江苏省苏州市大学附属中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析

江苏省苏州市大学附属中学2022-2023学年高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设为任意正数，则的最小值为（

）(A)；

(B)；

(C)；

(D)

参考答案：B2.若直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[1﹣2，3] B．[1﹣，3] C．[﹣1，1+2] D．[1﹣2，1+2]参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，圆心到直线的距离d==2，b=1±2，（0，3）代入直线y=x+b，可得b=3，即可得出结论．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==2，b=1±2，（0，3）代入直线y=x+b，可得b=3，∵直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，∴实数b的取值范围是[1﹣2，3]，故选A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．3.如果幂函数的图象不过原点，则取n值为（）A．n=1或n=2 B．n=1或n=0 C．n=1 D．n=2参考答案：A【考点】幂函数的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】幂函数的图象不过原点，可得n2﹣3n+3=1，n2﹣n﹣2＜0，解出即可．【解答】解：∵幂函数的图象不过原点，∴n2﹣3n+3=1，n2﹣n﹣2＜0，解得n=1或2．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质、一元二次不等式与方程的解法，属于基础题．4.已知，且，则的值是（）A． B． C． D．参考答案：B5.已知i是虚数单位，，，则等于（

）A.-1 B.1 C.3 D.4参考答案：A【分析】根据复数的除法化简，再根据复数相等的充要条件求出，即得答案.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题.6.设c<0,是区间上的减函数，下列命题中正确的是（

）A、在区间上有最小值

B、在上有最小值C、在上有最小值

D、在上有最小值参考答案：D7.如图是一个正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是()参考答案：B略8.△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=，b=，B=45°，则角C的大小为（）A．15° B．75° C．15°或75° D．60°或120°参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinA=，结合范围A∈（45°，180°），可求A，利用三角形内角和定理可求C的值．【解答】解：∵a=，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵A∈（45°，180°），∴A=60°，或120°，∴C=180°﹣A﹣B=15°或75°．故选：C．9.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，如果a，b，c成等差数列，B=60°，△ABC的面积为3，那么b等于（）A．2 B．2 C． D．参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】由a、b、c成等差数列，把a+c用b表示，由面积等于3求出ac=12，结合余弦定理列式求b的值．【解答】解：在△ABC中，∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c，又∠B=60°，△ABC的面积为3，∴acsinB=acsin60°=3，即×ac=3，ac=12．由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得：b2=a2+c2﹣2accos60°，即b2=（a+c）2﹣3ac，∴b2=4b2﹣3×12，∴b=2．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的性质，考查了三角形的面积公式，训练了余弦定理的应用，属中档题．10.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y=f（x）的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】指数函数的图象与性质．【分析】先表示出y的解析式，发现是指数模型，通过对指数函数图象的掌握可直接选出答案．【解答】解：设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z∴z=b（1+10.4%）x．故y==（1+10.4%）x是底数大于1的指数函数故选D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知递增的等差数列{an}满足，，则______.参考答案：【分析】先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，得到通项公式，进而可求出结果.【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得，则.所以.故答案为【点睛】本题主要考查等差数列，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.12.函数的最小正周期为，则________.参考答案：213.已知函数，，则函数的单调递增区间为

.参考答案：[0,]∵，∴，∴当，即时，函数单调递增，故当时，函数的单调递增区间为．答案:

14.设是等差数列的前n项和，若,则____________.参考答案：数列成等差数列，且.

15.已知x∈R，符号表示不超过x的最大整数，若函数f（x）=（x＞0），则给出以下四个结论：①函数f（x）的值域为；②函数f（x）的图象是一条曲线；③函数f（x）是（0，+∞）上的减函数；④函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时．其中正确的序号为

．参考答案：④【考点】根的存在性及根的个数判断；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】通过举特例，可得①、②、③错误；数形结合可得④正确，从而得出结论．【解答】解：由于符号表示不超过x的最大整数，函数f（x）=（x＞0），取x=﹣1.1，则=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正确．由于当0＜x＜1，=0，此时f（x）=0；当1≤x＜2，=1，此时f（x）=；当2≤x＜3，=2，此时f（x）=，此时＜f（x）≤1，当3≤x＜4，=3，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，=4，此时f（x）=，此时＜g（x）≤1，故f（x）的图象不会是一条曲线，且f（x）不会是（0，+∞）上的减函数，故排除②、③．函数g（x）=f（x）﹣a有且仅有3个零点时，函数f（x）的图象和直线y=a有且仅有3个交点，此时，，故④正确，故答案为：④．【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．16.若则_____，_____．参考答案：

－2,17.函数的值域为______________________________；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设f（x）的定义域为[﹣3，3]，且f（x）是奇函数．当x∈[0，3]时，f（x）=x（1﹣3x），（1）求当x∈[﹣3，0）时，f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）＜﹣8x．（3）记P={x|y=f（x﹣c）}，Q={x|y=f（x﹣c2）}，若P∩Q=?，求c的取值范围．参考答案：【考点】函数解析式的求解及常用方法；交集及其运算；其他不等式的解法．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）利用函数是奇函数，结合当x∈[0，3]时，f（x）=x（1﹣3x），即可求当x∈[﹣3，0）时，f（x）的解析式；（2）结合（1）的结论，分类讨论，即可解不等式f（x）＜﹣8x．（3）当f（x﹣c）=f（x﹣c2），有解的条件是x﹣c=x﹣c2，且x﹣c=x﹣c2∈[﹣1，1]，可得P∩Q=?，c的取值范围．【解答】解：（1）设x∈[﹣3，0），则﹣x∈（0，3]，∵x∈[0，3]时，f（x）=x（1﹣3x），∴f（﹣x）=﹣x（1﹣3﹣x），∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x（1﹣3﹣x）；（2）x∈[0，3]时，f（x）=x（1﹣3x）＜﹣8x，∴x＞2，∴2＜x≤3；当x∈[﹣3，0）时，f（x）=x（1﹣3﹣x）＜﹣8x，∴x＞2，∴﹣2＜x＜0；综上所述，不等式的解集为{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤3}；（3）当f（x﹣c）=f（x﹣c2），有解的条件是x﹣c=x﹣c2，且x﹣c=x﹣c2∈[﹣1，1]，即c（c﹣1）=0；∴c=0或c=1时f（x﹣c）=f（x﹣c2），有解；故c的取值范围：c≠0且c≠1．【点评】本题考查函数的解析式，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．19.已知集合A={x|x﹣2＞3}，B={x|2x﹣3＞3x﹣a}，求A∪B．参考答案：【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】先化简集合A和B，然后对a﹣3进行分类讨论，利用数轴求出A∪B．【解答】解：A={x|x﹣2＞3}={x|x＞5}，B={x|2x﹣3＞3x﹣a}={x|x＜a﹣3}．借助数轴如图：①当a﹣3≤5，即a≤8时，A∪B={x|x＜a﹣3或x＞5}．②当a﹣3＞5，即a＞8时，A∪B={x|x＞5}∪{x|x＜a﹣3}={x|x∈R}=R．综上可知当a≤8时，A∪B={x|x＜a﹣3或x＞5}；当a＞8时，A∪B=R．【点评】本题考查两个集合的并集的定义和求法，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．20.已知函数是奇函数，且f（1）=2，（1）求f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性；（3）求函数在区间[1，3]上的最大、小值．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）利用函数是奇函数，f（1）=2，求出b，c，得到函数的解析式．（2）函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．利用定义证明即可．（3）由（2、知函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，直接求解函数的最值即可．【解答】解：（1）由是奇函数，且f（1）=2易求得b=1，c=0，∴（2）函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

证明：取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2则∵1≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∴，即f（x1）＜f（x2）所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．

（3）由（2、知函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，所以函数f（x）在[1，3]上也是增函数∴故所求函数的最大值为，最小值为2．

21.从某校参加数学竞赛的试卷中抽取一个样本，考查竞赛的成绩分布，将样本分成6组，得到频率分布直方图如图，从左到右各小组的小长方形的高的比为1：1：3：6：4：2，最右边的一组的频数是8.请结合直方图的信息，解答下列问题：（1）样本容量是多少？（2）成绩落在哪个范围的人数最多？并求出该小组的频数和频率.（3）估计这次数学竞赛成绩的平均数.参考答案：解（1）从左到右各小组的频率分别为，，，，，样本容量为（2）成绩落在70～80之间的人数最多；频率为；频数为（3）平均数的估计值是略22.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．参考答案：【考点】HX：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利