2023届达州市重点中学数学九年级第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

x2

1.已知一=彳，则下列结论一定正确的是（）

y3

x3y5

A.x=2,y=3B.2x=3yC.--D.-c

x+y5y3

2.如图，等边△ABC的边长为3,P为BC上一J点，且BP=1,D为AC上一点，若NAPD=60。，则CD的长是（）

A

bpc

4321

A.—B・一C.-D.-

5432

3.如图，AAOB为等腰三角形，顶点A的坐标＜12,石），底边OB在x轴上.将AAOB绕点B按顺时针方向旋转一

定角度后得AATTB,点A的对应点A，在x轴上，则点（X的坐标为（）

BA^x

A.（型，12）B.（更，撞）C,逑）D.（3，46）

3333333

4.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,。都在这些小正方形的顶点上，48,。。相交于点。，则

cosABOD=()

A1n石「2石no

A.—B.——C.------D.2

255

5.点点同学对数据25,43,28,2口,43,36,52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数被墨水涂污看不到了，则计

算结果与涂污数字无关的是（）

A.平均数B.中位数C.方差D.众数

6.一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和〃个黑球.随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回

袋中摇匀.大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在1.2附近，则”的值为（）

A.2B.4C.8D.11

7.对于一个圆柱的三种视图，小明同学求出其中两种视图的面积分别为6和10,则该圆柱第三种视图的面积为（）

A.6B.10C.4D.6或10

8.若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为（）

A.60°B.90°C.120°D.180°

9.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,若共有x人参加聚会，则根据题意，可列方程（）

A.x（x-l）=10B.x（x+l）=10C.—x（x-l）=10D.—x（x+l）=10

22

10.一元二次方程-X2+6%一10=（）的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.一张矩形的纸片ABCD中，AB=10,AD=8.按如图方式折，使A点刚好落在CD上。则折痕（阴影部分）面积为

12.某小区2019年的绿化面积为3000m2,计划2021年的绿化面积为4320m2,如果每年绿化面积的增长率相同，设

增长率为X,则可列方程为.

13.抛物线y=(x-3)2-2的顶点坐标是.

3

14.如图，将函数v=—(x>0)的图象沿〉轴向下平移3个单位后交x轴于点C,若点。是平移后函数图象上一点,

x

15.写出一个二次函数关系式，使其图象开口向上_____.

16.超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20

千克，现超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价为_____元.

17.如图，在△A5C中，NCA8=65°,在同一平面内，将△A3C绕点A逆时针旋转到的位置，使得CC〃A5,

42

18.反比例函数％=一与%=—在第一象限内的图象如图所示，轴于点C，与两个函数的图象分别相交于

xx

A6两点，连接OA,OB,则MOB的面积为.

19.(10分)如图，在平面直角坐标系中，点尸(-1,机)是双曲线了=一上的一个点，过点尸作PQ_Lx轴于点Q,

连接P。，AOP。的面积为1.

yt

QO\x

（1）求机的值和双曲线对应的函数表达式；

（2）若经过点P的一次函数y=Ax+方（后0、厚0）的图象与x轴交于点A,与y交于点8且尸8=245,求左的值.

20.（6分）（1）如图1,在ZVU3C中，点。在边BC上，且即=AB=AC,AD=CD,求DB的度数；

（2）如图2,在菱形瓦G”中，ZE=72°,请设计三种不同的分法（只要有一条分割线段不同就视为不同分法），

将菱形EFG”分割成四个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（不要求写画法，要求画出分割线段，标出所得

三角形内角的度数）.

HHH

F

图2

21.（6分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=加+版+C（Q>0）与x轴交于点A（T,0）和点B（3,0）,与），轴

交于点C,且NO6C=30°.点E在第四象限且在抛物线上.

（1）如（图1）,当四边形OCEB面积最大时，在线段BC上找一点“，使得EM+二5M最小，并求出此时点£的

2

坐标及EM+-BM的最小值

2

（2）如（图2）,将△AOC沿X轴向右平移2单位长度得到△A。。一再将△AGa绕点4逆时针旋转a度得到

△4。2。2,且使经过4、的直线/与直线BC平行（其中0°<a<180。），直线/与抛物线交于K、H两点，点N

在抛物线上.在线段K”上是否存在点P,使以点3、C、尸、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接

写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（8分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水

池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图所示，以水平方

向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系.

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中

心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到

32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大

高度.

23.（8分）抛物线y=-g/+&x+3与x轴交于A,B两点，与丁轴交于点C,连接BC.

（1）如图1,求直线8c的表达式；

（2）如图1,点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接尸C,//,当△PC5面积最大时，一动点。从点尸从出发,

沿适当路径运动到）'轴上的某个点G处，再沿适当路径运动到x轴上的某个点“处，最后到达线段8c的中点厂处停

止，求当△产四面积最大时，点尸的坐标及点。在整个运动过程中经过的最短路径的长；

（3）如图2,在（2）的条件下，当APCB面积最大时，把抛物线丁=-；/+&%+3向右平移使它的图象经过点尸,

得到新抛物线V,在新抛物线V上，是否存在点E,使AECB的面积等于△2点的面积.若存在，请求出点E的坐

标，若不存在，请说明理由.

(2)求△AOB的面积.

VA

25.(10分)如图，已知抛物线y=-x2+历c+c经过AAHC的三个顶点，其中点A(o,3),点B(—12,15),AC//x

4

轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P且与＞轴平行的直线/与直线A3、AC分别交与点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求点P的

坐标；

(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点。，使得以C、P、。为顶点的三角形与AAZ?。相似,

若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

26.（10分）已知二次函数,丫=/-2,依+加2—|（m为常数）.

（1）证明：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点：

（2）当m的值改变时，该函数的图像与x轴两个公共点之间的距离是否改变？若不变，请求出距离;若改变，请

说明理由.

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1、D

【分析】应用比例的基本性质，将各项进行变形，并注意分式的性质yWO,这个条件.

x2

【详解】A.由一=z，则x与y的比例是2:3,x=2,y=3只是其中一特殊值，故此项错误;

y3

--x3

B.由3x=2y,可化为一=彳，且y#0,故此项错误；

y2

x3x3

C.——化简为一二彳，由B项知故此项错误；

y5y2

y5x2

D.―-=可化为一二不，故此项正确；

y3>3

故答案选D

【点睛】

此题主要考查了比例的基本性质，正确运用已知变形是解题关键.

2、C

【分析】根据相似三角形的判定定理求出AABPs^PCD,再根据相似三角形对应边的比等于相似比的平方解答.

【详解】•••△ABC为等边三角形，

:.ZB=ZC=60°,

又：ZAPD+ZDPC=ZB+ZBAP,且NAPD=60。，

.,.ZBAP=ZDPC,

/.△ABP^APCD,

BPAB

.*.-f

CDPC

VAB=BC=3,BP=L

APC=2,

.1_3

••一9

CD2

2

.,.CD=-,

3

故选C.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

3、C

【分析】利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标.

【详解】解：过。作。F_Lx轴于点F,过A作AEJ_x轴于点E,

•••A的坐标为（1,5,.,.AE=V5,OE=1.

由等腰三角形底边上的三线合一得OB=1OE=4,

在RtAABE中，由勾股定理可求AB=3,则A，B=3,

由旋转前后三角形面积相等得2H*些=*”少，即土卫53OT

—9

2222

.•.0T=您\

3

在RtACTFB中，由勾股定理可求BF=—）=|，.•.OF=4+—.

33

的坐标为（竺，勺5）.

33

故选C.

本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式.

4、B

【分析】通过添加辅助线构造出后，将问题转化为求cosN0CE的值，再利用勾股定理、锐角三角函数解

RfACDE即可.

【详解】解：连接CE、DE,如图:

,•・由图可知：N1=N2=N3=N4=ZABE=45°

/.ZCED=N2+N3=90°,AB//CE

ZBOD=ZDCE

•.•小正方形的边长为1

:.在RtMDE中，CE=Vl2+12=立,CD=A/12+32=回

：.cosNDCE=生=隼=—

CDM5

cosNBOD=cosZ.DCE=---

5

故选：B

【点睛】

本题考查了正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数.此题难度适中，解题的关键准确作出辅

助线，注意转化思想与数形结合思想的应用.

5、B

【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断.

【详解】这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，

而这组数据从小到大排序后，位于中间位置的数是36,与十位数字是2个位数字未知的两位数无关，

...计算结果与涂污数字无关的是中位数.

故选：B.

【点睛】

本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度.也考查了中位

数、平均数.

6、C

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率.

2

【详解】解：依题意有：——=1.2,

2+n

解得：n=2.

故选：C.

【点睛】

此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A

rn

出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=一是解题关键.

n

7,D

【分析】一个圆柱的三视图是圆和长方形，所以另外一种视图也是同样的长方形.

【详解】一个圆柱的三视图是圆和长方形，所以另外一种视图也是同样的长方形,如果视图是长方形的面积是6,另外一种

视图的面积也是6,如果视图是长方形的面积是10,另外一种视图的面积也是10.

故选：D

【点睛】

考核知识点：三视图.理解圆柱体三视图特点是关键.

8、C

【详解】解:设母线长为R,底面半径为r,可得底面周长=2仃，底面面积=兀产，侧面面积=11r=7trR,

2

根据圆锥侧面积恰好等于底面积的3倍可得37rr2=7rrR,即R=3r.

根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，设圆心角为n,有空四=2万r,

180

可得圆锥侧面展开图所对应的扇形圆心角度数n=120°.

故选C.

考点：有关扇形和圆锥的相关计算

9、C

【分析】如果X人参加了这次聚会，则每个人需握手X-1次，X人共需握手X(X-1)次；而每两个人都握了一次手，

因此一共握手1)=10次.

【详解】设x人参加了这次聚会，则每个人需握手x-1次，

依题意，可列方程;x(x-l)=10.

故选C.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用.

10、D

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.

【详解】VA=62-4x(-1)x(-10)=36-40=-4<0,

二方程没有实数根.

故选D.

【点睛】

此题考查一元二次方程的根的判别式，解题关键在于掌握方程有两个不相等的实数根；当A=0,方程有两个相等的实

数根；当△<(),方程没有实数根.

二、填空题(每小题3分，共24分)

11、25

【分析】根据折叠利用方程求出AE的长即可

【详解】设=则。石=8-x

•.•折叠

:.AABE=\FBE

：.AB=BF=lO,AE=EF=x

:•RtMCF中,CF=[BF2+BC?=6

.\DF=4

二RdBCF中,DF2+DE2=EF2

(8-x)2+42=x2

解得x=5

S邮EF-S”BEA~/ABxAE=—xlOx5=25

故答案为25

【点睛】

本题考查了折叠与勾股定理，利用折叠再结合勾股定理计算是解题关键。

12、3000(1+x)2=l

【分析】设增长率为x,则2010年绿化面积为3000(1+x)nf,则2021年的绿化面积为3000(1+x)(1+x)m2,然

后可得方程.

【详解】解：设增长率为x,由题意得：

3000(1+x)2=1,

故答案为：3000(1+x)2=1.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系.

13、(3,-2)

【分析】根据抛物线y=a(x-h)2+«的顶点坐标是(h,A)直接写出即可.

【详解】解：抛物线尸(x-3)2-2的顶点坐标是(3,-2).

故答案为(3,-2).

【点睛】

此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线.丫=。。-〃)2+&的顶点坐标是(〃,幻，对称轴是x=〃.

14、1|，或(3，-2)

【分析】根据函数图象的变化规律可得变换后得到的图象对应的函数解析式为丫=士-3,求出C点的坐标为(1,0),

X

那么BC=3,设ABCD的边上高为〃，根据MCD的面积是3可求得/?=2,从而求得。的坐标.

【详解】解：••・将函数y=』(x>0)的图象沿，轴向下平移3个单位后得到>=3-3,

令y=0,得0=3一3,解得x=l,

X

二点C的坐标为(1,0),

••・点3(-2,0),

:.BC=3.

设ABCD的边8c上高为h,

•.•MCD的面积是3,

・•.-.3/2=3,

2

h=29

将y=2代入>=三3一3,解得冗=3二；

x5

3

将y=-2代入y=3-3,解得x=3.

x

.•・点。的坐标是?，2)或(3,—2).

故答案为：(|,2)或(3,-2).

【点睛】

本题考查了坐标与图形变化-平移，三角形的面积，函数图像上点的特征，由平移后函数解析式求出。点的坐标是解题

的关键.

15、y=3x2

【分析】抛物线开口向上，则二次函数解析式的二次项系数为正数，据此写二次函数解析式即可.

【详解】•.•图象开口向上，

二次项系数大于零，

•••可以是：y=3f(答案不唯一).

故答案为：y=3f.

【点睛】

本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数产ax2+bx+c(a,b,c为常数，存0),当a>0时，抛物线开口向上;

当时，抛物线开口向下.

16、5或1

【分析】设每千克水果应涨价*元，得出日销售量将减少20x千克，再由盈利额=每千克盈利X日销售量，依题意得

方程求解即可.

【详解】解：设每千克水果应涨价x元，

依题意得方程：(500-20x)(1+x)=6000,

整理，得X2-15X+50=0,

解这个方程，得Xl=5,x2=i.

答：每千克水果应涨价5元或1元.

故答案为：5或1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程.

17、50°

【解析】由平行线的性质可求得NC/CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC。然后依据三角形的性质可知NAC'C的

度数，依据三角形的内角和定理可求得NCAC，的度数，从而得到NBAB，的度数.

解：,.,CC/〃AB,

/.ZC/CA=ZCAB=65",

•••由旋转的性质可知：AC=AC。

，NACC/=NAC/C=65°.

二NCAC/=180°-65°-65°=50°.

.,.NBAB/=50。.

18、1

【分析】设直线AB与x轴交于点C,那么%AOB=SAAOC-S.BOC.根据反比例函数的比例系数k的几何意义，即可求

出结果.

【详解】设直线AB与x轴交于点C.

；AC_Lx轴，BC_Lx轴.

4

二,点A在双曲线乂=一的图象上，

X

•,\AOC=］网=/X4=2.

2

,点B在双曲线%=一的图象上，

X

11

--X2-

C2-2-

BO

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查反比例函数的比例系数攵的几何意义.反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作

垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即5=3网.

三、解答题(共66分)

19、(1)m=6,y=-—；(2)k=-4或-2.

x

【分析】(1)根据反比例函数A的几何意义，求出〃的值即可解决问题；

(2)分1种情形讨论，①当点4在x轴正半轴上时，由。5〃尸。，可得OB：PQ=AB：AP=1：1,继而求出。8=2,

即8(0,2),待定系数法求一次函数解析式即可；②当点A在x轴负半轴上时，由于尸5=2AB,显然这种情形不存

在；③当点8在y轴负半轴上时，

PAOA

由于PB=2A8,可得P4=PB,根据尸Q〃OB,可得——=—=1,即。4=4。=一，

ABOA2

求出A(-',0),待定系数法求一次函数解析式即可.

2

【详解】(1),•,过点尸作PQ_Lx轴于点。，连接尸0,△OPQ的面积为1,

Vn<0,

:・n=-6,

...反比例函数的解析式为y=--，

X

:・P(-1,6),

.6

••胆=6,y=.

x

(2)①当点A在X轴正半轴上时，

•：OB〃PQ,

：.OB：PQ=AB：AP=1：1,

：.OB=29

：.B(0,2),

b=2

把尸(-1,6),3(0,2)代入尸中得到〈，，,

一k+b=6

[k=-4

②当点A在x轴负半轴上时，•・・P3=2A3,显然这种情形不存在.

③当点8在丁轴负半轴上时，

■:PB=2AB,

：.PA=PB9

•:PQ〃OB,

.PAQA

.•---=----=1

ABOA

1

：.QA=AO=~,

•'•A(--,0)>

2

-k+h-6

把P(-1,6),A(-p0)代入y=fcr+Z>中得至।卜

--k+b^O'

2

%=—12

解得《

b=*

综上所述，#=-4或-2.

【点睛】

本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

20、(1)/8=36°；(2)详见解析.

【分析】（1）设NB=x°,利用等边对等角，可得NC=NB=x°,ZCAD=ZC=x°,根据三角形外角的性质可得

ZADB=ZDAC+ZC=2x°,再根据等边对等角和三角形的内角和公式即可求出x,从而求出NB.

(2)根据等腰三角形的定义和判定定理画图即可.

【详解】证明：(1)设=

■:AB^AC

二NC=ZB=x°

又AD=CD

：.ZCAD=ZC=x°

：.ZADB=ZDAC+ZC=2x°

又；AB=BD

：.ZBAD=ZADB=2x°

又：ZBAD+ZADB+AB=1SO°

/.2x+2x+x=180

解出：x=36

••.ZB=36°

(2)根据等腰三角形的定义和判定定理，画出如下图所示，(任选其三即可).

(I)(3)

⑺(8)

【点睛】

此题考查的是等腰三角形的性质及判定，掌握等边对等角、等角对等边和方程思想是解决此题的关键.

21、(1)点乎)，的最小值二,；(2)存在，点P的坐标可以为P(旧-3同-56、

P件普，友|，RI，。)或P(2,乌

【分析】(1)设y=a(x+l)(x-3),根据正切函数的定义求出点C,将其代入二次函数的表达式中，求出“，过点E

作E"_L05,垂足为“，根据四边形OCEB面积=梯形OCEH的面积+4BHE的面积得到一个二次函数，进而可求出

取最大值时点E的坐标，过点M作MFJ_05,垂足为尸，要使EM+’BM最小，则使+M/最小，进而求解；

2

(2)分两种情况考虑，①线段8c为邻边时，则点N只能取点K,H,②线段8c为对角线时，设点N(x,y),线段

5c与线段PN的交点为点0,分别利用中点坐标公式进行求解.

【详解】解：(1)设y=a(x+l)(x—3),

VZOBC=30°,05=3,

0C=3xtan30=>/3>即点C(0,—V^),

将点C代入y=a(x+l)(x-3)中，

解得，,

3

•522Gr-

••y=3\X+l)(x-3)=3x-—x-73,

设点E(x,y),过点E作E/7_LO3,垂足为H,

二四边形OCEB面积=梯形OCEH的面积+4BHE的面积

1,6、1小G3百2363G

=-(V3-y)x+-(3-x)(-y)=—x--y=-—x+——x+——>

乙乙乙乙乙乙乙

IQ

.•.当％=--=—时，四边形OCEB面积最大，

2a2

•••点现|，呼，

过点时作加尸_1。3,垂足为尸，

VEM+-BM=EM+MF,

2

要使EM+’BM最小，即使£2以+加厂最小，

2

•••过点E作E"J_O8交8c于点M,垂足为“，此时取得最小值，

:.EM+-BM的最小值=?叵；

24

(2)存在；

由题意知，4(1,0),线段KH所在的直线方程为y=瘠(x-1),

分两种情况讨论：①线段8c为邻边时，则点N只能取点K,H,

,_V32273(-'

y=—x------x-73

I33

解得，点K,"的横坐标分别为1±姮，上

22

V四边形5CZW为平行四边形，设点P(a,b),

当N取点K时，由中点坐标公式知，3+旧+0=3+。,

2

解得，”=姮二2,

2

“同-5月3相-

6126J

同理可知，当点N取点K时，点「1%1”，^叵］;

(26J

②线段8c为对角线时，设点N(x,y),线段BC与线段PN的交点为点。,

.••点吗一当，

22

a+x=3

...由中点坐标公式得,

h+y=-5/3

0

8-m-D

3

f

22

y-V3X--

工解得，。=1或〃=2,

.•.点P(1,O)或p(2,坐)，

综上所述，点P的坐标可以为尸11-一同］5®,p9-V177V3-V51^或2⑵当).

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了正切函数，二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，学会运用分类讨

论的思想进行解题，是中考压轴题，难度较大.

22、(1)水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=--(x-3)2+5(0<x<8)；(2)为了不被淋湿，

289

身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内；(3)扩建改造后喷水池水柱的最大高度为——米.

20

【解析】分析：(1)根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点(8,0),求出a值，此题得解；

(2)利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=L8时x的值，由此即可得出结论；

(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛

物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-1x2+bx+y,代入点(16,0)可求出b值，再利用配方法将二次函数表

达式变形为顶点式，即可得出结论.

详解：(1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=a(x-3)2+5(aWO),

将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得：25a+5=0,解得：a=-g,

...水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-((x-3)2+5(0<x<8).

(2)当y=l.8时，有(x-3)2+5=1.8,解得:xi=-1,xi=7,

・•,为了不被淋湿，身高L8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内.

11A

(3)当x=0时，y=-—(x-3)2+5=—.

设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y=-1x2+bx+y.

•••该函数图象过点(16,0),

,\0=--xl62+16b+y,解得：b=3,

...改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=--x2+3—=--（x--）2+—,

5X+55220

...扩建改造后喷水池水柱的最大高度为上289米.

20

点睛：本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（D根据点的坐

标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=L8时x的值；（3）根据

点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式.

23、（1）y=-更x+3（2）点。按照要求经过的最短路径长为2（3）存在，满足条件的点E有三个，即（逑，

-242

7..5x/2+2x/H-7-2后、2VH-7+2在、

42424

【分析】（1）先求出点A,B,C的坐标，利用待定系数法即可得出结论；

（2）先确定出PM，再利用三角形的面积公式得出S"BC=-^（加-乎尸+竿-即可得出结论；

（3）先确定出平移后的抛物线解析式，进而求出EQ,在判断出最大=EQ建立方程即可得出结论.

【详解】解：（1）令y=0,得—gi+后*+3=0,.•.%=一血，%=30.

A（-72,0）,B（372，0）.

令x=0,得y=3.

，C（0,3）.

设直线3c的函数表达式为y="+3,把3（3正，0）代入，得0=3夜%+3.

解得，k=一显.

2

所以直线5c的函数表达式为y=—立X+3.

2

（2）过尸作轴交直线BC于M.

V直线3c表达式为y=-—x+3,

2

设点M的坐标为«,-孝/+3）,则点尸的坐标为J%+3）.

则SABCP=；x30x［（-；/+"+3）一（―4.+3）］=-¥/+|八

c30、2270

△BCP428

,此时，点尸坐标为（述，1）.

24

根据题意，要求的线段PG+GH+”尸的最小值，只需要把这三条线段“搬”在一直线上.如图1,作点P关于）'轴的对

称点P，作点尸关于x轴的对称点尸'，连接PU,交）'轴于点G,交x轴于点根据轴对称性可得GP=GP,

HF=HF'.

此时PG+GH+HF的最小值=P'G+GH+HF'=P'F'.

v点尸坐标为（迪，：），二点P的坐标为（—逑，岸）.

2424

■:点尸是线段5c的中点，

•••点尸的坐标为（迪，-）.

22

二点F'的坐标为（逑，

22

V点F，尸两点的横坐相同，.'.PF'轴.

VP',尸两点关于丁轴对称，，轴.

NP'PF'=90。.

••・……谭，肾闾弓

27

即点。按照要求经过的最短路径长为二.

4

（3）如图2,在抛物线y=-gx2+夜x+3=-g（x-夜）2+4中，

.»=也或无=逑

22

由平移知，抛物线＞向右平移到V',则平移了迪一也=夜个单位，y=(X-2应＞+4=-1炉+2后X,

2222

设点E(〃,-gn2+2垃〃),

过点E作EQ〃y轴交8C于Q,

历

•.・直线8C的解析式为y=一注X+3,

2

八五

。(〃,—〃+3),

IB1

:.EQ^--n2+242n+^-n-3\=-\n2-5yf2n+6\

•IECB的面积等于APCB的面积，

••・EQ=P%,

由(2)知，PM=-g(w-¥)2+q,

9

'''PMiAk~“

一|n~-5A/2H+61=一,

24

=述答或〃=—或〃=呼或芈(舍)，

-7-2后或5亚-2vH-7+2夜\—,7四

---------)或(二一

g>港口攵什iVtjj”上—.A,7V27、5"$/^+2\/11—7-2J22、,5>/2-2>/l1-7+2J22、

综上所述，满足条件的点E有二个，B即n（一?一，一），（--------,-----------）,（―---------,----------）.

242424

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，利用轴对称确定最短路径，平移的性质，解绝

对值方程，解本题的关键是确定出尸M和EQ.

24、（1）A的坐标是（3,1）,3的坐标是（-1,-3）；（2）1

【分析】（1）求出两函数解析式组成的方程组的解即可；

（2）先求出函数y=x-2与y轴的交点的坐标，再根据三角形的面积公式求出面积即可.

y=x-2

【详解】解：（1）解方程组3，

y=一

IX

X

解得：\X2=3

b,

即A的坐标是（3,1）,B的坐标是（-1,-3）；

即OC=2,

A的坐标是（3,1）,B的坐标是（-1,-3）,

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组等知识点，能求出A、B、C的坐标是解此题的关键.

2

25、（1）y=-X+lx+3；（2）P（—6,0）