江苏省苏州市平江中学(学士街校区)2021-2022学年高三数学文测试题含解析

江苏省苏州市平江中学(学士街校区)2021-2022学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知三棱锥P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．π B．4π C．π D．16π参考答案：D【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据正弦定理得出截面圆的半径为1，利用球的几何性质把空间转化为平面为梯形PANO，利用平图形的几何性质求解．【解答】解：根据题意得出图形如下；O为球心，N为底面△ABC截面圆的圆心，ON⊥面ABC∵，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，∴根据正弦定理得出：=2r，即r=1，∵PA⊥面ABC，∴PA∥ON，∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，∴根据等腰三角形得出：PAO中PA=2d=2，d=∵R2=12+（）=4，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=16π故选：D2.已知函数的图象的一条对称轴是直线，则函数的单调递增区间是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略3.函数在点（x0，y0）处的切线方程，则等于A、－4

B、－2

C、2

D、4参考答案：D4.若对?x，y∈（0，+∞），不等式4xlna＜ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，则正实数a的最大值是（）A． B．e C．e D．2e参考答案：A【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；推理和证明．【分析】设f（x）=ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2，原不等式恒成立，即为不等式4xlna≤f（x）恒成立．运用基本不等式和参数分离可得2lna≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，通过求导判断单调性求得g（x）的最小值即可得到a的最大值．【解答】解：设f（x）=ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2，不等式4xlna≤ex+y﹣2+ex﹣y﹣2+2恒成立，即为不等式4xlna≤f（x）恒成立．即有f（x）=ex﹣2（ey+e﹣y）+2≥2+2ex﹣2（当且仅当y=0时，取等号），由题意可得4xlna≤2+2ex﹣2，即有2lna≤在x＞0时恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即有（x﹣1）ex﹣2=1，令h（x）=（x﹣1）ex﹣2，h′（x）=xex﹣2，当x＞0时h（x）递增，由于h（2）=1，即有（x﹣1）ex﹣2=1的根为2，当x＞2时，g（x）递增，0＜x＜2时，g（x）递减，即有x=2时，g（x）取得最小值，为1，则有2lna≤1．∴0＜a≤当x=2，y=0时，a取得最大值．故选：A．【点评】本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数运用导数判断单调性是解题的关键．5.已知实数满足，每一对整数对应平面上一个点，则过这些点中的其中三点可作多少个不同的圆

（

）

A．70

B．61

C．52

D．43参考答案：答案：D6.已知集合,则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A7.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sn+2﹣Sn=36，则n=（） A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：D【考点】等差数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】由Sn+2﹣Sn=36，得an+1+an+2=36，代入等差数列的通项公式求解n． 【解答】解：由Sn+2﹣Sn=36，得：an+1+an+2=36， 即a1+nd+a1+（n+1）d=36， 又a1=1，d=2， ∴2+2n+2（n+1）=36． 解得：n=8． 故选：D． 【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础题． 8.已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|=6，P是E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|=，则E的离心率是（）A．2 B． C． D．参考答案：C【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设△PAF2的内切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|=，|QF2|=|MF2|，由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|=+|QF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|=+|QF2|+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|MF2|=2=2a，解得a=，又|F1F2|=6，即有c=3，离心率e==．故选：C．9.已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3参考答案：B【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．10.已知直线l：交双曲线：于A，B两点，过A作直线l的垂线AC交双曲线于点C．若，则双曲线的离心率为(

)A. B. C.2 D.参考答案：A【分析】联立直线xy和双曲线方程可得A，B的坐标，以及|AB|，直角三角形的性质可得|AC||AB|，设出直线AC的方程，联立双曲线方程，运用韦达定理可得C的横坐标，由弦长公式，化简计算可得a＝b，进而得到所求离心率．【详解】联立直线xy和双曲线方程可得x2，y2，可设A（，），可得|AB|＝2|OA|，在直角三角形ABC中，∠ABC＝60°，可得|AC||AB|，设直线AC的方程为yx，代入双曲线方程可得（b2﹣3a2）x2x﹣a2b20，可得xC，即有|xC﹣xA|＝||，可得|AC|＝2?，即为a2+b2＝|b2﹣3a2|，可得a＝b，e．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和运用，考查直线和双曲线的位置关系，以及联立方程组，运用韦达定理，考查化简运算能力，属于综合题．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（不等式选做题）已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|，则不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为

．参考答案：略12.已知、是双曲线（）的两焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是

．参考答案：13.设关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是

。参考答案：14.已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为

．参考答案：17π15.在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a=

．参考答案：12略16.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以O为极

点，射线Ox为极轴的极坐标系中，曲线的方程为，曲线与交于M、N两点，则线段MN的长度为_______．参考答案：略17.已知函数若，则实数＝

.参考答案：2

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数（），．(1)若函数图象上的点到直线距离的最小值为，求的值；(2)关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范围；(3)对于函数与定义域上的任意实数，若存在常数，使得和都成立，则称直线为函数与的“分界线”．设，，试探究与是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）因为，所以，令得：，此时，…………2分则点到直线的距离为，即，解之得．…………4分（3）设，则．所以当时，；当时，．因此时，取得最小值，则与的图象在处有公共点．…………12分设与存在“分界线”，方程为，19.（本小题满分12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的细颗粒物，它对人体健康和大气环境质量的影响很大．2012年2月，中国发布了《环境空气质量标准》，开始大力治理空气污染．用依次表示2013年到2017年这五年的年份代号，用表示每年3月份的PM2.5指数的平均值（单位：）．已知某市2013年到2016年每年3月份的PM2.5指数的平均值的折线图如下：（Ⅰ）根据折线图中的数据，完成下列表格：年份2013201420152016年份代号（）1234PM2.5指数（）

（Ⅱ）建立关于的线性回归方程；（Ⅲ）在当前治理空气污染的力度下，预测该市2017年3月份的PM2.5指数的平均值．附：回归直线方程中参数的最小二乘估计公式：．参考答案：(Ⅰ)表格见解析；(Ⅱ)；（Ⅲ）.考点：折线图、线性回归方程及运用．20.（满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=AB，D是AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C//平面A1BD；（Ⅰ）求二面角A—A1B—D的余弦值．参考答案：解：(1)证明：连交于点，连.则是的中点，∵是的中点，∴∵平面，平面，∴∥平面.…6分

(2)法一：设,∵,∴,且，作，连∵平面⊥平面，∴平面，∴∴就是二面角的平面角，在中，，在中，，即二面角的余弦值是.………12分解法二：如图，建立空间直角坐标系.则，，，∴，，，设平面的法向量是，则由，取设平面的法向量是，则由，取记二面角的大小是，则，即二面角的余弦值是.…………12分21.已知函数，（Ⅰ）当时，求的极大值；（Ⅱ）当时，（1）试讨论在区间上的单调性；（2）当时，曲线上总存在相异两点、，使得曲线在点、处的切线互相平行，求的取值范围.参考答案：解（Ⅰ）当时，

…

…

…

…

1分当或时，；当时，

∴在和上单调递减，在单调递增

…

3分故

…

…

…

…

……

4分（Ⅱ）（1）

…

…

…

…

…

…5分①当时，则，故时，；时，此时在上单调递减，在单调递增；

…

…

…

6分②当时，则，故，有恒成立，此时在上单调递减；

…

…

…

…

…

…

7分③当时，则，故时，；时，此时在上单调递减，在单调递增

…

…

…

8分（2）由题意，可得（，且）即

…

…

9分∵，由不等式性质可得恒成立，又∴对恒成立

…

10分令，则对恒成立∴在上单调递增，∴

…

…

11分故

…

…

…

…

…

…

……

…

13分从而“对恒成立”等价于“”∴的取值范围为

…

…

…

…

…

…

…

14分

略22.如图，正方形ADMN与矩形ABCD所在的平面相互垂直，AB=2AD=6，点E为线段AB上一点．（1）若点E是AB的中点，求证：BM∥平面NDE；（2）若直线EM与平面所成角的大小为，求VE﹣ADMN：VE﹣CDM．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AM，设AM∩ND