2023届甘肃省徽县九年级数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机抽取两本，两本都是小说的概率是（）

3941

A.—■B.~~C・――D.~~

10252510

2.如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离8c为30，"，在A点测得。点的仰角NE4O为45。，在8点测

得。点的仰角NCB。为60。，则乙建筑物的高度为（）米.

D

A.30GB.3073-30C.30D.3072

3.已知抛物线产M+bx+c（“Vo）与x轴交于点4（-1,。），与y轴的交点在（0,2）,（0,3）之间（包含端点）,

2.

顶点坐标为（1,则下列结论：①4a+2b<0；②-£仁一针③对于任意实数机，处卬"2+而总成立；④关于

x的方程。*2+取+'=〃-1有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.下列方程中，关于x的一元二次方程是（）

11

A.3（x+l）2=2（x+l）B.—H--------2=0

rX

C.ax2+bx+c=0D.x2+lx=x2^l

5.如图A43c中，BE平分NA5C,DE//BC9若AE=2,那么AC的长为（）

D.6

°

把分式」中的。、

7.。都扩大3倍，则分式的值（）

a-b

A.扩大3倍B.扩大6倍C.不变D.缩小3倍

8.如图，在方格纸中，点A,B,C都在格点上，则tan/ABC的值是（）

175r

A・2B・—"C*—D・\J5

25

9.已知点（xi，y。、（X2，y2）、（X3,y3）在反比例函数y=-二的图象上，当xi〈x2Vo<X3时，ypyi»y3的大小关系

x

是（）

A.yi<yj<y2B.y2<yi<yjC.ya<yi<y2D.y3<y2<yi

10.的绝对值为（）

2

1

A-2B.~~C.D.1

2

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.图甲是小张同学设计的带图案的花边作品，该作品由形如图乙的矩形图案设计拼接面成（不重叠，无缝隙）.图乙

中，点E、尸、G、H分别为矩形AB、BC、CD、ZM的中点，若A8=4,8C=6,则图乙中阴影部分的面积为

图甲图乙

12.如图,A、B、。是。O上的点，若NAO8=100,则NACB=___________度.

13.将方程x2+5x=7化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1,则一次项系数、常数项分别为

14.在AABC中，若NA、E>8满足sinA-g+Jtan8一百=0,则AABC为三角形.

15.小明和小亮在玩“石头、剪子、布，，的游戏，两人一起做同样手势的概率是.

16.已知函数y=-f—2》，当时，函数值y随x的增大而增大.

2

17.如图，等腰直角三角形40c中，点C在），轴的正半轴上，OC=AC=4,AC交反比例函数y=—的图象于点F,

过点尸作尸。J_04,交04与点E,交反比例函数与另一点。，则点。的坐标为

18.如图，一下水管横截面为圆形，直径为100。〃，下雨前水面宽为60cm,一场大雨过后，水面上升了10cm,则

水面宽为cm.

三、解答题（共66分）

19.（10分）如图，小明在地面A处利用测角仪观测气球C的仰角为37。，然后他沿正对气球方向前进了40m到达地

面B处，此时观测气球的仰角为45。.求气球的高度是多少？参考数据：sin37%0.60,cos37°~0.80.tan37°~0.75

20.（6分）如图，在oABCD中，AB=4,N8=45°,ACLAB,尸是BC上一动点，过尸作A尸的垂线交CD于

（1）求证/W=~F;

（2）当3P=3PC时，求AE的长；

（3）当AP2=A”.43时，求4G的长.

21.（6分）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1,0）,与y轴的交点坐标

为（0,3）.

（1）求出b,c的值，并写出此二次函数的解析式；

（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.

22.（8分）如图所示，是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为10米，灯柱8c与灯杆A3的夹角为12（）。.路

灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域OE的长为13.3米，从。，E两处测得路灯A的仰角分别为a和45。，且

tana=6.求灯杆AB的长度.

23.（8分）定义：如图1,点尸为N40B平分线上一点，NMPN的两边分别与射线04,0B交于M,N两点，若NMPN

（1）如图1,已知NAO8=60。，点P为NA08平分线上一点，NMPN的两边分别与射线04,05交于M,N两点,

且NMQV=150。.求证：NMPN是NA05的“相关角”；

（2）如图2,已知NA03=a（0。<<1<90。），0P=3,若NMPN是NA08的“相关角”，连结MN,用含a的式子分别

表示/MPN的度数和AMON的面积；

4

（3）如图3,C是函数丫=一（x>0）图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点4B两点,且

满足BC=3C4,NA05的“相关角”为NAP5,请直接写出0P的长及相应点尸的坐标.

24.（8分）二次函数图象是抛物线，抛物线是指平面内到一个定点尸和一条定直线/距离相等的点的轨迹.其中定点

产叫抛物线的焦点，定直线/叫抛物线的准线.

①抛物线》=以2（0#0）的焦点为尸（0,5],例如，抛物线y=的焦点是尸（0,；｝抛物线y=-3x2的焦点是

②将抛物线>=女2（4。0）向右平移〃个单位、再向上平移攵个单位仍>0,k>0）,可得抛物线

y=a（x-h）2+k（a^O）；因此抛物线y=a（x+Z（aNO）的焦点是.例如，抛物线y=

的焦点是尸（0,j；抛物线y=；（x+l）2的焦点是.根据以上材料解决下列问题：

（1）完成题中的填空；

（2）已知二次函数的解析式为），=%2+2%-1；

①求其图象的焦点尸的坐标；

②求过点F且与x轴平行的直线与二次函数y=x2+2x-［图象交点的坐标.

14

25.（10分）如图：在平面直角坐标系中，直线/：y=1与X轴交于点A，经过点A的抛物线旷=依2-3X+C

3

的对称轴是X=G.

2

（1）求抛物线的解析式.

（2）平移直线/经过原点。，得到直线机，点P是直线加上任意一点，轴于点B,尸。，丁轴于点。，若点

E在线段OB上，点厂在线段。。的延长线上，连接PE,PF,且PF=3PE.求证：PELPF.

（3）若（2）中的点P坐标为（6,2）,点E是x轴上的点，点厂是轴上的点，当PELPF时,抛物线上是否存在

点Q,使四边形PEQE是矩形？若存在，请求出点。的坐标，如果不存在，请说明理由.

26.（10分）如图，在AABC中，是BC上的高.tanB=cosZDAC.

求证：AC=BD.

BD

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、A

【分析】画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有2（）种等可能的结果数，找出从中随机

抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】画树状图为：（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）

共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6,

从中随机抽取2本都是小说的概率=捺=宗.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查等可能事件的概率，掌握画树状图以及概率公式，是解题的关键.

2、B

【分析】在R3BCD中，解直角三角形，可求得CD的长，即求得甲的高度，过A作AF_LCD于点F,在RtAADF中

解直角三角形可求得DF,则可求得CF的长，即可求得乙的高度.

【详解】解：如图，过A作AF_LCD于点F,

在R3BCD中，ZDBC=60°»BC=30m,

CD

■:tanZDBC=>

t>c

:.CD=BC«tan60°=30+m,

，甲建筑物的高度为3073m:

在RtAAFD中，NDAF=45。，

DF=AF=BC=30m,

/.AB=CF=CD-DF=（30百-30）m,

乙建筑物的高度为（30百-30）m.

故选B.

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键.

3、C

【解析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a,进而可得出4a+2b=0,结论①错误；

r2

②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a可得出a=--,再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出T,

结论②正确；

③由抛物线的顶点坐标及aVO,可得出n=a+b+c,且n'ax'bx+c,进而可得出对于任意实数m,a+b，am2+bm总成立，

结论③正确；

④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax?+bx+c与直

线y-n-1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c=n-l有两个不相等的实数根，结合④正确.

【详解】：①•••抛物线尸ax%bx+c的顶点坐标为（Ln）,

,b

—=1>

2a

b=-2a,

，4a+2b=0,结论①错误；

②•抛物线y=ax?+bx+c与x轴交于点A（-1,0）,

a-b+c=3a+c=0,

又•..抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在（0,2）,（0,3）之间（包含端点）,

，2<c<3,

2

--,结论②正确；

3

③顶点坐标为（1,n）,

n=a+b+c,且n，ax'+bx+c,

对于任意实数m,a+b2am2+bm总成立，结论③正确；

④：抛物线y=ax?+bx+c的顶点坐标为（1,n）,

•*.抛物线y=ax?+bx+c与直线y=n只有一个交点，

又一〈（），

抛物线开口向下，

抛物线y=ax?+bx+c与直线y=n-l有两个交点，

关于x的方程ax2+bx+c=n-l有两个不相等的实数根，结合④正确.

故选C.

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结

论的正误是解题的关键.

4、A

【分析】依据一元二次方程的定义判断即可.

【详解】A.3仪+1）三2年+1）是一元二次方程，故A正确；

B.,+上-2=0是分式方程，故B错误；

xx

C.当a=0时，方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故C错误；

D.x2+2x=x2-l>整理得2x=-l是一元一次方程，故D错误；

故选A.

【点睛】

此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.

5、D

AE

【分析】首先证明BD=OE=2AO,再由。后〃5C,可得不==，求出EC即可解决问题.

BDEC

【详解】解：・・・DE〃BC,

:・/DEB=NEBG

V8E平分NA5C,

:.NAB£=/EBC,

:・NDEB=NDBE,

:.DB=DE,

♦：DE=2AD,

；・BD=2AD,

VDE//BC,

•_A_D___A_E

''~BD~~EC'

.1_2

"2~~EC)

，EC=4,

：•AC=AE+EC=2+4=6,

故选：D.

【点睛】

AF)AP

此题考查平行线分线段成比例，由Z)E〃8C,可得——=——，求出EC即可解决问题.

BDEC

6、C

【解析】从上往下看，总体上是一个矩形，中间隔着一个竖直的同宽的小矩形，而挖空后长方体内的剩余部分用虚线

表示为左右对称的两条靠近宽的线，选项C中图象便是俯视图.

故选：C.

7、C

【分析】依据分式的基本性质进行计算即可.

【详解】解：Ta、b都扩大3倍，

3x2a_6a_2a

*'3a-3b3(a-b)a-b

...分式的值不变.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键.

8、A

【分析】根据直角三角形解决问题即可.

【详解】解：作AEJ_5C,

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.

9、C

【分析】根据反比例函数为y=-2,可得函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，进而得到

X

yi>yz>y3的大小关系.

【详解】解：•.•反比例函数为y=-2,

x

函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，

又,:X]<X2<0<X3>

yi>0,yz>0>y3<0，且yi〈y2，

•••y3〈yiVy2，

故选：c.

【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答.

10、c

【分析】根据绝对值的定义即可求解.

【详解】一：的绝对值为工

22

故选C.

【点睛】

此题主要考查绝对值，解题的关键是熟知其定义.

二、填空题（每小题3分，共24分）

22

11、

5

【分析】根据S阴=S菱形PHQF-2SA〃TN，再求出菱形PHQ尸的面积，△"TN的面积即可解决问题.

【详解】如图，设尸M=HN=a.

由题意点E、尸、G、"分别为矩形A3、BC、CD、ZM的中点，

四边形DFBH和四边形CFAH为平行四边形，

；.DF〃BH,CH〃AF,

四边形HQFP是平行四边形

又HP=!CH=DP=PF,

2

,平行四边形尸尸是菱形，它的面积=!5超彩48点=!'4X6=6,

-44

VFM//BJ,CF=FB,

:.CM=MJ,

：.BJ=2FM=2a,

'：EJ//AN,AE=EB,

：.BJ=JN=2a,

13

VSAHBC=~*6*4=12,HJ=~BH>

336

:.SAHCJ=-xl2=—,

VTN//CJ9

:.△HTNSRHCJ,

S.HTNHN1

,,S.HCJHJ9

,_136_4

•e•SAHTN=~x~f

.__8_22

；・S阴=S菱形PHQF-2SAHTN=6~~=——9

故答案为草.

5

【点睛】

此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、菱形的判定与性质及相似三角形的性质.

12、130°.

【分析】

在优弧AB上取点D,连接AD,BD,根据圆周角定理先求出/ADB的度数，再利用圆内接四边形对角互补进行求解

即可.

【详解】

在优弧AB上取点D,连接AD,BD,

,:ZAOB=100°,

1

:.ZADB=—ZAOB=50°，

2

:.ZACB=1800-ZADB=130°.

故答案为130°.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补的性质，正确添加辅助线，熟练应用相关知识是解题的关键.

13、5，-7.

【分析】一元二次方程化为一般形式后，找出一次项系数与常数项即可.

【详解】解：方程整理得：f+5%—7=()，

则一次项系数、常数项分别为5,-7；

故答案为：5,-7.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为6?+"+c=0(a力0).

14、直角

【分析】先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得NA和NB,即可作出判断.

+Jtan8一百=0,

【详解】sinA——

2

•'«sinA——=0,tanB-A/3=0，

sinA=—,tan6=百，

Vsin30°=g,tan60°=6，

AZA=30°，NB=60°,

A=180°-30^^05=90°-°-°=°,

•'.△ABC是直角三角形.

故答案为：直角.

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值，非负数的性质及三角形的内角和定理，根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求

出NA、NB的度数，是解题的关键.

1

15、-

3

【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数，然后根据概

率公式求解.

【详解】画树状图为：

石头剪刀布

石头剪力布石头剪刀布石头剪刀布

共有9种等可能的结果数，其中两人随机同时出手一次，做同样手势的结果数为3,

31

故两人一起做同样手势的概率是的概率为3=7.

故答案为：—.

【点睛】

本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

16、x<-1.

【解析】试题分析：..♦/=—2x=—(x+l)2+l,a=-l〈0,抛物线开口向下，对称轴为直线x=-L.•.当xS-1

时，y随x的增大而增大，故答案为烂-1.

考点：二次函数的性质.

1

17、(4,-)

【分析】先求得少的坐标，然后根据等腰直角三角形的性质得出直线的解析式为产工,根据反比例函数的对称性

得出尸关于直线。4的对称点是。点，即可求得。点的坐标.

2

【详解】V0C=AC=4,AC交反比例函数产士的图象于点尸，

x

，尸的纵坐标为4,

21

代入y=—求得x=—,

x2

・・・「（！，4）,

2

•・•等腰直角三角形AOC中，ZAOC=45°,

・・・直线。4的解析式为产x,

・•・/关于直线。4的对称点是。点，

.•.点。的坐标为（4,!）,

2

故答案为：（4,—）.

2

【点睛】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，反比例函数的对称性是解题的关键.

18、1

【分析】先根据勾股定理求出OE的长，再根据垂径定理求出CF的长，即可得出结论.

【详解】解：如图：作OE_LAB于E,交CD于F,连接OA,OC

；AB=60cm,OE±AB,且直径为100cm,

；・OA=50cm，A&-'A3=30cm

2

：•OE>4502—3()2=40cm，

:水管水面上升了10cm,

.,.OF=40-10=030cm,

•••CF=yjoc2-OF2=40cm>

:.CD=2CF=lcm.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查的是垂径定理的应用，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关

键.

三、解答题（共66分）

19>120m

【分析】在RtAACD和RtABCD中，设CD=x,分别用x表示AD和BD的长度，然后根据已知AB=40m,列出方

程求出x的值，继而可求得气球离地面的高度.

【详解】设CD=x,

在RtABCD中，

：NCBD=45。，

•IBD=CD=x,

在RtAACD中，

VZA=37°,

.CD

・・tan37°=——■,

AD

x

，，AD=055，

VAB=40m,

x

・••AD-BDF-X=40,

解得：x=120>

...气球离地面的高度约为120（m）.

答：气球离地面的高度约为120m.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形.

20、（1）见解析；（2）AE=2芯;（3）AG=80—8

【分析】（D先证明P、C、F共线，由余角的性质可证NPEC=NQ4G,根据等角对等边证明Q4=PF,再由余角

的性质证明和等角对等边证明结论可证；

（2）过4作于M,由勾股定理可求BC=40,然后求出MP的长，再由勾股定理求出AP的长，由VAPE

是等腰直角三角形可求出AE的长；

（3）通过证明A4P“〜可得ZAPH=NB=45°,由外角的性质可求出NPAF=F=22.5°,再根据角的和差

和三角形内角和定理证明NBQ4=N3AP,然后求出PC=40-4,然后通过证明ACPG〜,利用相似三角

形的对应边成比例即可求解.

【详解】（1）•••四边形ABCD是平行四边形，ZB=45°,

•••NPCE=135°，

NPCR=135°，

又；ACA.AB,

：.ZACB=45°，ZACE=90°，

故尸在AC的延长线上.

又NCEG+NCGE=90°，ZPAG+ZPGA=90°，

而NCGE=ZPGA,:.APEC=ZPAG,

而NPEC=NF,：.ZPAF=ZF,：.PA=PF,

又NCAP+NPAH=90°，+>：.ZPAH=ZPHA，

:.PA=PH，：.PF=PH,

(2)过A作AM_L3C于M,

VAB=AC,AB=4,

:.BC=472，

ABM=CM=2丘，AM=2及,

又•••BP=3CP,

ABP=3V2»CP=V2»

:.MP=V2,

:.AP=y/10,

由(1)知AP=AE,

:.VA/>£是等腰直角三角形，

AE=25/5；

A______________,D

（3）由4尸=4〃M，且"4//=NB4B得

A4P/7〜A4BP./.ZAPH=/B=45°，

NPAF=ZF=22.5°>，ZBPA=ZBAP=67.5°，

；.BP=AB=4,/.PC=472-4，

■:4EPC=NFPC=ZACP—NF=22.5°，

:.NGPC=APAC,而AZAPC=ZAPC,

:.KPG~AC4P,...CP?=CGCA，

CG=12-80，

，AG=8人-8.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，余角的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理，以及相似三

角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

21、（1）b=2,c=3,y=-x2+2x+3:（2）-1<x<3

【分析】（1）把抛物线上的两点代入解析式，解方程组可求乐c的值；（2）令y=l,求抛物线与x轴的两交点坐标，

观察图象，求y>l时，x的取值范围.

—1—Z?+c=O

【详解】解：（1）将点（-1,1）,（1,3）代入y=-x2+bx+c中，得〈.

c=3

b=2

解得」..

c=3

:.y=-x2+2x+3

（2）当y=l时，解方程-f+2x+3=0.

得％=-1,/=3,

又•••抛物线开口向下,

.•.当J〈x<3时，y>l.

【点睛】

本题考查了待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线与x轴的交点，开口方向，可求y>l时，自变量x的取值范围.

22、2.8米

【分析】过点A作交CE于点尸，过点3作3G_LAE,交AF于点G,则8=30=10米.设AF=x.

AF_x_x

根据正切函数关系得DF=可进一步求解.

tanZADFtana6

【详解】解：由题意得NADE=a,ZE=45°.

过点A作AE_LCE,交CE于点F,

过点8作8G_LAF,交4b于点6,则8=8。=1（）米.设4/?=兀.：/石=45。，，麻=47=%.在氏八4。/中，

Ap

■：tanZADF=—,

DF

rLA77XX

：.DF=--------------=--------=—.

tanZADFtana6

x

DE-13.3,x-\—=13.3.x=11.4.

6

.-.AG=AF-GF=11.4-10=1.4（米）.

vZABC=120°,

ZABG=ZABC-NCBG=120。-90。

=3（r...AB=2AG=2.8（米）.

答:灯杆AB的长度为2.8米.

A

/I\

II\

I|\【点睛】

/I\

一\

/I_______________\

CDFE

考核知识点：解直角三角形应用.构造直角三角形，利用直角三角形性质求解是关键.

194万一f4加4指）

23、（1）见解析；（2）ZMPN=180°--a,S^MON=-sin«；（3）OP=-―-＞尸点坐标为—或

223IJ3,

’2逐2后

3'3

\0）

【分析】（1）由角平分线求出NMOP=NNOP=g/AOB=30。，再证出NOMP=NOPN,证明AMOPSAPON,即

可得出结论；

（2）由NMPN是NA05的“相关角”，判断出△MOPS2\PQV,得出NOMP=NOPN,即可得出NMPN=180。-ga；

过点M作M//JL08于//,由三角形的面积公式得出：SXMON=^ON，MH,即可得出结论；

（3）设点C（a,b）,则ab=3,过点C作CH_L04于％分两种情况：①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴

CA1

的负半轴上时，BC=3C4不可能；当点A在“轴的正半轴上时；先求出其=:，由平行线得出得

AB4

出比例式：空=空=绘=］，得出0A,求出。405根据NAP8是NA08的“相关角”，得出“，即可

OBOAAB4

得出点尸的坐标；②当点B在y轴的负半轴上时；同①的方法即可得出结论.

【详解】（1）证明：・・・NAOB=60。，尸为NAO8的平分线上一点，

:.ZAOP=NBOP=-403=30。，

2

VZM0P+Z0MP+ZMP0=180°,

:.NOMP+NMPO=150。，

•・・NM/W=150。，

:.NMP0+N0PN=150。，

：.NOMP=/OPN,

:•△MUPsWON,

.OM二OP

••~OP~^NJ

:.OP2=OM・ON,

・・・NMRV是N4O3的“相关角”；

（2）解：TNMPN是NAO3的“相关角”,

工OM，ON=OP2,

.OMOP

••~OP~~ON9

VP为ZAOB的平分线上一点，

:.ZMOP=NNOP='a,

2

:.AMOPsAPON,

:・NOMP=NOPN,

:.NMPN=ZOPN+ZOPM=ZOMP+ZOPM=180°-—a,

2

即NMPN=180。-

过点M作叔，06于"，如图2,

A

则S»MON=5ON*MH=-ON•OMsiutt=万OP2*sin<z?

•：OP=3,

•,_9.

••、AMON——sm<z；

2

(3)设点C(a,b),贝！Jab=4,

过点C作CHLQ4于H；分两种情况:

①当点3在y轴正半轴上时;

I、当点A在x轴的负半轴上，如图3所示:

-------Aox

图3

BC=3CA不可能，

n、当点A在x轴的正半轴上时，如图4所示:

.CA1

••=-9

AB4

■:CH//OB,

AAACH^AABO,

.CHAHAC_1

~OB~~OA~~AB~\9

.bOA-a_l

•・OB-OA-49

4

:.OB=4b,OA=­a,

3

41664

:.OA，OB=-a*4b=—ab=—,

333

；NAP3是NA03的“相关角”，

：.OP2=OA»OB,

：.OP=，OA-OB=居=乎,

；NAQB=90°,OP平分NA08,

’4加4向

...点尸的坐标为:亍'亍

\7

②当点5在y轴的负半轴上时，如图5所示:

图5

VBC=3CA9

".AB=2CA9

CA1

•・•一-，

AB2

■:CH//OB,

：.AACH^AABO,

.CHAHAC

“而一市一花一5

.ba-OA_1

••~OB~OA-2

2

A0B=2b,0A=—a,

3

VNAP5是NA08的“相关角”,

：.OP2=OA»OB,

：.OP=JOA-OB=^=半,

VZAOB=90°,OP平分NA08,

(27620

.点P的坐标为:

(33J

（痴（2A/6

综上所述：点尸的坐标为：;4，卷4m一或巫

【点睛】

本题考查反比例函数与几何综合，掌握数形结合和分类讨论的思想是解题的关键.

24、（1）①一W②（一I'/）；⑵①口（一1'一（）；②和（一］'一:

【分析】（1）直接根据新定义即可求出抛物线的焦点；

（2）①先将二次函数解析式配成顶点式，再根据新定义即可求出抛物线的焦点；

②依题意可得点尸且与x轴平行的直线，根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，将点尸的纵坐标代入解析式即

可求得x的值，从而得出交点坐标.

【详解】（1）①根据新定义，可得;=，:。、=4,

4a4x（-3）12

所以抛物线y=-3x2的焦点是10,一丹

I,1cl

___t.k—_____|_0=一

②根据新定义，可得%=T,4a一，1一2，

4X——

2

所以抛物线y=；（》+的焦点是；

（2）①将》=犬+2%-1化为顶点式得：

y=（x+l）2-2

117

根据新定义，可得人=-1,-+k=---2^--,

4a4x14

所以可得抛物线y=V+2x-l的焦点坐标厂1-1,一（）；

②由①知^^-1,-^,所以过点P且与8轴平行的直线是y=一：，

7

将y=—/代9入y=f+2%—1得：

——=x2+2x—1,

4

解得：x=_；或x=_],

所以，过点产且与K轴平行的直线与二次函数y=x2+2x-1图象交点的坐标为和（一|「（1.

【点睛】

本题考查了新定义、二次函数的顶点式、求解直线与抛物线的交点坐标，解决这题的关键是理解新定