

②-①得，3=21a+3b,

/.b=l-7a,c=10a.

,原解析式可以化为：y=ax2+(l-7a)x+10a.

.bla-\4ac-b2-9a2+14«-1

••XM=~~~~~=~~9yM=------------------------------------,

2a2a4。4。

方法一：

①当a>0时，开口向上，•.•二次函数经过A,B两点，且顶点中，x,y均为整数，且0<x<7,0<y<7,

画出示意图如图①，可得0Wy»W2,

・・y、i=0,l或2,

当yM=一9。-+14“-1=0时,解得a=士叵,不满足XM为整数的条件,舍去;

4a9

一9/+14〃一11

当yM="a+14"1=1时,解得a=l（a=-不符合条件，舍去）；

4a9

—Q/72+14/7—I1

当yM=+14"I=2时,解得a=；；,符合条件.

4a3

②a<0时，开口向下，画出示意图如图②，根据题中条件可得，5WyMW7,

只有当yiw=5,a=-g时，当yM=6,a=-l时符合条件.

综上所述，a的值为±1,±|.

方法二：

7a—1_Of?2+14/7—1

根据题意可得-----=0,1,2,3,4,5,6或7；/°十］例,0/23,4,5,6或7③，

2a4。

二当竺4=o时，解得a=L,不符合③，舍去；

2a7

当乌二1=1时，解得a=,，不符合③，舍去；

2a5

当竺4=2时，解得a=L,符合③中条件；

2a3

7a-1

当［「=3时，解得a=l,符合③中条件；

2a

7a-1

当1「=4时，解得a=-L符合③中条件；

2a

当"口=5时，解得a=-,，符合③中条件；

2a3

当-^=6时，解得a=--,不符合③舍去；

2a5

当竺」=7时，解得a=-l，不符合③舍去；

综上可知a的值为：±1,士;.

故答案为：±1,±—

【点睛】

本题主要考查二次函数的解析式、顶点坐标以及函数图像的整数点问题，掌握基本概念与性质是解题的关键.

14、18用244

【分析】连接EC,先根据题意得出E0='EC=6,再得出NEC£>=30°,然后计算出招CD和扇形BCE的面积

2

即可求解.

【详解】连接EC,如下图所示：

AED

BC

由题意可得：EC=BC=AD=12

VE是A。中点

:.ED=-EC=6

2

ANECD=30。

：.NECB=60°

：•DC=V£C2-ED2=6G

:•SAFCD=、ED・DC=186

S片，形w/二1447rx=247

扇形BCE3660°°

••S阴影=S扇形BCE+S&ECD=18G+24乃

故填：186+247.

【点睛】

本题主要考查扇形面积的计算、矩形的性质、解直角三角形，准确作出辅助线是关键.

4万

15、一

5

【分析】连接OB,OF,根据正五边形和正三角形的性质求出NBAF=24。，再由圆周角定理得NBOF=48。，最后由

弧长公式求出8尸的长.

【详解】解：连接OB,OF,如图,

根据正五边形、正三角形和圆是轴对称图形可知NBAF=NEAG,

VAAFG是等边三角形，

AZFAG=60°，

•五边形ABCDE是正五边形,

(5-2)x180：

，ZBAE==108%

5

AZBAF=ZEAG=y(ZBAE-ZFAG)=X(108°-60°)=24°,

ZBOF=2ZBAF=2x24°=48°,

的半径为3,

弘显48^x34

•••8尸的弧长为：=£万

1oUJ

4万

故答案为：y

【点睛】

本题主要考查正多边形与圆、弧长公式等知识，得出圆心角度数是解题关键.

16、2G

【分析】连接AC交BD于O,作FG_LBE于G,证出4BFG是等腰直角三角形，得出BG=FG=、『BF=3亚，由三

角形的外角性质得出NAED=30°,由直角三角形的性质得出OE=GOA,求出NFEG=60°,NEFG=30°,进而求出

OA的值，即可得出答案.

【详解】连接AC交BD于O,作FG_LBE于G,如图所示

贝!|NBGF=NEGF=90°

,•,四边形ABCD是正方形

...ACJLBD,OA=OB=OC=OD,ZADB=ZCBG=45°

/.△BFG是等腰直角三角形

:.BG=FG=芋BF=372

VZADB=ZEAD+ZAED,ZEAD=15°

:.ZAED=30°

.,.0E=V3OA

VEF±AE

ZFEG=60°

:.ZEFG=30°

AEG=—FG=V6

3

，BE=BG+EG=3>/2+指

VOA+V3AO=3A/2+>/6

解得：OA=76

.,.AB=V2OA=2A/3

故答案为2G

【点睛】

本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质，综合性较强，需要熟练掌握相关性质.

17、-3（负数均可）

【分析】根据二次函数的性质，所写函数解析式二次项系数小于0即可.

【详解】解：根据二次函数的性质，二次项系数小于0时，图象开口向下.所以a的值可以是-3..

故答案为：-3（负数均可）.

【点睛】

此题主要考查了二次函数的图象性质，二次项系数的正负决定了开口方向，这是解题关键.

18、V5-1

【解析】如图（见解析），先根据正方形的性质、三角形的判定定理与性质得出NBAEnNCB/,再根据正方形的性

质、角的和差得出NA~B=90。，从而得出点P的运动轨迹，然后根据圆的性质确认CP取最小值时点P的位置，最

后利用勾股定理、线段的和差求解即可.

【详解】由题意得：DF=CE

由正方形的性质得：AB=BC=CD,ZABC=ZBCD=90°

:.BC-CE=CD-DF,即=

AB=BC

在MBE和\BCF中，＜NABE=ZBCF=90°

BE=CF

^ABE^^BCF(SAS)

：.NBAE=NCBF

ZCBF+ZABP=ZABC=90°

:.ZBAE+ZABP=9Q°,即NB4P+NABP=90°

ZAPB=180°-(NBAP+ZABP)=90°

点P的运动轨迹在以AB为直径的圆弧上

如图，设AB的中点为点O,则点P在以点O为圆心，OA为半径的圆上

连接OC,交弧AB于点Q

由圆的性质可知，当点P与点Q重合时，CP取得最小值，最小值为CQ

•.・BC=2,OQ=OB=3AB=\

OC=y/BC2+OB2=也+F=V5

Cg=OC-O(2=V5-l,即CP的最小值为石-1

故答案为：V5-1.

【点睛】

本题是一道较难的综合题，考查了三角形全等的判定定理与性质、圆的性质（圆周角定理）、勾股定理等知识点，利用

圆的性质正确判断出点P的运动轨迹以及CP最小时点P的位置是解题关键.

三、解答题（共78分）

—19273279

19、（1）b=-2a,顶点D的坐标为（->-二。）；（2）~;-------二。；（3）2<t<—.

244。84

【解析】(1)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其

顶点D的坐标；

(2)把点M(1,0)代入直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y,可得到关于x的一元二

次方程，可求得另一交点N的坐标，根据aVb,判断aVO,确定D、M、N的位置，画图1,根据面积和可得ADMN

的面积即可：

(3)先根据a的值确定抛物线的解析式，画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时，t的值,

再确定当线段一个端点在抛物线上时，t的值，可得：线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围.

【详解】解：(1),抛物线丫=a*2+2*+1)有一个公共点M(1,()),

.".a+a+b=O,即b=-2a,

.，,,1、，9a

・・y=ax+ax+b=ax+ax-2a=a(x4~)-「,

19a

，抛物线顶点D的坐标为(―,-—)；

24

(2)•.,直线y=2x+m经过点M(1,0),

0=2x1+m,解得m=-2,

y=2x-2

则《

y==cue+ox_2Q

得ax?+(a-2)x-2a+2=0,

/.(x-1)(ax+2a-2)=0>

2

解得x=l或x=—・2,

a

24

・・・N点坐标为(一・2,--6),

aa

Va<b,BPa<-2a,

Aa<0,

如图b设抛物线对称轴交直线于点E,

，E-3),

2

24

VM(1,0),N(-2--6),

aa

设ADMN的面积为S,

・厂c1,29。/、27327

..S=SADEN+SADEM=--I(--2x)-1|*|-------(-3)|=------------------a,

2a44。8

(3)当a=-l时,

19

抛物线的解析式为：y=-x2-x+2=-(x+—)2+-,

24

2

Ly=-x-x+2

由1,

y=-2x

-x2-x+2=-2x,

解得：xi=2,X2=-L

AG(-1,2),

:点G、H关于原点对称，

/.H(1,-2),

设直线GH平移后的解析式为：y=-2x+t,

-x2-x+2=-2x+t,

x2-x-2+t=0,

A=l-4(t-2)=0,

9

t=—，

4

当点H平移后落在抛物线上时，坐标为（L0）,

把（1,0）代入y=-2x+t,

t=2,

9

'当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围是

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识.在（1）中

由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关

键，在（3）中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键，本题考查知识点较多，综合性较强，难

度较大.

20、（1）见详解；（2）四边形ABCF的面积S=6.

【分析】（1）根据平行四边形的判定推出即可.

（2）通过添加辅助线作高，再根据面积公式求出正确答案.

【详解】证明：（1）••,点E是BD的中点，

;.BE=DE

AD//BC

..ZADE^ZCBE

'NADE=NCBE

在“DE和ACBE中，＜DE=BE

NAED=NCEB

:.^ADE三CBE（ASA）

：.AE=CE

四边形ABCD是平行四边形

AB//CD,AB=CD

•;DF=CD

:.DF=AB

:.DF=AB,DF//AB

:.四边形ABDF是平行四边形；

(2)过C作CH，BO于H,过D作。。_LAF于Q,

V四边形ABCD和四边形ABDF都是平行四边形，AB=2,AF=4,ZF=30°,

DF=AB=2,CD=AB=2,BD=AF=4,BD//AF

：.NBDC=NF=36

：.DQ=-DF=-x2=\,CH=-DC=-x2=\

2222

四边形ABCF的面积S=SoDBDuFrzA*+S△one=AT7xDQ-+—xBDxCH=4x1+—x4xl=6

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识点，解题的关键在于综合运用定理进行推理.

21、(1)V2m；(2)不需拆除文化墙PM,理由见解析.

【分析】(1)根据锐角三角函数，即可求出AC；

(2)由题意可知：CM=3m,根据锐角三角函数即可求出DC,最后比较DC和CM的大小即可判断.

【详解】解:(1)在RSABC中,NABC=45。,坡长AB=2m,

AC=AB•sinZABC=^/2m

答：舞台的高AC为0m；

(2)不需拆除文化墙PM,理由如下，

由题意可知：CM=3m

在RtAADC中，ZADC=30°,AC=V^m

.AC[2

..DC=---------=J6m

tanZ.ADC

":的m<3m

.\DC<CM

.,•不需拆除文化墙PM.

【点睛】

此题考查的是解直角三角形的应用，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.

22、(1)b=2或b=-10；(2)XI=X2=2；

【分析】(D根据根的判别式即可求出答案.

(2)由(1)可知b=2,根据一元二次方程的解法即可求出答案.

【详解】解：(1)由题意可知：△=(b+2)2-4(6-b)=0,

二从+%-20=0

解得：b=2或b=-10.

(2)当b=2时，

此时x2-4x+4=0,

:.(x-2)2=0,

/.X1=X2=2;

【点睛】

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型.

23、V2

【分析】将特殊角的三角函数值代入求解.

【详解】解：原式=2x也—正x占+(也]

2232[2)

二33

=72—十一

“44

=>/2・

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值.

4-

24、(1)y=-；(2)ZN2或左<—10.

x

【分析】(D将点A(-1,-4)代入反比例函数解析式^=生，即可得m的值；

x

(2)分两种情况讨论:当P在第一象限或第三象限时，过点A作ACPP?于点C,交x轴于点B,AAMNsAAPP',

通过相似的性质求出AC的长，然后求出点P的坐标，求出一次函数的解析式，即可求出k的取值范围.

【详解】解：(1)将点A(-1,-4)代入反比例函数解析式丫=生，即可得m=4,

X

4

工反比例函数解析式是丫=—；

x

(2)分两种情况讨论：当P在第一象限时，如图1,当PP'=°MN时，过点A作ACLPP?于点C,交x轴于点B,

2

•.•MN〃PP',ACLMN,

:.AAMNsAAPP,,

.ABMN2

••--=-----=-J

ACPP'3

.*.AC=6,

•••点P的纵坐标是2,