人教A版数学选修4-5学案第四讲滚动训练（三）（第三讲-第四讲）

滚动训练(三)(第三讲～第四讲)一、选择题1．设a，b∈R＋且a＋b＝16，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,16)D.eq\f(1,2)答案A解析(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)·\f(1,\r(a))＋\r(b)·\f(1,\r(b))))2＝4，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥eq\f(1,4).当且仅当eq\r(a)·eq\f(1,\r(b))＝eq\r(b)·eq\f(1,\r(a))，即a＝b＝8时取等号．2．若A＝xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为()A．A＞BB．A＜BC．A≥BD．A≤B答案C解析依数列{xn}的各项都是正数，不妨设0＜x1≤x2≤…≤xn，则x2，x3，…，xn，x1为数列{xn}的一个排列．依排序原理，得x1x1＋x2x2＋…＋xnxn≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1，即xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)≥x1x2＋x2x3＋…＋xnx1.3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋1＝2n＋2－1(n∈N＋)的过程中，在验证n＝1时，左端计算所得的项为()A．1 B．1＋2C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23答案C解析当n＝1时，左端＝1＋2＋22，故选C.4．已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，a＋b＋c＝k(x＋y＋z)，则k等于()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,3)C．9D．3答案D解析因为x2＋y2＋z2＝10，a2＋b2＋c2＝90，ax＋by＋cz＝30，所以(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)＝(ax＋by＋cz)2，又(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2，当且仅当eq\f(a,x)＝eq\f(b,y)＝eq\f(c,z)＝k时，等号成立，则a＝kx，b＝ky，c＝kz，代入a2＋b2＋c2＝90，得k2(x2＋y2＋z2)＝90，于是k＝3，故选D.5．用数学归纳法证明不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)＜eq\f(13,14)(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1不等式左边()A．增加了一项eq\f(1,2?k＋1?)B．增加了两项eq\f(1,2k＋1)，eq\f(1,2k＋2)C．增加了B中两项但减少了一项eq\f(1,k＋1)D．以上各种情况均不对答案C解析∵n＝k(k≥2，k∈N＋)时，左边＝eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,2k)，n＝k＋1时，左边＝eq\f(1,k＋2)＋eq\f(1,k＋3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)，∴增加了两项eq\f(1,2k＋1)，eq\f(1,2k＋2)，少了一项eq\f(1,k＋1).6．函数y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(9－3x)的最大值是()A．6eq\r(3)B．2eq\r(3)C．5eq\r(2)D．2eq\r(14)答案D解析函数的定义域为[1,3]，且y＞0.由柯西不等式可得y＝5eq\r(x－1)＋eq\r(9－3x)＝5eq\r(x－1)＋eq\r(3)×eq\r(3－x)≤eq\r(?25＋3??x－1＋3－x?)＝2eq\r(14)，当且仅当eq\f(5,\r(3))＝eq\f(\r(x－1),\r(3－x))，即x＝eq\f(39,14)时，函数取得最大值2eq\r(14)，故选D.7．若2x＋3y＋5z＝29，则函数μ＝eq\r(2x＋1)＋eq\r(3y＋4)＋eq\r(5z＋6)的最大值为()A.eq\r(5) B．2eq\r(15)C．2eq\r(30) D.eq\r(30)答案C解析由柯西不等式可得(eq\r(2x＋1)·1＋eq\r(3y＋4)·1＋eq\r(5z＋6)·1)2≤(2x＋1＋3y＋4＋5z＋6)(12＋12＋12)，∵2x＋3y＋5z＝29，∴(eq\r(2x＋1)·1＋eq\r(3y＋4)·1＋eq\r(5z＋6)·1)2≤120，∴μ＝eq\r(2x＋1)＋eq\r(3y＋4)＋eq\r(5z＋6)≤2eq\r(30)，∴μ＝eq\r(2x＋1)＋eq\r(3y＋4)＋eq\r(5z＋6)的最大值为2eq\r(30).故选C.二、填空题8．已知a，b，c都是正数，且2a＋b＋c＝6，则a2＋ab＋ac＋bc的最大值为________．答案9解析∵a，b，c都是正数，∴a2＋ab＋ac＋bc＝(a＋b)(a＋c)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋a＋c,2)))2.∵2a＋b＋c＝6，∴a2＋ab＋ac＋bc≤9，∴a2＋ab＋ac＋bc的最大值为9.9．已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________．答案解析由排序不等式知顺序和最大，反序和最小，故所求最大值为1×25＋2×30＋3×45＝220，最小值为1×45＋2×30＋3×25＝180.10．已知实数x，y，z满足2x＋y＋3z＝32，则eq\r(?x－1?2＋?y＋2?2＋z2)的最小值为________．答案eq\f(16\r(14),7)解析∵12＋22＋32＝14，由柯西不等式可得(22＋12＋32)·[(x－1)2＋(y＋2)2＋z2]≥(2x－2＋y＋2＋3z)2＝322，∴eq\r(?x－1?2＋?y＋2?2＋z2)≥eq\f(16\r(14),7)，当且仅当eq\f(2,x－1)＝eq\f(1,y＋2)＝eq\f(3,z)时，等号成立，即eq\r(?x－1?2＋?y＋2?2＋z2)的最小值是eq\f(16\r(14),7).11．已知a，b，c都是正数，a＋2b＋3c＝9，则eq\f(1,4a)＋eq\f(1,18b)＋eq\f(1,108c)的最小值为________．答案eq\f(1,9)解析∵(a＋2b＋3c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4a)＋\f(1,18b)＋\f(1,108c)))＝[(eq\r(a))2＋(eq\r(2b))2＋(eq\r(3c))2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(a))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3\r(2b))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6\r(3c))))2))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,3)＋\f(1,6)))2＝1，当且仅当a＝3b＝9c时取等号，又a＋2b＋3c＝9，∴eq\f(1,4a)＋eq\f(1,18b)＋eq\f(1,108c)≥eq\f(1,9)，即最小值为eq\f(1,9).三、解答题12．设函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为M.(1)求实数M的值；(2)若不等式eq\r(a－x)＋eq\r(4＋2x)≤M(其中a＞0)恒成立，求实数a的取值范围．解(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以M＝3.(2)因为(eq\r(a－x)＋eq\r(2)·eq\r(2＋x))2≤[12＋(eq\r(2))2](a－x＋2＋x)＝3(a＋2)，当且仅当eq\r(2＋x)＝eq\r(2)·eq\r(a－x)时，等号成立，即当x＝eq\f(2a－2,3)∈[－2，a]时，eq\r(a－x)＋eq\r(2?2＋x?)取得最大值eq\r(3?a＋2?)，所以eq\r(3?a＋2?)≤3.又a＞0，所以0＜a≤1.13．已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－2|.(1)求不等式f(x)≥x－1的解集；(2)若f(x)的最大值是m，且a，b，c均为正数，a＋b＋c＝m，求eq\f(b2,a)＋eq\f(c2,b)＋eq\f(a2,c)的最小值．解(1)由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－1，,x－3≥x－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,3x－1≥x－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞1，,－x＋3≥x－1，))解得0≤x≤2.故不等式的解集为[0,2]．(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x＜－1，,3x－1，－1≤x≤1，显然当x＝1时，f?x?取,－x＋3，x＞1，))得最大值，∴m＝f(1)＝2，∴a＋b＋c＝2.又(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a)＋\f(c2,b)＋\f(a2,c)))＝[(eq\r(a))2＋(eq\r(b))2＋(eq\r(c))2]·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,\r(a))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(b))))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(c))))2))≥(a＋b＋c)2，∴eq\f(b2,a)＋eq\f(c2,b)＋eq\f(a2,c)≥a＋b＋c＝2，当且仅当a＝b＝c时取等号，故eq\f(b2,a)＋eq\f(c2,b)＋eq\f(a2,c)的最小值是2.14．已知数列{an}和{bn}，其中an＝1＋3＋5＋…＋(2n＋1)，bn＝1＋2＋…＋2n－1，当n∈N＋时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论．解由已知得an＝eq\f(1＋?2n＋1?,2)·(n＋1)＝(n＋1)2，bn＝eq\f(2n－1,2－1)＝2n－1.当n＝1时，a1＝4，b1＝1，则a1＞b1，当n＝2时，a2＝9，b2＝3，则a2＞b2，当n＝3时，a3＝16，b3＝7，则a3＞b3，当n＝4时，a4＝25，b4＝15，则a4＞b4，当n＝5时，a5＝36，b5＝31，则a5＞b5当n＝6时，a6＝49，b6＝63，则a6＜b6，当n＝7时，a7＝64，b7＝127，则a7＜b7，…，由此得到，当n∈N＋，n≤5时，an＞bn.猜想：当n∈N＋，n≥6时，an＜bn.前一结论上面已用穷举法证明，后一猜