第九章利用直角坐标系计算二重积分

第二 二重积分的计算 第章* 章重积 利用极坐标系计算二重积分用应 二重积分的换元用-1第二 二重积分的计算 利用直角坐标系计算二重如果区域D为：axb,(x)y( 其第

x)[ab上连续，则称D为x*区域 与区域边界相交不多于两个交点分 y型区域D：cyd,(y)x(分dxdx(yDcy其用 y(用

x(D

y(

-2第二 二重积分的计算设曲顶柱体的底是x型区域ax (x)y(zfxy)(0),对于任意固定x[a,b]第xzf(x,xzA(yDax y(b重 VaA(重及由于截面为曲边梯形，所及应 A(x)应用

(x(x

f(x,Vf(x,D (xa[(x

f(x,ydydx-3第二 二重积分的计算 (x

(x

f(x,y)dydxadx(x

f(x,DfDf(x,y)dxdyba(xf(x,(x

fxy)只要积分区域Dax (x)y(及总成立 应用

先对y后对xy(Dy( -4第二 二重积分的计算积分区域D：cyd,yxff(x,y)dxdyDdc(yf(x,(y积先对x后对y积

x(

x(x及 对于既不是x型区域及

应其又不是y应用几条辅助线将区域分成xy型区

-5第二 二重积分的计算例1.计算Ixyd,其中Dy＝1x＝2,Dy＝x所围的闭区域1x 解法1.将D看作x型区域,则D:1x 1 1

I积

d

xydy

1

xy d1

yy1 21x3

1

dx其 其

yx2

x用 解法2.将D看作y区域,则D:用

1y2I1d2

yxydx

1xydy

22y

y3y812-612第二例2.计算xydD

二重积分的计算其中D是抛物线y2xyx2所围成的闭区域y第解为计算简便xy积分* y2xy

(4,重 D:1y重积

xy2o xyd

y d d 2

1dyy2 xyd

x2y5y5]d用12x用12x

y21y2

4y32y21y6

-7

第二 二重积分的计yxx法DD1xx法

y

(4,

y

y Dx第0xx第 x2y

yx4 D2:1x重

y 分积xydxdyxydxdy分x102及 x102

x xydydxx

xydy x x2 24

x

2

4(

x(2

)dx1y

-8第二 二重积分的计算x例3.计算sinxdxdy,其中Dyx,y0,xDx yox*第解:由被积函数可知,先对x积yox*D为 型区域因此

D:0y0x及应 应

dx0dxx

sinxdxcosx 0说明有些二次积分为了积分方便还需交换积分顺序-9第二 二重积分的计算例4.8x228x22 Idx f(x,y)dy

f(x,y)d 第解积分域由两部分组成*: :

0y x2x2

0y::

8 积 0x积分

2x

y 8y及将DD1D2y,88

y 2用应D: x2用

20y88ID

f(x,y)dxd

0dy

f(x,2-10第二 二重积分的计算例 计算积分I

2dy

exdx

dy

exdx.11 11 y解∵exdx不能用初等函数表 先改变积分次序y2第*D:2第

1x

D:

yx y1y1 4

y

1y

2y2x 2积重DD12积及 x2y及其D 1x

o

y 原式I

e

1dx

e1x2 x21x2D 1x(eex 12

e -11第二 二重积分的计算例 计算二重积分|yx2| 其中D1x1,0y

y

用yx2分积分区第*DD1章yxy

o0yo重D1: D2: 1x 1x分其及|yx2|dxdyyx2dxdyx2其

x2 1x1x

(y2

)dy

( 101(1x2101

x)dx1

dx4 4-12第二 二重积分的计算例7IDxln(yy4x2 y0所围成第 0y4

)dxdy,其中D11y4 D:2x重

11

4 x 0

11用 由于用

4xln(y0

I-13第二 二重积分的计算 (f(x,y)f(x,如果函数fx,y)为y(fx,y)fx ((x,y)D(x,y)*第积分区域D关于x轴对称xyDx,yD),* f(x,y)dxdy 积 如果函数f(x,y)

(f(x,y)f(x,y的偶函数(fx,y)fx其D应

x f(x,y)dxdy2f(x, D1{(x,y)(x,y)D,xD1{(x,y)(x,y)D,y-141第二 二重积1例 计算Ixln(y

)dxdy,其中Dy4x2,y

3x,

1* 解:令f(x,y)x1* D1D2(如图所示在D上,f(xyfx积

y3

y4 y3分在D上,f(x,y)f(x, 其 I用

11x

11-15

第二 二重积分的计算例 求由两直交圆柱面x2y2R2,x2z2 第 章xoy面投影为章

z R2R2 0R2积D及 0x及

x2y2x应由对称性得V R2应

y R2 R8R

R

R2 3

-16

第二 二重积分的计算二利在极坐标xcos下如何计算

f(x,y)dy 第d

常数划分积(k(k,ki1Dj章 1()212 1(2

)

其 j(jj其

jji取kjcosi,kjsini nf(x,y)dlimf(k,k) 0k

-17第二kjkin

二重积分的计算kjcosi,kjsinikf(jcosi,jsini)jjik* f(cos,sin*ff(x,y)df(cos,sinDDddd .-18.第二 二重积分的计算1()2(

2(设D第

D( 章 积(D应分极坐标下的二次积分 0((D应 Df(cos,sin)dD

(of(cos,sin)do0f(f(cos,sin)dD(2(f(cos,sin)d1第二 二重积分的计算(oD0(oDD:0第f(cossin)d*

(0

f(cos,sin)d-20x2y2x2x2y2x2例 计算二重积分D区域为Dx,y|1x2y2

dxdy,其中积分 解由对称x2y2x2章

x2y2o

xx2y2x2分其 4其

x2y2 D2

dd

20

1 0

2

-21第二 二重积分的计算例 计算二重积分 x2y2dxdy,其中DDyy4o2xDyyy4o2xD解* 解*

x2y2 用

(x1)2y22 4cos3d162332

9-22例

第二 二重积分的计算将二重积分f(x2y2 D2y2y4y 1）D是y 3x,yx,x

,x章围成章 f(x2y2 分

x 4yy22

y 4sin f(2

x 2y

yD

f(2

-23例

第二 二重积分的计算将二重积分fx2y2D

*章 *章解重积

D:1xyf(x2y2D

11cos11

y 1及 f(2及

y1 应1 2 f

2 0

cos-24第二 二重积分的计算例13计算二重积分yxyx2y2o3x2y22x

x2y2dxdy,其中D 1, 2 *

x2y2分 2dd22dd2分 22d2cos

1 1 3

0

3 3 2cosd 3d 33 333-25

第二 二重积分的计算例14计算二重积分ex2y2)dxdy,其中D:x2y2D e(x2y2 章 e2章

D

ae2a 及 1(1ea2)2d(1ea22 2用e(x2y2)dxdy(1ea2x2y2a2x0,y0

-26第二 二重积分的计算例15I

ex2 0 设IR

ex则R lim 则R 章Ie2 Ie 分积分

dxRey20

Re(x2y2)dy

e(x2y2R R用应其中S0xR,0y用 D1:x2y2R2,x0,yD2:x2y22R2,x0,y-27第二 二重积分的计算显然 D1S

e(x2y2)dxdy

e(x2y2)dxdye(x2y2 第章

e(x2y2)dxdy

(1eR2)

(R e(x2y2)dxdy

(1e2R2)

(R 及所以I2 limI lime(x2y2)dxdy e(

y)dxdy

(1ea所以x2x0,

ex2dx0

-28

第二 二重积分的计算例16x2y2z24,x1)2y21z 设其在xoy面投影为z 4x2* D:(x1)2z 4x2*章 分V44分

y

(x1)2y2应 应

42D 2

4232(2

-29第二 二重积分换元

二重积分的计算定理:fxy)D上连续,变换yy(u,v) T:xx(u,v) (u,v)yy(u,v) x(u,v),y(u,v)在D上一阶导数连续 积 (2)在D上雅可比行列 积 (x,其 J(u,v)其

(u,v)

(3)变换T:DD是一一对应的 则fxy)dxdyfx(u,v),y(u,v))

J(u,v)

dud证明

-30第二 二重积分的计算例如直角坐标转化为极坐标时x ,y第(x, J

(,)

其 其

f(x,y)dxdy

f(cos,sin)dd 用-31例17计算

第二 二重积分的计算yeyxdxdy,其中Dxy