2023届上海市高三年级上册学期二模暨秋考模拟数学试题

2023届高三数学二模暨秋考模拟试卷1一、填空题：1．已知集合，若，则实数a的取值组成的集合是___________．2．复数z在复平面内对应的点为，则___________．3．已知直线，若，则实数a的值是___________．4．已知数列为首项为2，公差为2的等差数列，设数列的前n项和为，则___________．5．在的展开式中，的系数为______.6．已知函数，则不等式的解集是___________．7．已知向量满足与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为___________．8．已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率___________．9．已知，且，则的最大值为___________10．将1，2，3，4，5，6，7，8八个数字排成一排，满足相邻两项以及头尾两项的差均不大于2，则这样的排列方式共有_______种.（用数字作答）11．若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是_______.12．已知，，函数.若不等式对于任意实数恒成立，则的最小值是_______，最大值是_______.二、选择题13．已知是两个不重合的平面，直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件14．已知，且，则A．B．C．D．15．记为数列的前项和．若，则（

）A．有最大项，有最大项 B．有最大项，有最小项C．有最小项，有最大项 D．有最小项，有最小项16．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的个数是（

）①平面平面②的取值范围是③三棱锥的体积为定值④A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题17．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，且点在圆：上.(1)若点的横坐标为，求的值；(2)若角满足，求的最大值.18．如图，在四棱台中，，，.(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.19．已知数列满足：，.(1)证明：，；(2)证明：，.20．已知直线及直线.平面上动点，且，记到直线、的距离分别为、，满足：.（1）求动点的轨迹的方程；（2）若直线的方向向量为，过的直线与曲线交于、两点，问以为直径的圆是否恰过原点？若是，求的值；若不是，判断原点在圆内还是圆外，并说明理由？（3）若过原点作斜率为的直线交曲线于、两点，设，求的面积关于的函数解析式，并求的取值范围.21．已知函数，其中，为的导函数.(1)当，求在点处的切线方程；(2)设函数，且恒成立.①求的取值范围；②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.1．2．##3．或4．5．6．7．8．##9．10．11．12．

13．A14．C15．A16．C17．(1)或(2)1【分析】（1）由点在圆上得或，进而根据三角函数定义得或，再根据同角三角函数关系构造齐次式求解即可；（2）易知的最大值不超过1，进而转化为证明，满足条件即可.【详解】（1）解：若点的横坐标为，因为点在圆：上所以，或，所以，或，所以，当时，当时，.（2）解：易知的最大值不超过1，下面证明：的最大值是1.只需证明，满足条件.①由于满足；②设，则，即，所以，存在点使得.综上所述，的最大值是1.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）延长交于点，进而证明，再结合已知得平面，再根据线面垂直即可证得结论；（2）结合（1）得平面，进而得直线与平面所成角即，再根据几何关系求解即可.【详解】（1）证明：在四棱台中，延长交于点，因为在四棱台中，所以，在中，E为PA中点，故.因为，，所以，因为，所以平面，所以，得证.（2）解：设.则.由于平面，则平面，所以，直线与平面所成角即.因为在四棱台中，，，所以为中点，所以，则即直线与平面所成角的正弦值为.19．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）验证、、时，，然后假设当时，，证明出，结合数学归纳法可证得结论成立；（2）先利用数学归纳法证明出，然后利用放缩法结合裂项求和法可证得结论成立.【详解】（1）证明：对任意，.因为，，，假设当时，，则，这说明当时，也成立，综上所述，，.（2）证明：先归纳证明：对任意，，因为，，，，，，假设当时，，则当时，，，这说明当时，，综上所述，，，所以，，故，得证!20．(1)(2)以为直径的圆不过原点，点在圆外(3),的取值范围是【分析】（1）由条件有，得出答案.（2）设，根据条件可设直线的方程为：，与曲线的方程联立，得到，，由的符号可得出答案.（3）由题意直线的方程为，与曲线的方程联立，可得（或）的点的横坐标，根据条件可得的范围，，然后求出范围.【详解】（1）由到直线、的距离分别为、，且则，又所以，即则动点的轨迹的方程；（2）由直线的方向向量为，则直线的斜率为.又直线过，则直线的方程为：设，由得则，所以所以以为直径的圆不过原点，由，所以点在圆外.（3）直线的方程为由得，由直线交曲线于、两点，则，则则由，得，所以所以的面积关于的函数解析式为，的面积的取值范围是.【点睛】本题考查求轨迹的方程，利用数量积研究点与圆的位置关系，求三角形的面积，属于中档题.21．(1)(2)①;②详见解析【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解.（2）①先对函数求导，得到，推出，求导，得到，解对应不等式，得到单调性，求出其最小值，再根据恒成立，即可得出结果；②先设，求导得.设，对其求导，判定单调性，从而得到函数单调性，得到是函数的极小值点，得到，再由①得时，，推出所以，得到，得到函数在区间上单调递增，再由题意，即可得出结论成立.【详解】（1）时，,,,，所以函数在处的切线方程，即.（2）①由题设知，，，，由，得，所以函数在区间上是增函数；由，得，所以函数在区间上是减函数.故在处取得最小值，且.由于恒成立，所以，得，所以的取值范围为；②设，则.设，则，故函数在