2022学年人教A版分段函数与映射作业

课时9分段函数与映射对应学生用书P19知识点一分段函数1．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x－1)，x≥1，,1，x<1，))则f(f(f(2)))＝()A．0B．1C．2\r(2)答案B解析由题意，f(2)＝eq\r(2－1)＝1，f(f(2))＝f(1)＝eq\r(1－1)＝0，f(f(f(2)))＝f(0)＝1，故选B.2．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，x＞0，,x－1，x＜－1，))则函数f(x)的定义域是()A．(0，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－1,0)D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)答案D解析分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，即(0，＋∞)∪(－∞，－1)，选D.3．作出下列函数的图象：(1)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0＜x＜1，,x，x≥1；))(2)y＝|x＋1|＋|x－2|.解(1)函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)，0＜x＜1，,x，x≥1，))的图象如图所示．(2)将原函数的解析式中的绝对值符号去掉，化为分段函数如下：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋1，x≤－1，,3，－1＜x≤2，,2x－1，x＞2.))它的图象如图所示.知识点二映射4.下列对应法则f中，可以构成从集合M到集合N的映射的是()A．M＝{x|x>0}，N＝R，f：x→|y|＝x2B．M＝{－2,0,2}，N＝{4}，f：x→y＝x2C．M＝R，N＝{y|y>0}，f：x→y＝eq\f(1,x2)D．M＝{0,2}，N＝{0,1}，f：x→y＝eq\f(x,2)答案D解析A中，当x＝2时，y＝±4，不符合；B中，x＝0，没有y与之对应，不符合；C中，x＝0时，没有y与之对应，不符合，选D.5．设f：A→B是A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y)．(1)求A中元素(－1,2)的象；(2)求B中元素(－1,2)的原象．解(1)A中元素(－1,2)在B中对应元素为(－1－2，－1＋2)，即象为(－3,1)．(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝－1，,x＋y＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(3,2)，))∴B中元素(－1,2)的原象为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))).知识点三分段函数的应用6.某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水量为()A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米答案A解析该单位职工每月应缴水费y与实际用水量x满足的关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x＞10.))由y＝16m，可知x＞10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13.7．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤－1，,2x，－1<x<2，,\f(x2,2)，x≥2，))且f(a)＝3，求a的值．解按a≤－1，－1<a<2和a≥2进行讨论．①当a≤－1时，f(a)＝a＋2，由a＋2＝3，得a＝1，与a≤－1相矛盾，应舍去．②当－1<a<2时，f(a)＝2a，由2a＝3，得a＝eq\f(3,2)，满足－1<a<2.③当a≥2时，f(a)＝eq\f(a2,2)，由eq\f(a2,2)＝3，得a＝±eq\r(6)，又a≥2，∴a＝eq\r(6).综上可知，a的值为eq\f(3,2)或eq\r(6).易错点忽视分段函数的定义域而致误8.已知实数a≠0，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1，,－x－2a，x≥1，))若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．易错分析题目中f(x)为分段函数，在求值时需要根据定义域取值范围不同代入不同的解析式，本题极易误以为1－a<1＋a而忘记分类讨论导致结果错误．答案－eq\f(3,4)正解当a>0时，1－a<1,1＋a>1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得2－2a＋a＝－1－a－2a，解得a＝－eq\f(3,2)，不合题意；当a<0时，1－a>1,1＋a<1，由f(1－a)＝f(1＋a)可得－1＋a－2a＝2＋2a＋a，解得a＝－eq\f(3,4).

对应学生用书P20一、选择题1．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10，x＜0，,10x，x≥0，))则f[f(－7)]的值为()A．100B．10C．－10D．－100答案A解析因为f(－7)＝10，所以f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100，故选A.2．已知集合A中元素(x，y)在映射f下对应B中元素(x＋y，x－y)，则B中元素(4，－2)在A中对应的元素为()A．(1,3)B．(1,6)C．(2,4)D．(2,6)答案A解析设B中元素(4，－2)在A中对应的元素为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝4，,x－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))所以B中元素(4，－2)在A中对应元素为(1,3)，故选A.3．设集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下图中，能表示P到Q的映射的是()A．①②③④B．①③④C．①④D．③答案C解析由映射的概念，知①④符合要求．4．已知函数f(x)的图象恒过点(1,1)，则函数f(x－3)的图象恒过()A．(4,1)B．(－3,1)C．(1，－3)D．(1,4)答案A解析函数f(x－3)的图象看作函数f(x)的图象向右平移3个单位，函数f(x)的图象恒过点(1,1)，则函数f(x－3)的图象恒过点(4,1)．5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x2，0<x≤3，))若f(x)＝3，则x的值是()\r(3)B．9C．－1或1D．－eq\r(3)或eq\r(3)答案A解析依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0<x≤3，则x2＝3，解得x＝－eq\r(3)(舍去)或x＝eq\r(3).故选A.6．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＞0，,fx＋1，x≤0，))则f－eq\f(4,3)＋feq\f(4,3)等于()A．－2B．4C．2D．－4答案B解析∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x＞0，,fx＋1，x≤0，))∴f－eq\f(4,3)＝f－eq\f(4,3)＋1＝f－eq\f(1,3)＝f－eq\f(1,3)＋1＝feq\f(2,3)＝eq\f(2,3)×2＝eq\f(4,3)，feq\f(4,3)＝2×eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，∴f－eq\f(4,3)＋feq\f(4,3)＝eq\f(4,3)＋eq\f(8,3)＝4.二、填空题7．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,2－x，－2≤x＜0))的值域是________．答案[1，＋∞)解析当x≥0时，f(x)≥1；当－2≤x＜0时，2＜f(x)≤4.∴值域为[1，＋∞)．8．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2，x<1，,x2＋ax，x≥1，))若f[f(0)]＝4a，则实数a＝________.答案2解析f(0)＝3×0＋2＝2，f[f(0)]＝f(2)＝4＋2a.由题可知，4＋2a＝4a，解得a＝2.9．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≤－2，,x＋1，－2＜x＜4，,3x，x≥4，))若f(a)＜－3，则a的取值范围是________．答案(－∞，－3)解析当a≤－2时，f(a)＝a＜－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；当－2＜a＜4时，f(a)＝a＋1＜－3，此时不等式无解；当a≥4时，f(a)＝3a＜－3，此时不等式无解．所以a的取值范围是(－∞，－3)．三、解答题10．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1,4x＋3y－1)，求A中元素(－1,2)在f作用下与之对应的B中的元素．解∵x＝－1，y＝2，∴3x－2y＋1＝3×(－1)－2×2＋1＝－6，4x＋3y－1＝4×(－1)＋3×2－1＝1.∴所求的B中的元素为(－6,1)．11．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,x，x<0，))g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x2，x<0，))求f[g(x)]的函数解析式．解当x≥0时，g(x)＝x，∴f[g(x)]＝f(x)＝x2.当x<0时，g(x)＝－x2，∴f