2020年中考数学九年级三轮冲刺《三角形综合》

三轮冲刺：《三角形综合》1．已知：在△ABC中，BA＝BC，点D在BC边上，△ADE中，DA＝DE，∠ADE＝∠B．（1）如图1，当∠B＝60°时，请直接写出线段BD，CE的数量关系；（2）如图2，当∠B＝90°时，（1）中的结论是否成立；如果成立，请说明理由，如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当∠B＝α（0°＜α＜180°）时，请直接写出线段BD，CE的数量关系．2．已知点I为△ABC的内心．（1）如图1，若AB＝AC＝6，BC＝4，求AI的长；（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．①若MN⊥AI，求证：MI2＝BM•CN；②如图3，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10，若△AMN与△ABC相似，则MN的值为．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒lcm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）当点P在∠BAC的角平分线上时，求出此时t的值；（3）当P在运动过程中，求出t为何值时，△BCP为等腰三角形．（直接写出结果）（4）若M为AC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M、N使得BM+MN的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，a），C（b，3），且a，b满足b＝6﹣+．（1）试判断△ABC的形状并说明理由；（2）如图2，若点P为AC上一动点，AE⊥BP于E，CD⊥BP交BP的延长线于D，求证：AE＝DE；（3）如图3，在（2）的条件下若BP平分∠ABC，且BP＝2+2，求PD的长．5．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AB＝BD，BC＝4，（点A、D分别在直线BC的上下两侧），点G是Rt△ABD的重心，射线BG交边AD于点E，射线BC交边AD于点F．（1）求证：∠CAF＝∠CBE；（2）当点F在边BC上，AC＝1时，求BF的长；（3）若△BGC是以BG为腰的等腰三角形，试求AC的长．6．在△ABC中，AB＝AC，点O在BC边上，且OB＝OC，在△DEF中，DE＝DF，点O在EF边上，且OE＝OF，∠BAC＝∠EDF，连接AD，BE．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接AO，DO，则线段AD与BE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，当∠BAC＝60°时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3，AC＝3，BC＝6，DF＝5，当点B在直线DE上时，请直接写出sin∠ABD的值．7．已知：如图1，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，BE为中线，点D为BC边上一点，BD＝2CD，DF⊥BE于点F，EH⊥BC于点H．（1）CH的长为；（2）求BF•BE的值；（3）如图2，连接FC，求证：∠EFC＝∠ABC．8．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．填空：①则的值为；②∠EAD的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC＝4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．9．如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC交于点E，F，且∠EDF与∠A互补．（1）如图1，若AB＝AC，且∠A＝90°，请直接写出：线段DE与DF的数量关系；（2）如图2，若AB＝AC，请直接写出：线段DE与DF的数量关系；（3）如图3，若AB：AC＝m：n，探索线段DE与DF的数量关系，并证明你的结论．10．如图，点A、B分别是x、y轴正半轴上的点，OA＝OB，点C在第一象限，C到点O、A和B的距离分别为1、2、，以OC为腰作等腰直角△OCD，∠COD＝90°，连接AD．过A作AP⊥OA交直线OC于P点．（1）求证：BC＝AD；（2）求∠ACP的大小；（3）求P点的坐标．参考答案1．解：（1）线段BD，CE的数量关系为：BD＝CE；理由如下：∵BA＝BC，DA＝DE，∠ADE＝∠B＝60°，∴△ABC与△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）不成立，CE＝BD；理由如下：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，∴△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴∠BCA＝∠DEA＝∠BAC＝∠DAE＝45°，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵∠BCA＝∠DEA，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ACE＝∠ADE，∴∠ABD＝∠ACE，∴△BAD∽△CAE，∴＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD，∴∴＝＝，，∴CE＝BD；（3）CE＝BD•2sin，理由如下：过点D作DF⊥AE于F，如图3所示：∵∠ABC＝∠ADE＝α，BA＝BC，DA＝DE，∴△ABC与△ADE都是等腰三角形，∴∠BCA＝∠DEA＝∠BAC