江苏省连云港市金桥实验学校2021年高三数学文月考试题含解析

江苏省连云港市金桥实验学校2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一组数据的方差是，将这组数据中的每个数据都乘以2，所得到的一组新数据的方差是（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ． Ｄ．参考答案：D2.若满足且的最小值为－2，则的值为（

）A.1

B.－1

C.2

D.--2参考答案：B【知识点】简单线性规划．【答案解析】解：由约束条件作出可行域如图，

由，得，∴B．由得．

由图可知，当直线过B时直线在y轴上的截距最小，即z最小．解得：k=-1．故选B.【思路点拨】由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．3.已知点P是直线上的动点，点Q是曲线上的动点，则的最小值为（

）A.5 B. C. D.参考答案：B【分析】平移，当直线与曲线相切时，切点到直线的距离即最小值.【详解】设曲线上切点为到直线的距离为即的最小值为故答案为B【点睛】本题考查了曲线的切线问题，最小值问题，将距离的最小值转化到点到直线的距离是解题的关键.4.函数的定义域为A．

B．

C．

D．参考答案：B5.已知的重心为G，角A，B，C所对的边分别为，若，则A.1:1:1 B. C. D.参考答案：【知识点】正弦定理；向量加减混合运算及其几何意义．C8F1D

解析：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理，由△ABC的重心为G，得2sinA+sinB=﹣3sinC=﹣3sinC（﹣﹣），整理得：（2sinA﹣3sinC）+（sinB﹣3sinC）=0，∵，不共线，∴2sinA﹣3sinC=0，sinB﹣3sinC=0，即sinA=sinC，sinB=sinC，则sinA：sinB：sinC=：：1=，故选：D．【思路点拨】已知等式利用正弦定理化简，整理后根据两向量不共线，表示出sinA与sinB，求出sinA，sinB，sinC之比即可．6.已知函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在R上是增函数，则m的取值范围为（）A．m≤2或m≥4 B．﹣4≤m≤﹣2 C．2≤m≤4 D．以上皆不对参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用．【分析】问题转化为f′（x）=x2﹣2（4m﹣1）x+（15m2﹣2m﹣7）≥0在R上恒成立即可，结合二次函数的性质从而求出m的范围．【解答】解：若函数f（x）=x3﹣（4m﹣1）x2+（15m2﹣2m﹣7）x+2在R上是增函数，只需f′（x）=x2﹣2（4m﹣1）x+（15m2﹣2m﹣7）≥0在R上恒成立即可，∴只需△=4（4m﹣1）2﹣4（15m2﹣2m﹣7）≤0即可，解得：2≤m≤4，故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道基础题．7.直线与直线的交点坐标是（

）A.（-4，2）

B.（4，-2）

C.（-2，4）

D.（2，-4）参考答案：B8.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝(

)A．－3

B．－1

C．1 D．3参考答案：A9.已知数列满足，则该数列的前23项的和为（

）A．4194

B．4195

C．2046

D．2047参考答案：A10.若某几何体的三视图(单位：)如图所示，则该几何体的体积等于()

A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：立体图就是直三棱柱被切掉红色线框的三棱锥后的立体图考点：1.几何体的三视图；2.几何体的体积；二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中m∈R，若，则f（5m）=．参考答案：【考点】分段函数的应用．【分析】求出函数的周期，利用等式关系求出m，然后求解函数值．【解答】解：因为f（x+2）=f（x）?T=2．所以，f（5m）=f（﹣3）=f（﹣1）=﹣1+=﹣．故答案为：．12.下图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程；区间（0，1）中的实数x对应数轴上的点M，如图①；将线段AB围成一个圆，使两端点A,B恰好重合，如图②；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图③.图③中直线AM与x轴交于点N(n，0)，则x的象就是n，记作.下列说法中正确的序号是__________.（填上所有正确命题的序号）①在定义域上单调递增；②的图象关于y轴对称；③是的零点；④；⑤的解集是.参考答案：13.右图是一个阶矩阵，依照该矩阵中元素的规律，则元素100在此矩阵中总共出现了________次。参考答案：614.设l、m、n表示条不同直线，α、β、γ表示三个不同平面，给出下列四个命题，下列选项中都是真命题的是

．①若l⊥α，m⊥α，则l//m；②若mβ，n是l在β内的射影，且m⊥l，则m⊥n；③若mα，m//n，则n//α；④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β．参考答案：①②15.在极坐标系中，直线经过圆的圆心且与直线平行，则直线与极轴的交点的极坐标为_________．参考答案：(1,0)由可知此圆的圆心为(1,0),直线是与极轴垂直的直线，所以所求直线的极坐标方程为,所以直线与极轴的交点的极坐标为(1,0)16.已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．参考答案：（1，2）【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为或，分别解出它们，再求并集即可．【解答】解：当x≥0时，f（x）==1，当x＜0时，f（x）==﹣1﹣，作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为或，即有或，解得≤x＜2或1＜x＜，即有1＜x＜2．则解集为（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．17.已知函数f(x)满足f(x)＝f()，当x∈[1,3]时，f(x)＝lnx，若在区间[,3]内，函数g(x)＝f(x)－ax与x轴有三个不同的交点，则实数a的取值范围是

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．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，，．⑴求函数的单调区间；⑵记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；⑶记函数，证明：存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．参考答案：（1）因为，①若，则，在上为增函数，…………2分②若，令，得，当时，；当时，．所以为单调减区间，为单调增区间．

综上可得，当时，为单调增区间，当时，为单调减区间，为单调增区间．……………4分（2）时，，，……………………5分在上有且只有一个极值点，即在上有且只有一个根且不为重根，由得，………6分（i），，满足题意；…………7分（ii）时，，即；………8分（iii）时，，得，故；综上得：在上有且只有一个极值点时，．……………9分注：本题也可分离变量求得．（3）证明：由（1）可知：（i）若，则，在上为单调增函数，所以直线与的图象不可能有两个切点，不合题意．……10分（ⅱ）若，在处取得极值．若，时，由图象知不可能有两个切点．…………11分故，设图象与轴的两个交点的横坐标为（不妨设），则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点．，，设切点分别为，则，且，，，即，

①，②，③①-②得：，由③中的代入上式可得：，即，……………14分令，则，令，因为，，故存在，使得，即存在一条过原点的直线与的图象有两个切点．……16分19.（本小题满分12分）

设向量（1）若与垂直，求；（2）求的最大值。参考答案：20.已知抛物线在第一象限内的点到焦点F的距离为．（1）若，过点M,P的直线l1与抛物线相交于另一点Q，求的值；（2）若直线l2与抛物线C相交于A，B两点，与圆相交于D，E两点，O为坐标原点，，试问：是否存在实数a，使得|DE|的长为定值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．参考答案：19．（1）∵点，∴，解得，故抛物线的方程为：，当时，，∴的方程为，联立可得，，又∵，，∴．

...............................5分（2）设直线的方程为，代入抛物线方程可得，设

，则，，①由得：，整理得，②将①代入②解得，∴直线，∵圆心到直线的距离，∴，显然当时，，的长为定值．

...............................12分21.（12分）如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面AC于点A，M、N分别是AB、PC的中点.（Ⅰ）求证：MN⊥AB；（Ⅱ）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为，能否确定，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出的值；若不能确定，说明理由.

参考答案：解析：证明：（1）取CD的中点K，连MK、NK，∵AM=BM，DK=CK，∴MK=AD，且MK∥AD.

∵AB⊥AD，∴AB⊥MK.∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，

∴PD⊥AB.

∵PN=CN，DK=CK，∴NK∥PD.∴AB⊥NK，又MK∩NK=K，∴AB⊥平面MNK，

∴AB⊥MN.

5分（2）解：由（1）得MN⊥AB，故MN为AB和PC的公垂线当且仅当MN⊥PC.∵PN=CN，∴MN⊥PCPM=CM

①∵AM=BM，∴①PA=BC.

②

∵BC=AD，

∴②PA=AD.又∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴PD⊥CD.

∴∠ADP为二面角A—CD—P的平面角.

8分从而PA=AD△PAD为等腰直角三角形∠ADP=，∴存在θ=使MN为AB与PC的公垂线.

12分

22.（本小题满分12分）已知函数

（1）讨论的单调性与极值点。（2）若,证明当时，的图象恒在的图象上方.参考答案：解：（1）

当时在（0，）上恒成立在(0,+∞)单调递增,此时无