新教材人教A版高中数学必修第一册第三章函数概念与性质课时练习题及章末测验习题含解析

第三章函数概念与性质

1.函数的概念..........................................................-1-

2.函数的表示法........................................................-5-

3.分段函数...........................................................-10-

4.函数的单调性.......................................................-15-

5.函数的最大（小）值....................................................-20-

6.奇偶性的概念.......................................................-25-

7.奇偶性的应用.......................................................-30-

8.黑函数.............................................................-35-

9.函数的应用（一）......................................................-41-

章末综合测验...........................................................-46-

1.函数的概念

一、选择题

3

1.已知函数〃才）=一，则）

x

13

A.-B.

aa

C.aD.3a

D[7|jj=3a,故选D.]

2.下列表示y关于x的函数的是（）

A.y=^B./=x

C.\y\=xD.\y\=k|

A[结合函数的定义可知A正确，选A.]

3.函数2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为（）

A.{-1,0,3}B.{0,1,2,3}

C.{y|-l<j<3}D.bd0Wj<3}

A[当x=0时，y=0；当x=l时，y=l—2=—1；当x=2时，y=4—2X2

=0；当x=3时，y=9-2X3=3,，函数y=f—2x的值域为{一1,0,3}.]

4.函数片目的定义域是（）

(―1,+00)B.[-1,+8)

(-1,1)u(1,+8)D.[-1,1)U(1,4-0°)

x+120,

[由题意可得所以—1且xW1,

x—1W0,

故函数尸^—「的定义域为{x|x2—1且xWl}.故选D.]

X—1

5.下列四组函数中表示同一函数的是()

A.f(x)=x,g(x)=(5r

B.f{x)=x,g(x)=(x+l)2

C.f{x)=,，g(x)=Ix\

D.f(x)=0,g{x)=y[x—l

C「."(x)=x(xGR)与g(x)=两个函数的定义域不一致，；.A

中两个函数不表示同一函数；•.•F(x)=*,g(x)=(x+l尸两个函数的对应法则不

一致，；.B中两个函数不表示同一函数；,.,f(x)=q7=|x|与g(x)=|x|,两个函

数的定义域均为R,，C中两个函数表示同一函数；f(x)=0,g(x)=y/x—l+Nl—x

=0(x=l)两个函数的定义域不一致，，D中两个函数不表示同一函数，故选C.]

二、填空题

6.若[a,3a—1]为一确定区间，则a的取值范围是.

g[由题意知3a—l>a,则a>g.]

7.已知函数/'(x)又知=6,则t=.

5I5

—7[由f(t)=6,得7ZT7=6,即亡=一、.]

61+16

8.已知函数/'(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=/1|j+f(x—D的定义域

是.

一2〈求2,

(0,2)[由题意知

Q<x<2.

解得0<xV2,于是函数g(x)的定义域为(0,2).]

三、解答题

9.求下列函数的定义域:

(1)f{x)=«3x-］+,1—2x+4；

x+0

(2)rW-7^=.

yIM-x

3x—1NO,

［解］(D要使函数式有意义，必须满足।、八

1一2o才三0,

心：,

O所以〈WxwJ,

即jj

O乙

即函数的定义域为:，I.

O乙

x+3W0,

(2)要使函数式有意义，必须满足||“

、Ix\—%>0,

3［x^—3

即「、、‘解得〃、’所以函数的定义域为(—8,-3)U(-

IIx|〉x,［矛〈0.

3,0).

10.已知/'(x)=V—4x+2.

(1)求/'(2),f\a),f(a+l)的值；

(2)求/'(x)的值域；

(3)若g(x)=x+L求f(g(3))的值.

［解］⑴丹2)=2?—4X2+2=-2,

f{a)=才一4a+2,

r(a+1)=(a+l)2-4(a+1)+2=a~2a~1.

(2)f{x)=x—4x+2=(x-2)'—22—2,

的值域为［―2,+8).

(3)^(3)=3+1=4,

.,.f(^(3))=f(4)=42-4X4+2=2.

11.(多选题)下列函数满足f(2x)=2f(x)的是()

A.f{x)=|x\B.f{x)=x—|x\

C.f{x)=2%+1D.f(x)=-x

ABD［对于A.f(2力=|2x|=2|x|=2f(x)；对于B,f(2x)=2x—12x|=2(x

一Ix|)=2/'(x)；对于C,f(2x)=4x+lW2F(x)；对于D,f(2x)=—2x=2f(x).］

12.已知一个函数的解析式为尸它的值域为{1,4},这样的函数有()

A.6个B.8个

C.9个D.10个

C［因为一个函数的解析式为尸产,它的值域为{1,4},

所以函数的定义域可以为{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-

1,2},{—1,1,—2},{1,2,-2},{—1,2,—2}>{1,-1,-2,2},共9种

可能，故这样的函数共9个.］

“y—I—j

13.若函数j-/1.+3入，+］的定义域为R，则实数A的值为.

V—I—1

0［函数.=/«+3h耳I的定义域即使片*+3履+1W0的实数x的集合•

由函数的定义域为R,得方程AV+3M+l=0无解.

kx+1

当A=0时，函数y=斤『+3«x+］=L函数的定乂域为R，

因此4=0符合题意；

当AW0时，一寸+34X+1=0无解，即A=9发-41=5/<0,不等式不成立.所

以实数4的值为0」

14.(一题两空)函数f(x),g(x)分别由下表给出.

X123

f(x)131

X123

g(x)321

则f(g(D)的值为;满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是一

12[\>(1)=3,r(3)=i,.,./(^(1))=1.

当x=l时，f(g(l))=f(3)=1,g(f(l))=g(l)=3,

f(g(x))〈g(f(x))，不合题意;

当x=2时，f(g(2))=f(2)=3,g(F(2))=g(3)=1,

F(g(x))〉g(f(x)),符合题意；

当x=3时，f(g(3))=F(1)=1，g(f(3))=g(l)=3,

f(g(x))〈g(f(x)),不合题意.]

15.已知函数f(x)=1%.

(1)求/•(2)+4S，f(3)+4S的值；

(2)求证：f(x)+4是定值.

V2

[解]•••f(x)=E，

••A2)+]+22+错误!=+

八3)+।3?+错误!=L

(2)证明：f{x}错误！=错误！+错误！=错误！=1.

51+才

2.函数的表示法

一、选择题

1.购买某种饮料X听，所需钱数为p元.若每听2元，用解析法将V表示成

x(x£{1,2,3,4})的函数为()

A.y=2x

B.y=2x(x£R)

C.y=2x(x£{1,2,3,…})

D.y=2x(x£{1,2,3,4})

D[题中已给出自变量的取值范围，x£{l,2,3,4},故选D.]

2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表，函数y=g(x)的图象是如图的曲线

ABC,其中4(1,3),3(2,1),<7(3,2),则f(g(2))的值为()

X123

/■(X)230

A.3B.2

C.1D.0

B[由函数g(x)的图象知，g⑵=1,则f(g(2))=f(l)=2.]

3.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为

了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是()

D

C[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段,

途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]

4.如果=金^，则当xWO,1时，f(x)等于(

1

A.-B.

1

B[令则x=1，代入｛J)=7^7，则有f(t)故选B.]

1—■

5.若/'(x)是一次函数,2f(2)-3/(1)=5,2f(0)一〃-1)=1,则f(x)=()

A.3x+2B.3x—2

C.2x+3D.2x—3

B[设/'(x)=ax+A,由题设有

a+6-a+8=5,

[a+b——a+b=1.

2=3,

解得所以选B.]

b=-2.

二、填空题

6.已知，(2x+l)=系一2x,则/'(3)=

—1[由2x+l=3得x=l,/(3)=1—2=-1.]

7.f(x)的图象如图所示，则/'(x)的值域为

[-4,3][由函数的图象可知，f(x)的值域为[—2,3]U[—4,2.7],即[一

4,3].]

8.若一个长方体的高为80cm,长比宽多10cm,则这个长方体的体积y(cm')

与长方体的宽x(cm)之间的表达式是

y=80x(x+10),xW(0,4-co)[由题意可知，长方体的长为(x+10)cm,从

而长方体的体积y=80x(x+10),x>0.]

三、解答题

9.画出二次函数f(x)=-/+2x+3的图象，并根据图象回答下列问题:

(1)比较f(0),f(X),/'(3)的大小;

⑵求函数/'(x)的值域.

[解]f(x)=—(x—l)2+4的图象如图所示:

(1)/(0)=3,AD=4,f(3)=0,

所以f(l)>f(0)>f(3).

(2)由图象可知二次函数f(x)的最大值为AD=4,

则函数f(x)的值域为(-8,4].

10.(1)已知/U)是一次函数，且满足2/1(x+3)—f(x—2)=2x+21,求/'(x)

的解析式；

(2)已知己x)为二次函数，且满足/'(足=1,f(x—1)—f(x)=4x,求F(x)的

解析式；

(3)已知(:一曰=*+9+1,求f(x)的解析式.

[解](1)设f(x)=ax+，(a#0),

则2f(x+3)—f(x—2)=2[a(x+3)+6]—[a(x-2)+b\=2ax+6a+2,一ax

+2a—b=ax+8a+6=2x+21,

所以a=2,b=5,所以/'(x)=2x+5.

(2)因为/"(x)为二次函数，

设f(x)=ax+8x+c(aW0).

由y(0)=1,得c=L

又因为f(x—1)—f(x)=4x,

所以a(x—1尸+6(x—1)+c—•(aV+6x+c)=4x,整理，得一2ax+a—6=4x,

求得a=-2,b=~2,

所以f(x)=-2f—2x+l.

(3)《才一3=(*-3+2+1=(*—+3.=/+3.

11.已知函数f(2x+l)=3x+2,且/'(a)=2,则a的值为()

A.-1B.5

C.1D.8

C[由3x+2=2得x=0,

所以a=2X0+l=l.

故选C]

12.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析

式为()

A.y=20—2x

B.y=20—2x(0〈水10)

C.尸20—2x(5WxW10)

D.y=20—2x(5〈矛〈10)

D[由题意得y+2x=20,

所以y=20—2%,

又2x>y,即2x>20—2x,即x>5,

由y>0即20—2x>0得x<10,

所以5<x<10.故选D.]

13.已知/'(x)+2/1(—才)=*+2x,则/1(x)的解析式为.

F(x)2x[以一x代替x得：/—x)+2f(x)=*—2x.

与f{x)+2F(—x)=*+2x联立得：f{x}=^x—2x.]

14.(一题两空)已知f(x)=2x+a,g(x)=；(f+3).

(1)若/[g(l)]=5,则a=；

(2)若g[f(x)]=f—x+1,则a=.

(1)3⑵-1[⑴:g⑴=1(1+3)=1,

=f(l)=2+a=5,

a=3.

(2)因为g(x)=^(/+3),所以g(f(x))=1〔(2x+a)2+3]=1(4/+4a^+a2+

3)=/—jr+l,求得a=-L]

15.如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m,渠深为1.8m,斜坡

的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)

f'''^二W至^74m

45季衣％5。t*

(1)试将横断面中水的面积4面)表示成水深A(m)的函数；

(2)确定函数的定义域和值域.

［解］(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m,上底为(2+277)m,高为

.［2++2力h

hm,...水的面积4=---------------

乙

=/+27?(nr).

(2)定义域为{A|O</?<1.8}.值域由二次函数J=/?2+2A(0</?<l.8)求得.

由函数A=H+2h=(//+1)2-1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变

量的增大而增大，

二。〈水6.84.

故值域为Ml0(水6.84).

3.分段函数

一、选择题

才-1-5,x24,

1.已知函数f(x)={乙则f(3)的值是()

、x—2,水4,

A.1B.2

C.8D.9

A[/(3)=3—2=1.]

(2x,OWxWl,

2.函数f(x)=<2,1<矛〈2,

的值域是()

13,心2

A.RB.[0,2]U{3}

C.[0,+8)D.[0,3]

B[当OWxWl时，0W2xW2,即OWf(x)W2；当l<x<2时，f(x)=2；当x22

时,司力=3.综上可知*切的值域为[0,2]1){3}.]

x+2,xWO,

3.已知函数f(x)=12八/m若F(x)=3,则才的值是()

、x,0<xW3,

A.小B.9

C.-1或1D.一木或木

A[依题意，若xWO,则x+2=3,解得x=l,不合题意，舍去.若0〈点3,

则f=3,解得x=—/(舍去)或x=/.故选A.]

4.函数/'(x)=*—2|x|的图象是()

ABCD

x~2x,x》O,

C"(x)=一0…分段画出，应选C.]

[x+2x,x<0,

5.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超

过10立方米的，按每立方米加元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每

立方米2加元收费.某职工某月缴水费16加元，则该职工这个月实际用水量为()

A.13立方米B.14立方米

C.18立方米D.26立方米

A[该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y=

nix,OWxWlO,

由y=16加，可知x>10.令2勿x—10加=16%解得x=13.]

2mx~10/z?,x>10.

二、填空题

(/+LxW1,

6.设函数f(x)=72则f⑵=________.

一，x>1,

1x

[答案]1

7.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是

x+1,—lWx<0,

/1(x)=ci.［由题图可知，图象是由两条线段组成，

—x,OWxWl

当一时，设f(x)=ax+b,将(-1,0),(0,1)代入解析式，则

—a+6=0,fa=l,

即/(%)=x+L

b=l,［Z>=1,

当OWxWl时，设f(必=kx,将(1,—1)代入，则4=一1,即f(x)=-x.

(x+1,一IWXVO,

综上，/(*)=<］

Lx,OWxWL

8.在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x-a]-1的图象只

有一个交点，则a的值为.

—1[在同一平面直角坐标系内，作出函数y=2a与y=|x-a]-1的大致图

象，如图所示.

由题意，可知2a=—1,则a=-1]

乙

三、解答题

俨+4,xWO,

9.已知函数f(x)=(2x,0〈x<4,

I—x+2,x>4.

⑴求AAA5)))的值；(2)画出函数/'(X)的图象.

［解］(1)因为5>4,所以"5)=-5+2=-3.

因为一3<0,所以/■(f(5))=f(—3)=—3+4=L

因为O〈1W4.

所以f(AA5)))=f(l)=l2-2Xl=-l.

(2)f(x)的图象如下:

10.如图，动点尸从边长为4的正方形/阅9的顶点6开始，顺次经C,D,A

绕周界运动，用x表示点尸的行程，y表示阳的面积，求函数尸/'(x)的解析

式.

［解］当点。在a'上运动，即0WxW4时，y=3X4Xx=2x；

当点尸在⑦上运动，即4<xW8时，y=1x4X4=8；

乙

当点尸在处上运动，即8<xW12时，y=；X4X(12—x)=24—2*

(2x,0WxW4,

综上可知，F(x)=，8,4〈xW8,

〔24—2%8<xW12.

pr+3,x>10,

11.设/'(*)=,,,一八则f(5)的值是()

ixI,xWlO,

A.24B.21

C.18D.16

A[f(5)=f(f(10)),f(10)=AA15))=A18)=21,f(5)=f(21)=24.]

^—0

c,若f(a)=4,则实数a=()

{x,x>0

A.2B.—2

C.4D.-4

而[由Lfa=WO,4或tfa>=0,4,得a。4或a=2.]

‘2x+ax<]

13.(一题两空)已知实数aWO,函数f(x)={°'若f(l—a)

~x~2a,Bl,

=f(1+a),则a=,f(1+a)=.

31

--

44[当H>0时，1—aVl,l+a>L.*.2(1—a)+a=—1—a—2a,解

得a=一女舍去).

3

当aVO时，1—a>1,1+a<1,-1+a—2a=2+2a+a,解得a=——.

3

2才一：，x<1,

4

所以f(x)=<

3

—x+亍x21,

1311

：.f{1+a)==2X7-厂-1]

b,a》b,

14.若定义运算aOb=则函数f(x)=xG)(2—x)的值域为

a,a〈b,

2—*x>]

(—8,1][由题意得f(*)=:/'

x.XI,

画出函数/'(x)的图象得值域为(-8,1].

]

1

X-Xe4

+■若

15.设集合4=0,8=1,函数f(x)=2J

乙,乙

-x,xGB,

也£4且求场的取值范围.

［解］因为

所以OWxoV］,

且/■(新>)=x0+-,

又荀+gvi,

所以x0+^B,

所以f(f(x。))=2(1—X。一；)=2(；一吊

又F(f(x。))ej,

所以0^2^—J<1,

解得］<益耳，又OWxo<g,

所以:<Xo<g.

4.函数的单调性

一、选择题

1.函数的单调递减区间是()

A.(0,+°°)

B.(—8,0)

C.(-8,0)和(0,+8)

D.(—8,o)u(0,+℃>)

C［函数y='的定义域是(-8,0)U(0,+8).由函数的图象可知尸:在

XX

区间(一8,0)和(0,+8)上分别是减函数.]

2.若函数f(x)=(2a—l)x+6在R上是单调减函数，则有()

A.B.aW]

11

C.a>~D.a<-

乙乙

D[函数f(x)=(2a—l)x+8在R上是单调减函数，则2a—l<0,即a4.故

选D.1

3.下列函数中，在(0,2)上是增函数的是()

A.B.y=2x—l

C.y=l—2xD.y=(2^-1)-

B[对于A,在(-8,0),(o,+8)上单调递减；对于B,y=2x—1在

R上单调递增；对于C,y=l—2x在R上单调递减;对于D,y=(Zx—l)?在(一8,)

上单调递减，在(；，+8)上单调递增.故选B.]

4.函数/'(x)=|x|,g(x)=x(2—x)的递增区间依次是()

A.(-8,0],(一8,1]

B.(—8,o],(1,+°°)

C.[0,+°°),(-8,1]

D.[0,+°°),[1,+°0)

C[分别作出f(x)与g(x)的图象得：f(x)在[0,+8)上递增，gj)在(一8,

1]上递增，选C.]

5.f(x)为(-8,+8)上的减函数，aGR,则()

A.f(a)VF(2a)B.f(a2)<f(a)

C.Aa24-l)<f(a)D./1(4+a)<f(a)

C[因为aGR,所以a—2a=—a与0的大小关系不定，无法比较f(a)与f(2a)

的大小，故A错；而才一a=a(a—l)与0的大小关系也不定，也无法比较Ha?)与

2

f(a)的大小，故B错；又因为才+1—a=[a—3+：>0,所以42+1>/又/'(*)

为(-8,+8)上的减函数，故有f(才+1)<〃血，故C对；易知D错.故选C.]

二、填空题

6.如果二次函数f(x)=f—(a—l)x+5在区间g1)上是增函数，则实数a

的取值范围为.

1

(-8,2][•.•函数f(x)=v—(a—l)x+5的对称轴为才=-5一且在区间

(；，1)上是增函数，

1

2-

7.若函数/*(才)=士在(a,+8)上单调递减，则》的取值范围是.

x十1

[—1,+°°)[函数f(x)=~^7的单调递减区间为(-1,+8),(―OO,—

x+1

1),

又/'(x)在(a,+8)上单调递减，所以a2一L]

8.已知f(x)在定义域内是减函数，且F(x)〉O,在其定义域内下列函数为单

调增函数的是.

①尸a+f(x)(a为常数)；

②了二。一〃王)^为常数)；

③尸/、：•;④尸

②③[f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，一f(x),六一均为递增

函数，故选②③.]

三、解答题

9.F(x)是定义在(0,+8)上的增函数，解不等式/1(x)>f(8(x—2)).

x>0,

［解］由f(x)是定义在(0,十8)上的增函数得，jx一,解得

lxX—，

16

2<x<~.

10.证明：函数f(x)1在区间(0,+8)上是增函数.

x

［证明］任取为，也金(0，+°°)>且水物

则£(耳)=Xx——~Xz+-=(无一莅)］矛|+泾+

xiXiVX\X"

—

V0<^<^2>二小一在〈0,*|+用+-^>0，

X\X2

A^i)—/a)<0,即"(吊)，

函数f(x)=f-,在区间(0,+8)上是增函数.

x

11.若函数尸ax与尸一‘在(0,+8)上都是减函数，则函数尸af+6x

X.

在(0,+°°)±()

A.单调递增B.单调递减

C.先增后减D.先减后增

B［由于函数尸ax与y=-1在(0,+8)上均为减函数，故a<0,从0,故

二次函数f(x)=aabx的图象开口向下，且对称轴为直线户一事<0,故函数y

La

=在(0,+8)上单调递减.］

12.(多选题)下列函数中满足“对任意为，及£(0，+8),都有

k->°”的是()

/\2

A.f(公=一―B./(x)=—3x+1

x

C.f(x)=x+43D.f{x}=x----

ACD［由题意知，f(x)为(0,+8)上的增函数.］

'a—x+5,

13.已知函数f(x)=12a是R上的减函数，则实数a

一,x>\

IX

的取值范围是.

—3<0,

(0,2][依题意得实数a满足«2a>0,解得0<a<2.]

、a-+5N2a,

14.(一题两空)若Ax)是定义在(0，+8)上的增函数，且对一切x,y>0,

满足《胃=f(x)—f(y).

(l)f(l)的值为.

(2)若A6)=1,则不等式f(x+3)一(皆<2的解集为

0{x[-3<x<9}[(1)在照=/0)一〃力中，

令x=y=l,

则有Ai)=f(i)-r(i),

⑵・"⑹=1,

.,./(%+3)<2=/(6)+/(6),

.•"(3叶9)一〃6)<〃6),

即倡+六6)・

是(0,+8)上的增函数,

%+3

~1~>0,

解得一3VxV9.

鼠x+交3,

即不等式的解集为3-3VxV9}.]

15.已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)=f(x)(x+勿)，且f(/\x))=

16x+5・

⑴求f(x)的解析式；

(2)若g(x)在(1,+8)上单调递增，求实数加的取值范围.

［解］(1)由题意设f(x)=ax+8(a>0).

从而f(f(x))=a(ax+6)+b=^x+ab+b=16x+5,

'a=-4,

a=16,a=4,或1,5

所以解得(不合题意，舍去).

b=———

ab-\-b=5,b=1I3

所以f(x)的解析式为f(x)=4x+L

(2)g(x)=f(x)(x+加)=(4x+l)(x+加)=4/+(4///+1)x+m,g(x)图象的对称

4加+1

轴为直线x=

8

若g(x)在(1,+8)上单调递增，则—T4/z-z+W11,解得心9所以实数m

o4

的取值范围为一*+8).

5.函数的最大(小)值

一、选择题

1.函数了=；在[2,3]上的最小值为()

X—1

A.2B.1

乙

11

C.-D.

O乙

B[•二函数y=^在[2,3]上单调递减，.••当x=3时，入访=^r—]

x—1a-12

2.函数1(才)=—V+4x—6,才£[0,5]的值域为()

A.[—6,—2]B.[—11,—2]

C.[—11,-6]D.[—11,-1]

B[函数_f(x)=—f+4x—6=—(x—2尸一2,x^.[0,5],

所以当x=2时，f(x)取得最大值为一(2—2尸一2=—2；

当x=5时，f(x)取得最小值为一(5-2)2-2=-11,

所以函数/'(x)的值域是[-11,-2].故选B.]

f2x+6,[1,2],

3.函数M=\「「则Ax)的最大值、最小值分别为

£+7,—1,,

()

A.10,6B.10,8

C.8,6D.以上都不对

A[当时，8W2x+6W10,当一时，6Wx+7<8,员小值

=f(—1)=6,f(x)最大值=f(2)=10.故选A.]

4.当0WxW2时，水一家+2x恒成立，则实数a的取值范围是()

A.(—8,i]B.(—8,o]

C.(一8,0)D.(0,+8)

C[令/'(x)=一y+2x,

则f(x)=—x+2x=—(x—1)?+L

又,：xG[0,2],

f(x)母小值=f(0)=f(2)=0,

，水0.]

5.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为/产

—V+21X和乙=2x(其中销售量单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能

获得的最大利润为()

A.90万元B.60万元

C.120万元D.120.25万元

C[设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15—才)辆，公司获利为

2

(19、192

L=-V+21x+2(15—x)=—+19x+30=—[x—万J+30+-^-,

・•・当才=9或10时，£最大为120万元.]

二、填空题

6.函数/V)=[在[1,8](，>1)上的最小值是"，则6=.

4［因为/•(旧:」在口，句上是减函数，所以f(x)在［1,3上的最小值为f3

X

=：=；，所以力=4.］

7.已知函数f(x)=-f+4x+a,xG［0,1］,若f(x)有最小值一2,则/'(x)

的最大值为.

1［函数f(x)=—第+4矛+且=—(x—2L+4+a,xW［0,1］,且函数有最小值

—2.

故当x=0时，函数有最小值，

当x=l时，函数有最大值.

•.•当x=0时，A0)=a=-2,

/(x)艮大值=/(l)=—1+4—2=1.］

8.函数/U)=后二一3x在区间⑵4］上的最大值为.

—4—x在区间上是减函数,y=-3x在区间上是减函数，，函数

f(x)=^6—x—3x在区间上是减函数，；.f(x)艮大值=F(2)=。—2—3X2=-4.］

三、解答题

f2

9.画出函数/'(x)=j*的图象，并写出函数的

〔V+2x—1,xC［0,+

单调区间，函数的最小值.

［解］函数的图象如图所示.

由图象可知f(x)的单调递增区间为(一8,0)和［0,+8),无递减区间.

由函数图象可知,

函数的最小值为f(o)=-1.

10.已知函数f(x)=—x?+2x—3.

⑴求f(x)在区间［2a-1,2］上的最小值g(a)；

(2)求g(a)的最大值.

[解](l)f(x)=一(x—1尸一2,f⑵=-3,£(0)=-3,...当2a—lW0,即

aW；时，f(x)地小值=f(2a—1)=—4a2+8a—6；

13

当0V2a—lV2,即a〈a<a时，f(x)城小值=丹2)=-3.

乙乙

r,J

—4a2+8a—6,aWg,

所以g(a)=<]3

[3,2<^

(2)当aW；时，g(a)=—4a，+8a—6单调递增，

，g(a)或《耳二一3；

i3

又当5〈水5时，g(a)=-3,

，g(a)的最大值为一3.

11.函数f(x)=-x+：在[-2,一：上的最大值是()

38

A.5B.一可

乙O

C.-2D.2

A=-在[-2,一，上单调递减，

••/(X)员大值=〃-2)=2—]=].]

12.已知函数尸2x+3在闭区间[0,加上有最大值3,最小值2,则加的

取值范围是()

A.[1,+8)B.[0,2]

C.(—8,2]D.[1,2]

D[f(x)=(x-l)2+2,1f(x)显小值=2,f(x)最大值=3,且f(l)=2,/(0)=/(2)

—3,

...1W/Z7W2,故选D.]

(X-XX,

13.(一题两空)已知函数f(x)=<2求函数f(x)的最

l—A—r1,

大值为,最小值为.

2-；[作出f(x)的图象如图.由图象可知，当*=2时，f(x)取最大值为

2；

当时，f(x)取最小值为一".

所以f(x)的最大值为2,最小值为一；.]

14.用min{a,6}表示a,b两个数中的最小值.设f(x)=min{x+2,10—

x}(x20),则/'(x)的最大值为.

6[在同一个平面直角坐标系内画出函数y=x+2和y=10—x的图象.

根据min{x+2,10—x}(x20)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分.

解方程"+2=10—%得x=4,此时y=6,故两图象的交点为(4,6).

[x+2,0WxW4,

所以f(x)=s、，其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最

[10—x，x>4,

大值为6.]

15.某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销

售单价爪不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系：

x|45|50

y2712

(1)确定x与y的一个一次函数关系式y=f(x)(注明函数定义域).

(2)若日销售利润为产元，根据(1)中的关系式写出尸关于x的函数关系式，

并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？

[解]⑴因为f(x)是一次函数，设M=ax^b,由表格得方程组

f45a+6=27,fa=-3,

<解得.

.50a+6=12,16=162,

所以y=f(x