2018版数学大复习讲义教师版文档第十二章推理与证明、算法、复数12.3含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．算法的含义算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行,都能使问题得到解决．2．算法框图在算法设计中，算法框图（也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤，算法框图的三种基本结构:顺序结构、选择结构、循环结构．3．三种基本逻辑结构(1）顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法,或者称为算法的顺序结构．其结构形式为(2）选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．其结构形式为（3）循环结构:指从某处开始,按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．其基本模式为4．基本算法语句任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句,它们分别是:输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．5．赋值语句(1)一般形式：变量＝表达式．（2)作用:将表达式所代表的值赋给变量．6．条件语句(1）If—Then—Else语句的一般格式为：If条件Then语句1Else语句2EndIf（2)If—Then语句的一般格式是：If条件Then语句EndIf7．循环语句(1）For语句的一般格式:For循环变量＝初始值To终值循环体Next(2)DoLoop语句的一般格式:Do循环体LoopWhile条件为真【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．（×)(2）算法框图中的图形符号可以由个人来确定．(×）（3）输入框只能紧接开始框,输出框只能紧接结束框．(×）（4）选择结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的．(√）（5）5＝x是赋值语句．(×）(6)输入语句可以同时给多个变量赋值．(√)1．已知一个算法：（1）m＝a。(2）如果b〈m，则m＝b，输出m；否则执行第(3)步．(3）如果c<m，则m＝c，输出m.否则执行第（4）步．（4）输出m。如果a＝3，b＝6，c＝2，那么执行这个算法的结果是（)A．3B．6C．2D．m答案C解析当a＝3，b＝6，c＝2时，依据算法设计，本算法是求a、b、c三个数的最小值，故输出m的值为2，故选C。2．（2016·全国甲卷）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的算法框图，执行该算法框图,若输入的x＝2,n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s等于(）A．7B．12C．17D．34答案C解析由框图可知，输入x＝2,n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17,故选C。3．（2017·广州联考)下列赋值能使y的值为4的是（）A．y－2＝6B．2＊3-2=yC．4=yD。y＝2＊3—2答案D解析赋值时把“＝”右边的值赋给左边的变量．4．（2017·太原月考）如图是一算法的算法框图,若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是（)A．k≤6 B．k≤7C．k≤8 D．k≤9答案B解析第一次执行循环，得到S＝10，k＝9;第二次执行循环,得到S＝90，k＝8；第三次执行循环,得到S＝720,k＝7,此时满足条件．5．执行下面的算法框图，若输入的ε的值为0。25，则输出的n的值为________．答案3解析第一次循环：F1＝3，F0＝2,n＝2；第二次循环：F1＝5，F0＝3，n＝3。此时eq\f（1,F1)＝eq\f(1，5）＝0.2满足eq\f（1，F1）≤ε＝0。25，故输出n＝3。题型一顺序结构与选择结构命题点1顺序结构例1如图所示的算法框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．（1)该算法框图解决的是一个什么问题？(2)当输入的x的值为0和4时,输出的值相等,问当输入的x的值为3时，输出的值为多大?（3）在（2）的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大?解(1)该算法框图解决的是求二次函数f(x）＝－x2＋mx的函数值的问题．(2）当输入的x的值为0和4时,输出的值相等，即f(0)＝f（4)．因为f(0）＝0，f(4)＝－16＋4m,所以－16＋4m＝0,所以m＝4，f（x）＝－x2＋4x。则f(3）＝－32＋4×3＝3，所以当输入的x的值为3时,输出的f(x)的值为3.（3）因为f（x)＝－x2＋4x＝－(x－2）2＋4，当x＝2时，f(x）最大值＝4,所以要想使输出的值最大，输入的x的值应为2。命题点2选择结构例2执行如图所示的算法框图，如果输入的t∈［－1，3］,则输出的s属于（)A．［－3，4] B．［－5，2]C．[－4,3］ D．［－2,5]答案A解析根据算法框图可以得到分段函数s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t，t<1，，4t－t2,t≥1，))进而在函数的定义域[－1，3]内分段求出函数的值域．所以当－1≤t〈1时，s＝3t∈［－3，3)；当1≤t≤3时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，所以此时3≤s≤4.综上可知，函数的值域为［－3,4]，即输出的s属于［－3,4]．引申探究若将本例中判断框的条件改为“t≥1”，则输出的s的范围是什么?解根据算法框图可以得到，当－1≤t<1时，s＝4t－t2＝－(t－2)2＋4，此时－5≤s〈3;当1≤t≤3时，s＝3t∈[3,9］．综上可知，函数的值域为[－5,9]，即输出的s属于[－5,9]．思维升华应用顺序结构与选择结构的注意点（1）顺序结构顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．(2)选择结构利用选择结构解决算法问题时,重点是判断框，判断框内的条件不同，对应的下一框中的内容和操作要相应地进行变化，故要重点分析判断框内的条件是否满足．执行如图所示的算法框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为________．答案2解析当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立时输出S的值为1；当条件x≥0,y≥0,x＋y≤1成立时S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．作出不等式组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥0,,y≥0，,x＋y≤1)）表示的平面区域如图中阴影部分(含边界),由图可知当直线S＝2x＋y经过点M(1,0)时S最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S的最大值为2.题型二循环结构命题点1由算法框图求输出结果例3(2016·全国乙卷)执行右面的算法框图,如果输入的x＝0，y＝1,n＝1，则输出x，y的值满足()A．y＝2xB．y＝3xC．y＝4xD．y＝5x答案C解析执行题中的算法框图，知第一次进入循环体：x＝0＋eq\f(1－1，2）＝0，y＝1×1＝1，x2＋y2〈36;第二次执行循环体：n＝1＋1＝2，x＝0＋eq\f(2－1，2）＝eq\f(1，2)，y＝2×1＝2，x2＋y2<36；第三次执行循环体：n＝2＋1＝3，x＝eq\f(1，2）＋eq\f(3－1,2）＝eq\f（3,2），y＝3×2＝6，x2＋y2>36,满足x2＋y2≥36，故退出循环，输出x＝eq\f（3,2)，y＝6，满足y＝4x,故选C。命题点2完善算法框图例4（2016·衡水一模）如图给出的是计算eq\f（1，2)＋eq\f(1，4)＋eq\f（1,6）＋…＋eq\f(1，20）的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是()A．i>10 B．i〈10C．i〉11 D．i<11答案A解析经过第一次循环得到s＝eq\f(1，2），i＝2，此时的i不满足判断框中的条件;经过第二次循环得到s＝eq\f（1,2)＋eq\f（1,4)，i＝3，此时的i不满足判断框中的条件；经过第三次循环得到s＝eq\f（1,2）＋eq\f(1，4）＋eq\f(1,6），i＝4，此时的i不满足判断框中的条件；…；经过第十次循环得到s＝eq\f（1,2)＋eq\f(1，4）＋eq\f(1，6）＋…＋eq\f（1,20），i＝11，此时的i满足判断框中的条件，执行输出,故判断框中的条件是“i>10"．命题点3辨析算法框图的功能例5根据下面框图，对大于2的整数n，输出的数列的通项公式是()A．an＝2n B．an＝2（n－1）C．an＝2n D．an＝2n－1答案C解析由算法框图可知,第一次运行：i＝1,a1＝2,S＝2；第二次运行：i＝2，a2＝4，S＝4；第三次运行：i＝3，a3＝8，S＝8；第四次运行：i＝4，a4＝16,S＝16.故选C.思维升华与循环结构有关问题的常见类型及解题策略(1)已知算法框图,求输出的结果，可按算法框图的流程依次执行,最后得出结果．（2)完善算法框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．(3）对于辨析算法框图功能问题，可将程序执行几次,即可根据结果作出判断．(2016·四川）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的算法框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n,x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9B．18C．20D．35答案B解析初始值n＝3,x＝2，程序运行过程如下：v＝1i＝2v＝1×2＋2＝4i＝1v＝4×2＋1＝9i＝0v＝9×2＋0＝18i＝－1跳出循环，输出v＝18,故选B。题型三基本算法语句例6(1)以下程序运行结果为(）t＝1Fori＝2To5t＝t＊iNext输出tA．80B．120C．100D．95（2)下面的程序：a＝33b＝39Ifa〈bThent＝aa＝bb＝ta＝a－bEndIf输出a该程序运行的结果为________．答案(1)B(2)6解析(1）运行结果为t＝1×2×3×4×5＝120。（2)∵a＝33,b＝39，∴a〈b，∴t＝33，a＝39，b＝33，a－b＝39－33＝6。思维升华解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句,把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为（)输入xIfx≤50Theny＝0。5＊xElsey＝25＋0。6*(x—50）EndIf输出yA．25B．30C．31D．61答案C解析由题意，得y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（0.5x,x≤50，，25＋0。6x－50，x>50.)）当x＝60时，y＝25＋0.6×(60－50）＝31。所以输出y的值为31。13．算法框图中变量的取值典例执行如图所示的算法框图所表示的程序,则输出的A等于()A．2047 B．2049C．1023 D．1025错解展示解析将每次运算的A值用数列{an}表示，将开始的A＝1看作a0，则a1＝2a0＋1＝1，a2＝2a1＋1＝3，…∴a10＝2a9＋1＝210－1＝1023.答案C现场纠错解析本题计算的是递推数列a0＝1,an＋1＝2an＋1(n＝0,1,2，…)的第11项，{an＋1｝是首项为2，公比为2的等比数列，故a10＋1＝211，故a10＝2047.答案A纠错心得算法框图对计数变量及求和变量取值时，要注意两个变量的先后顺序．1．（2016·全国丙卷)执行如图所示的算法框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n等于（）A．3B．4C．5D．6答案B解析第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝6,n＝1；第二次循环a＝4－6＝－2，b＝4－（－2)＝6，a＝6－2＝4，s＝10，n＝2；第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，s＝16，n＝3；第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－（－2）＝6，a＝6－2＝4，s＝20，n＝4，满足题意,结束循环．2．(2016·北京)执行如图所示的算法框图,输出的S值为（)图A．8B．9C．27D．36答案B解析①S＝0＋03＝0，k＝0＋1＝1，满足k≤2;②S＝0＋13＝1,k＝1＋1＝2，满足k≤2；③S＝1＋23＝9，k＝2＋1＝3,不满足k≤2，输出S＝9.3．（2015·天津）阅读下边的算法框图，运行相应的程序,则输出S的值为(）图A．－10B．6C．14D．18答案B解析运行相应的程序,第一次循环:i＝2，S＝20－2＝18；第二次循环：i＝4，S＝18－4＝14；第三次循环:i＝8，S＝14－8＝6；8＞5，终止循环，输出S＝6，故选B.4．阅读算法框图，运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(）A．7B．9C．10D．11答案B解析i＝1，S＝0，第一次循环：S＝0＋lgeq\f（1,3）＝－lg3〉－1；第二次循环:i＝3，S＝lgeq\f（1,3)＋lgeq\f（3,5)＝lgeq\f（1,5)＝－lg5〉－1；第三次循环：i＝5，S＝lgeq\f（1,5)＋lgeq\f(5，7）＝lgeq\f(1，7）＝－lg7〉－1；第四次循环:i＝7，S＝lgeq\f（1,7）＋lgeq\f(7,9）＝lgeq\f（1，9）＝－lg9>－1；第五次循环：i＝9，S＝lgeq\f（1,9)＋lgeq\f(9,11）＝lgeq\f(1,11）＝－lg11<－1.故输出i＝9.5．(2017·成都月考)定义某种运算,ab的运算原理如图所示．设S＝1x，x∈［－2,2］，则输出的S的最大值与最小值的差为(）图A．2B．－1C．4D．3答案A解析由题意可得，S(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（|x|,－2≤x≤1，，1，1<x≤2，））∴S(x)max＝2,S(x)min＝0，∴S(x)max－S（x）min＝2。6．给出一个算法的算法框图（如图所示)，该算法框图的功能是（)图A．输出a，b,c三数中的最大数B．输出a，b，c三数中的最小数C．将a，b，c按从小到大排列D．将a，b,c按从大到小排列答案B解析先比较a，b的值，把较小的值赋值给a;再比较a，c的值,把较小的值赋值给a，输出a。7．公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术"刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个算法框图,则输出n的值为________．(参考数据:sin15°≈0.2588，sin7。5°≈0.1305)答案24解析n＝6,S＝eq\f(1，2）×6×sin60°＝eq\f（3\r(3），2）≈2。598<3。1,不满足条件，进入循环；n＝12,S＝eq\f(1,2)×12×sin30°＝3<3.1，不满足条件,继续循环;n＝24,S＝eq\f（1，2）×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056〉3.1，满足条件,退出循环,输出n的值为24.8．以下给出了一个程序，根据该程序回答：输入xIfx〈3Theny＝2*xElseIfx〉3Theny＝x*x—1Elsey=2EndIfEndIf输出y（1）若输入4，则输出的结果是________;(2）该程序的功能所表达的函数解析式为________．答案(1)15(2）y＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x，x〈3,,2，x＝3，,x2－1,x〉3))解析(1)x＝4不满足x〈3，∴y＝x2－1＝42－1＝15。输出15。（2）当x〈3时,y＝2x，当x〉3时，y＝x2－1；否则，x＝3，y＝2.∴y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x，x〈3，,2,x＝3，，x2－1,x>3.））9．（2016·陕西西工大附中模拟)阅读如图所示算法框图，若输出的n＝5，则满足条件的整数p共有________个．答案32解析模拟算法框图的运行过程,最后一次循环是s＝22＋23＋24＝28，满足条件s〈p；执行循环s＝28＋25＝60，n＝5，不满足条件，s≥p；终止循环，输出n＝5。所以满足条件的整数p共有60－28＝32（个）．10．如图(1)(2)所示,它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的算法框图,那么应分别补充的条件为：(1)______________；(2）______________．答案(1)n3〈1000(2)n3≥1000解析第一个图中，n不能取10，否则会把立方等于1000的正整数也输出了,所以应该填写n3<1000；第二个图中,当n≥10时,循环应该结束，所以填写n3≥1000。11．给出一个如图所示的算法框图,若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值是________．答案0,1,3解析根据题意，本算法框图表示分段函数:y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤2，,2x－3,2〈x≤5,,\f(1,x），x>5，））由于输入的x值与输出的y值相等，由x2＝x解得x＝0或x＝1，都满足x≤2；由x＝2x－3解得x＝3，也满足2〈x≤5；由eq\f(1,x）＝x解得x＝±1,都不在x>5内,舍去．可见满足条件的x共三个：0，1，3。12．（2016·抚州质检)某框图所给的程序运行结果为S＝20，那么判断框中应填入的关于k的条件是________．答案k〉8解析由题意可知输出结果